4.2 Le modalit` a dell’intervento didattico
4.2.1 Prima lezione: introduzione alla probabilit` a
L’approccio alla prima lezione `e sotto forma di gioco. Dopo aver chiesto, e se necessario precisato e spiegato, una definizione di “gioco d’azzardo” l’insegnante propone una sfida tra lui stesso ed altri due studenti, possibilmente volontari. Il gioco consiste nel lancio di due dadi uguali: la partita `e vinta dal primo studente se l’esito `e di due numeri pari, dal secondo se l’esito `e di due numeri dispari, dell’insegnante se `e un esito misto. Vince la sfida chi, giocando un totale di venti partite, se ne aggiudica di pi`u. Seppure sia equivalente in termini probabilistici, `e preferibile l’utilizzo dei dadi rispetto a quello delle monete, in quanto il lancio dei due dadi pu`o essere fatto in contemporanea, e si annulla cos`ı la distanza temporale che vi sarebbe invece tra i lanci delle due monete. Tale scarto temporale infatti renderebbe pi`u semplice smascherare l’inganno, facendo apparire pi`u chiaro che gli esiti testa-croce e croce-testa sono distinti. L’insegnante deve mostrare fiducia nella propria vittoria, che in effetti `e altamente probabile, avendo a disposizione due esiti favorevoli sui quattro disponibili (pari-dispari e dispari-pari, contro pari-pari e dispari-dispari). Al termine della sfida, in caso (molto probabile) di vittoria, l’insegnante chiede agli studenti se abbiano idea del perch´e, ancor prima di iniziare il gioco, fosse cos`ı convinto delle proprie chance (in caso di sconfitta invece, l’insegnante afferma che tra poco si capir`a che il vincitore `e stato molto fortunato). Si arriva cos`ı, grazie agli interventi degli studenti, o sotto suggerimento dell’insegnante, al concetto di probabilit`a: l’insegnante, seppure
il gioco fosse legato ad eventi non deterministici, era cos`ı fiducioso perch´e sapeva di avere una alta probabilit`a di vittoria. Se necessario si puntualizza la differenza tra eventi deterministici e non deterministici, dopodich´e si sottolinea il fatto che in presenza di eventi non deterministici, sebbene ci sia preclusa la conoscenza dell’esito, possiamo ugualmente ragionare in termini matematici attraverso la probabilit`a, che assume quindi un ruolo chiave in ambito di gioco d’azzardo.
A questo punto l’insegnante, cogliendo lo spunto del gioco appena terminato, chiede alla classe come si possa determinare, in termini matematici, la probabilit`a di un evento come la vittoria nella singola partita. Con l’aiuto di alcuni esempi pratici sulla scia del gioco appena svolto, si cerca di far individuare la regola di dividere il numero degli esiti favorevoli per il numero di eventi totali. Ad esempio, sul singolo lancio del dado, si pu`o partire da esempi semplici come l’evento A = “esce 2” e l’evento B = “esce un numero ≥ 3” per arrivare a dire che P (A) = 16 e P (B) = 23. Questa `e anche l’occasione per far ragionare gli studenti sul fatto che ogni evento pu`o essere rappresentato come l’insieme dei suoi esiti favorevoli contenuto nell’insieme di tutti gli esiti possibili, cio`e negli esempi A = {2} e B = {3, 4, 5, 6}, entrambi sottoinsiemi di T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A questo punto si pu`o capire innanzitutto che le probabilit`a di eventi sullo stesso insieme di casi possibili si possono confrontare attraverso il numero maggiore o minore di casi favorevoli, per poi definire, dato un evento E, la probabilit`a di E come
P (E) = |E|
|T |, (4.1)
(introducendo, se necessario, la notazione della cardinalit`a degli insiemi). Cogliendo l’occasione di aver appena rappresentato eventi come insiemi, si pu`o inoltre far ricavare le corrispondenze tra i connettivi logici che si usano per comporre eventi (A e B, A o B, non A), e le corrispondenti operazioni tra le loro rappresentazioni
insiemistiche (A ∩ B, A ∪ B, AC).
Con l’obiettivo di passare dal singolo dado ai due dadi del gioco, l’insegnante introduce il concetto intuitivo di (coppie di) eventi indipendenti con il fatto che il
verificarsi o meno dell’uno non modifica la probabilit`a dell’altro (e viceversa). Si presenta poi la traduzione matematica di tale definizione intuitiva, affermando che formalmente gli eventi A e B si dicono indipendenti se vale che:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B), (4.2)
sottolineando l’equivalenza tra le due. Come esercizio si pu`o verificare proprio l’indipendenza degli eventi legati al gioco dei dadi: se
P1 = “pari sul dado 1”,
D1 = “dispari sul dado 1”,
P2 = “pari sul dado 2”,
D2 = “dispari sul dado 2”,
(4.3)
allora P1 `e indipendente da P2 e D2, e D1 `e indipendente da P2 e D2. Finalmente allora si possono calcolare le probabilit`a di vittoria dei giocatori sulla singola partita:
P (“vittoria studente 1”) = P (P1∩ P2) = 1 2 · 1 2 = 1 4, (4.4) e analogamente P (“vittoria studente 2”) = P (D1∩ D2) = 1 2 · 1 2 = 1 4, (4.5)
mentre l’insegnante ha a disposizione per la vittoria gli eventi (disgiunti) P1∩ D2 e
D1∩ P2, anch’essi con probabilit`a 14 l’uno. Al di l`a di avere idea che la probabilit`a
di vittoria dell’insegnante sia 12 (cosa che pu`o essere intuita anche per calcolo complementare), dovrebbe essere evidente che l’insegnante ha pi`u probabilit`a di vincere di ognuno dei due allievi.
L’insegnante pu`o quindi passare all’enunciazione dei tre assiomi della probabilit`a che sostanzialmente costituiscono le propriet`a fondamentali che ogni probabilit`a vogliamo che abbia. Da sottolineare il fatto che non dovrebbe essere necessario, in
questo frangente, aprire una parentesi sul significato di assiomi e di teoria, conoscenze che dovrebbero gi`a essere acquisite dagli studenti durante il percorso di geometria euclidea affrontato nel biennio. L’insegnante specifica quindi che la nostra costruzione di probabilit`a data da P (E) = |E||T | non `e che un esempio di probabilit`a (per evidenziare questo fatto si pu`o anche, d’ora in avanti, utilizzare un altro simbolo per indicare specificatamente la probabilit`a classica del rapporto tra casi favorevoli e totali, come ad esempio P), ma che se ne possono costruire di altre, non entrando per`o eccessivamente nel dettaglio.
(i) la probabilit`a di un evento `e un numero reale maggiore o uguale di 0 e minore o uguale di 1;
(ii) la probabilit`a nulla corrisponde a eventi impossibili, la probabilit`a uguale a 1 corrisponde a eventi certi;
(iii) se A e B sono due eventi disgiunti, allora P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Se necessario, per il terzo assioma si ricorda ulteriormente la rappresentazione di eventi come insiemi, e che quindi ha senso parlare di “eventi disgiunti”. L’insegnante stimola gli studenti a trovare un’analoga formula nel caso gli eventi non siano disgiunti, cio`e nel caso di eventi compatibili. Naturalmente si pu`o favorire l’individuazione della formula aiutandosi con i diagrammi di Venn, disegnando A e B come due insiemi che si intersecano. Scomponendo l’unione in tre parti disgiunte nel modo naturale, A1 = A \ B, A ∩ B e B1 = B \ A, utilizzando il terzo assioma si ha
P (A ∪ B) = P (A1) + P (A ∩ B) + P (B1). Ricordando poi che A si scompone
in due pezzi disgiunti A = A1 ∪ (A ∩ B), di nuovo per il terzo assioma si ha
P (A1) = P (A) − P (A ∩ B), e analogamente P (B1) = P (B) − P (A ∩ B), da cui
sostituendo nell’uguaglianza precedente si ottiene finalmente:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). (4.6)
La lezione si conclude con alcuni esercizi a discrezione dell’insegnante in cui applicare i concetti visti finora, sia per mettere in pratica ci`o che `e stato spiegato, sia
per mostrare l’uso di utili tecniche come il passaggio al complementare. Ad esempio proporre un quesito sullo stile di quello gi`a citato di Bar-Hillel, pu`o essere un’ottima occasione per parlare anche dell’euristica dell’ancoraggio: si chiede se avendo un sacco con 85 palline rosse e 15 palline bianche, procedendo a 5 estrazioni consecutive, con reinserimento, sia pi`u probabile che le cinque estratte siano tutte rosse o che ve ne sia almeno una bianca. In tale quesito occorre riconoscere l’indipendenza delle estrazioni successive e dunque moltiplicare le probabilit`a per ricavare quella di ottenere tutte le estratte rosse. Tra l’altro la domanda mette in gioco anche strategie diverse di affrontare il calcolo delle probabilit`a: se si riconosce nell’estrazione di almeno una pallina bianca l’evento complementare al primo, si riescono ad evitare i molti calcoli che servirebbero altrimenti per conoscere la probabilit`a del secondo evento (probabilit`a di esattamente una estratta bianca, pi`u probabilit`a di esattamente due estratte bianche, eccetera). A conti fatti, l’estrazione di 5 palline rosse consecutive `e un evento che ha una probabilit`a di circa 0,44 e quindi quella dell’altro sar`a di circa 0,56 (e comunque, anche senza calcolo diretto, maggiore perch´e complementare di un evento che ha meno del 50% di possibilit`a di accadere). Per`o se si ripetono i risultati osservati da Bar-Hillel, inizialmente la risposta pi`u gettonata sar`a quella di cinque estratte rosse, perch´e la probabilit`a dell’85% in partenza `e un dato di ancoraggio molto forte, e si avr`a quindi la prima occasione per mostrare un risultato matematico che confligge con l’aspettativa, rafforzando quindi le motivazioni per il compimento del percorso didattico.