Seconda lezione

Il sondaggio introduttivo della seconda lezione, in cui ho proposto la domanda del questionario riguardante la probabilit`a di trovare un premio in un gratta e vinci dal costo di 5 euro, ha confermato i risultati del questionario stesso: 1 studente la riteneva minore del 2%, 11 studenti hanno votato per la fascia 2% - 15%, 5 per la fascia 15% - 40%, e nessuno per una probabilit`a maggiore del 40%. Ho sottolineato che l’intuito sembrava quindi suggerire probabilit`a di vincita piuttosto basse. Ho poi mostrato, utilizzando un pc ed un proiettore, la pubblicit`a del gratta e vinci, al termine della quale ho chiesto alla classe quale fosse il messaggio che cercasse di veicolare. Gli studenti si sono focalizzati soprattutto sulla dicitura “ti piace vincere facile”, e sulla situazione scenica mostrata, ed in breve `e emerso che l’intento principale dello spot fosse quello di convincere lo spettatore del fatto che la vittoria fosse pi`u facile di quello che l’intuito avrebbe suggerito. Ho poi evidenziato che oltre a questo, attraverso la dicitura “vinci adesso”, lo spot sottolinea anche la peculiarit`a della lotteria istantanea di offrire un’esperienza di gioco e di eventuale vincita (sui premi piccoli) immediata. In seguito, spiegando che per legge i gruppi che gestiscono i gratta e vinci devono pubblicare i dati relativi ai biglietti stampati, ho proposto di andare a controllare tali dati per capire davvero chi avesse ragione tra l’intuito e la pubblicit`a.

A tale scopo avevo preparato in precedenza, come programmato, un’immagine con i dati dei biglietti stampati per ciascun premio, ma senza le rispettive probabilit`a, in modo da cogliere l’occasione per lasciar calcolare tali probabilit`a agli studenti stessi, come esercitazione sulla definizione data nella lezione precedente. Sono state calcolate inizialmente la probabilit`a di vincere 500.000 euro, e di vincere un premio (cio`_{e almeno 5 euro), indicate alla lavagna con la notazione P(“premio di 500.000e”) e} P(“premio ≥ 5e”). Gli studenti hanno ricordato ed applicato la definizione dividendo i casi favorevoli per i casi totali per ambedue le richieste. Si `e poi osservato, in riferimento al sondaggio iniziale, che il risultato della probabilit`a di trovare almeno il premio da 5 euro, del 25%, appartenesse in realt`a alla fascia pi`u alta, meno

gettonata di quella del 2% - 15%, e che quindi, in realt`a, dal punto di vista di chi vende i biglietti, la pubblicit`a sia perfettamente indirizzata, a riprova del fatto che i pubblicitari studiano e conoscono molto bene l’audience di riferimento, proponendo messaggi pensati rispetto a tale pubblico. Ho poi chiesto quale fosse, secondo la classe, lo scopo di tenere la frequenza delle vincite cos`ı inaspettatamente alta. La risposta indubbiamente pi`u gettonata `e stata “perch´e cos`ı le persone rigiocano”. Si `

e poi osservato che, in effetti, considerando il costo di 5 euro del biglietto, l’evento “trovare un premio” non corrisponde sempre ad una vittoria vera e propria, e gli studenti hanno quindi calcolato la probabilit`a di trovare un premio di almeno 10 euro. Per il numero di casi favorevoli `e giunta la proposta di considerare tutti i biglietti vincenti e toglierci quelli col premio di 5 euro. Si `e trovato allora che P(“premio ≥ 10e”) ≈ 13%, e ho fatto notare che la maggior parte degli studenti avrebbe dato intuitivamente il risultato giusto nel sondaggio, se la richiesta fosse stata proprio la probabilit`a di una vincita effettiva. Ecco quindi che `e apparsa pi`u chiara la strategia di chi gestisce i gratta e vinci: tenere alta la probabilit`a di trovare premi per far ricredere le persone e farle rigiocare, e farlo, per`o, attraverso tante vincite illusorie, a cui non corrisponde un reale guadagno.

A questo punto ho aperto la breve parentesi sulla raffigurazione di probabilit`a molto piccole, prendendo ad esempio quella appena calcolata di trovare i 500.000 euro, risultata di 1 su 6 milioni. Ho spiegato che conoscere le probabilit`a di vittoria `e importante, ma `e altrettanto importante saperle raffigurare, capirne l’entit`a concreta. Se questo risulta immediato per probabilit`a comprese in un range meno estremo, `

e molto pi`u difficile quando si tratta di probabilit`a cos`ı piccole. Infatti `e semplice ad esempio, interpretare una probabilit`a del 25%, poich´e la quotidianit`a offre molti spunti per farlo (come ad esempio due teste consecutive con una moneta). Capiamo intuitivamente la differenza quantitativa tra 1 probabilit`a su 4 e 1 su 100, anche grazie al fatto che sono visualizzabili. Ma come visualizziamo 1 su 100.000? Come distinguiamo la differenza tra 1 su 100.000 e 1 su 6 milioni? La visualizzazione che rende concrete quelle quantit`a deve essere costruita artigianalmente e con fantasia.

L’esempio che ho proposto `e stato quello di immaginare di mettere in fila, per terra, 6 milioni di biglietti del gratta e vinci, e calcolare quanto fosse lunga la striscia che si otterrebbe, sapendo che al suo interno ci sarebbe un solo biglietto vincente. Supponendo di 15 cm la lunghezza del biglietto, questa striscia sarebbe lunga 6.000.000 · 15 cm = 900 km. Uno studente ha reso ancor pi`u concreto il dato affermando che sarebbe come “da Montecatini a Napoli e ritorno”, nello stupore generale.

Con l’intento di introdurre, come da programma, il concetto di valore atteso, ho poi proposto di cambiare prospettiva riguardo le vincite al gratta e vinci, considerando non pi`u con che frequenza si vince, ma quanto si vince. La domanda per la classe quindi era: immaginiamo di comprare un biglietto, che premio ci aspettiamo di trovare? Inizialmente alcuni non hanno capito il senso vero della domanda, rispondendo che si aspettavano un premio di 0 euro (essendo il pi`u probabile). HO fatto quindi ricorso ad un esempio pi`u semplice: considerando un normale dado, se si dovesse dare una previsione sull’esito del risultato del lancio volendo minimizzare l’errore, che valore si sceglierebbe? La risposta `e stata 3 o 4, con la motivazione che “stanno nel mezzo”. Riconoscendo la correttezza dell’idea, ho affermato che per`o sia 3 sia 4 sono leggermente sbilanciati, uno in un senso e uno nell’altro. `E stato allora che uno studente ha suggerito 3,5. Alla domanda su come l’avesse trovato ha risposto di aver preso il valore esattamente centrale. Finalmente, alla domanda su come si ottenesse, da un insieme di valori, il valore “esattamente centrale”, `e emersa la media aritmetica. Tornando al problema del valore del biglietto, gli studenti hanno capito che si sarebbe dovuta calcolare la media aritmetica dei premi, nominata “premio atteso”. Grazie anche all’immagine ancora in vista con i dati di Lottomatica sulle quantit`a dei biglietti stampati, a cui si `e fatto riferimento per il calcolo, e ad un esempio dell’insegnante che ha assimilato l’acquisto di uno dei 6 milioni di biglietti al lancio di un dado a 108 milioni di facce (di cui 18 recano 500.000 euro, 18 recano 300.000 euro eccetera), la classe ha compreso che ogni premio andava contato con la

sua molteplicit`a, e la formula corretta `e stata trovata con:

premio atteso = 500.000e · 18 + · · · + 5e · 13.140.000 + 0e · 81.085.122 108.000.000

= 3, 67e.

(5.6)

Il risultato ha destato subito reazioni di sorpresa e commenti negativi. Avevano capito il concetto fondamentale che, in media, un biglietto vale 1,33 euro in meno rispetto a quanto viene fatto pagare.

A questo punto, riprendendo la formula precedente, ho proseguito facendo notare che spezzando la frazione nei singoli addendi, ogni premio sarebbe stato moltiplicato precisamente per la sua probabilit`a:

premio atteso = 500.000e·P(premio di 500.000e)+· · ·+5e·P(premio di 5e). (5.7)

Si `e cos`ı passati all’enunciazione teorica dei due concetti, utilizzati inconsapevol- mente, di variabile casuale (o aleatoria) e suo valore atteso. L’introduzione di questi due concetti `e stata facilitata grazie al fatto che ogni aspetto teorico veniva riferito al caso concreto del gratta e vinci, in cui la variabile era rappresentata dal premio (sulla singola giocata). La variabile aleatoria `e stata definita come una variabile

X che pu`o prendere con una certa probabilit`a uno tra i valori {v1, v2, . . . , vn} ⊆ R.

Anche la riscrittura degli eventi in termini di valori assunti dalla variabile `e stata aiutata dall’esempio di riferimento appena visto: la classe ha fatto corrispondere, ad esempio, gli eventi “premio di 5e”, “premio di 500.000e” con le semplici scritture

X = 5 e X = 500.000. Dunque nel caso del gratta e vinci si sapeva perfettamente

possibili: P(X = 0) = P(“nessun premio”) ≈ 0, 75 P(X = 5) = P(“premio di 5e”) ≈ 0, 13 .. . P(X = 500.000) = P(“premio di 500.000e”) = 1 6.000.000. (5.8)

La definizione di valore atteso di una variabile casuale X `e stata introdotta come una generalizzazione della formula del premio atteso individuata nell’esempio:

E(X) = v1· P(X = v1) + · · · + vn· P(X = vn). (5.9)

Ho preferito non utilizzare la notazione con la sommatoria per non inserire un elemento di possibile difficolt`a notazionale che distogliesse parte dell’attenzione da ci`o che si stava realmente facendo, in modo che la formula rimanesse intuitiva alla vista.

Terminata la parentesi sulle definizioni teoriche, la lezione si `e avviata alla fine con una breve spiegazione del perch´e il valore atteso fosse cos`ı importante. Ho parlato per la prima volta esplicitamente, in termini semplici e senza enunciarla formalmente, della legge dei grandi numeri, di cui sorprendentemente nessuno in classe aveva mai sentito parlare, nemmeno in termini colloquiai o in situazioni della quotidianit`a. A terminare la lezione, ho mostrato alcuni esperimenti attraverso il foglio di calcolo preparato in precedenza. Si `e potuto osservare nel concreto che con brevi serie di simulazioni di giocate al gratta e vinci i dati di frequenza di vittorie e premio medio erano molto variabili, ed in genere si potevano discostare molto dai valori teorici attesi, anche se si finiva sempre in perdita. Aumentando il numero di giocate fino a 10.000 invece, `e stato evidente l’appiattimento dei dati empirici sui valori teorici. Gli studenti hanno notato che in realt`a, la frequenza di vittorie era gi`a abbastanza costantemente sul 25% gi`a con serie da 1000 giocate, mentre il premio medio non tendeva ancora cos`ı fortemente al dato teorico. Ho giustificato questo

comportamento introducendo, in modo del tutto informale e discorsivo, senza entrare nei dettagli anche per motivi di minutaggio, il concetto di varianza (ancora non noto alla classe), spiegando che la velocit`a con cui i dati empirici tendono a quelli teorici dipende dal “grado di variabilit`a intrinseco” della variabile aleatoria in questione: pi`u questa variabilit`a `e alta, pi`u prove serviranno per ottenere la convergenza verso le previsioni teoriche. La variabile X che descrive l’entit`a del premio al gratta e vinci ha intrinsecamente una alta varianza rispetto a quella che descrive se si vince un premio o no.

Avendo gi`a parlato di rappresentativit`a nella lezione precedente, non se ne `e discusso in questo frangente, anche perch´e avevo deciso di effettuare l’approfondimento extra sulla legge dei grandi numeri nella successiva lezione, in cui ci sarebbe stato tempo e modo di tornare su rappresentativit`a e fallacia del giocatore.

Nel complesso la lezione `e sembrata ben organizzata, con una buona integrazione tra gioco analizzato (gratta e vinci) e concetti teorici proposti. Infatti da una parte il gioco ha creato i presupposti per applicare gli strumenti precedentemente acquisiti, come la definizione di probabilit`a, e inoltre per introdurre gli strumenti matematici della variabile aleatoria e del suo valore atteso. Dall’altra, tali strumenti hanno svolto un ruolo fondamentale nel formare un’opinione solida e consapevole rispetto al gioco stesso, che si `e manifestata ed ha preso forma sempre pi`u con l’andare avanti della lezione stessa.