Toscana.
Una delle pagine della Practica Geometriae di Leonardo Fibonacci contiene una tabella dedicata alla misura delle corde di archi di cerchio di lunghezza progressivamente cre- scente (da una a 66 pertiche), misurati su un semicerchio di raggio pari a 21 pertiche
(semicirconferenza lunga 66 pertiche)1. Le
misure delle corde sono espresse in pertiche, piedi, once, punti . Secondo la defi nizione dello stesso Fibonacci, una pertica misura 6 piedi, ogni piede si divide in 18 once, ogni oncia in 20 punti (fi g.1).
La divisione del semicerchio in 66 parti pro- babilmente deriva dall’espressione di Π = 22/7; essa produce infatti circonferenze mul- tiple del 22, quando il raggio sia multiplo del 7. In tutti i calcoli del Fibonacci c’è sem- pre la preoccupazione di produrre modelli di computo che semplifi chino le operazioni . Però è diffi cile comprendere per quali situa- zioni pratiche sia stata pensata, non essendo evidenti i casi di utilità delle corde multiple di 1/132 di angolo giro. Non è neppure facile disegnare davvero il semicerchio e divider-
lo in 66 parti2. Quale poteva essere il campo
di utilizzo della divisione in 66 parti? Qua- le era il campo semicircolare (così è defi nito l’obbiettivo dell’esercizio) che si intendeva misurare? La struttura delle tavole, che rende unitari gli archi sul cerchio, fa pensare ad una situazione in cui si misura l’arco e si ricava la corda.
Supponiamo che proprio questo fosse l’ob- biettivo: quale poteva essere l’applicazione? Il testo non ci illumina se non per una circo- stanza: il richiamo agli astrologi e a Tolomeo, che ci obbliga a prendere in considerazione le misure della geografi a e dell’astronomia. Esse chiamano in causa la sfera celeste e quella terrestre, e quindi il tema della rappre- sentazione della terra.
Nel Medioevo, la necessità di produrre mi- sure corrette delle terre conosciute e di ap- poggiarle su modelli utili per la navigazione,
che tenessero conto della sfericità del globo, doveva per forza mettere in evidenza come primo problema quello della determinazione del diametro della sfera terrestre, per stabilire una corretta relazione tra coordinate astrono- miche e misure di lunghezza. A questo pro- posito è noto che due diverse opinioni erano
state formulate dall’antichità3. La prima di-
scendeva dall’esperienza di Eratostene (sec. III a.C.), che aveva misurato la distanza an- golare e metrica di due città ragionevolmente sullo stesso meridiano (Siene e Alessandria). La circonferenza terrestre era stata quindi sti- mata in 250.000 stadi. Questa misura era stata approssimata a 252000 (multiplo di 60), per andare incontro a esigenze di semplifi cazione del calcolo, essendo l’angolo giro misurato in 360°. L’arco di meridiano corrispondente a un grado risultava lungo 700 stadi.
Diversa opinione era stata espressa da Po- sidonio (sec.I a.C.), che, con calcoli errati, aveva fortemente ridotto la circonferenza a 180.000 stadi, misura per altro molto comoda per i calcoli, con la quale l’arco di meridiano corrispondente a un grado era lungo 500 sta- di. Tolomeo, nella sua geografi a, aveva fatto proprie le misure di Posidonio, ereditandone anche le conseguenze negative, tra le qua- li quella che il Mare Mediterraneo risultava complessivamente assai più lungo della real- tà.
I califfi arabi controllarono i dati astronomici proposti da Tolomeo e ne misero in evidenza gli errori, conducendo misurazioni più accu- rate. Nel IX secolo, il Califfo Al Mamun, al fi ne di redigere una grande carta del mondo conosciuto, fece intraprendere di nuovo il calcolo del diametro della terra, attraverso
Fig.1
La tavole delle corde nella Pratica geometrie di Leonardo Fibonacci.
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la misurazione della lunghezza di un arco di meridiano corrispondente ad un grado, con- dotta in due luoghi diversi.
Fibonacci era fi glio di quella cultura. Del resto, non potrebbe essere proprio la ter- ra il campo semicircolare per eccellenza, alla cui misurazione il paragrafo è dedicato? Se il Fibonacci si occupò delle misure della terra, può darsi che ciò sia avvenuto all’inter- no di un progetto più ampio, forse non esclu- sivamente suo, che prevedeva la misura di un arco di meridiano? Pisa, repubblica marinara entrata in contatto con gli Arabi, ansiosa di accrescere la propria attitudine a spostarsi per mare, potrebbe aver deciso di condurre in proprio le necessarie verifi che, misurando, come gli Arabi avevano fatto, l’arco di me- ridiano corrispondente ad un grado. Sarebbe riconoscibile una traccia di simili operazioni? I particolari progressi della cartografi a terre- stre del XIII secolo, attestano un eccezionale balzo in avanti nella verosimiglianza grafi ca
dei contorni del bacino del Mediterraneo4.
Le carte geografi che, i portolani che da quel momento storico si cominciarono a produrre stanno a dimostrare che la misurazione del- le varie parti veniva compiuta con modalità confrontabili, uniformate da regole condivi- se. E in quel momento storico tutti, papato, impero, repubbliche marinare, erano deside- rosi di rendere i viaggi attraverso il Mediter- raneo sicuri e veloci.
Un arco di meridiano potrebbe essere stato misurato in Toscana. Il meridiano poteva es- sere materializzato individuando con traguar- di una serie di punti allineati lungo di esso, nella direzione Nord-Sud, resi tangibili con manufatti visibili a distanza, ovvero torri.
La misura dell’angolo di declinazione delle stelle consentiva di trovare la differenza di la- titudine dei luoghi: un osservatorio sull’alto di una torre in punti notevoli del tratto di me- ridiano defi nito era il laboratorio dell’astro- nomo che compiva l’operazione.
La misura delle distanze era probabilmente calcolata mediante la realizzazione di maglie triangolari con angoli predeterminati, a parti- re da una base di lunghezza nota.
Nel territorio sottoposto all’infl uenza pisana agli inizi del duecento un allineamento in gra- do di corrispondere a tutte queste caratteristi- che esiste e fu in effetti oggetto di particolari cure da parte di Pisa nel periodo di cui parlia- mo. Facendo stazione a Volterra, la città più antica, più prestigiosa e più fornita di torri in quel momento storico, guardando esattamen-
te verso Sud e verso Nord, sono riconoscibili due località dominate da torri eminenti, eret- te negli anni che ci interessano: a Sud Mas- sa Marittima, con il cui Candeliere(fi g.2) ha inizio la realizzazione della città nuova con l’abbandono della precedente città di piano (Massa veternensis); a Nord San Miniato al Tedesco (fi g.3), la cui rocca munita di un’al- tissima torre è associata al nome di Federico di Svevia, di cui sono celebri i rapporti di fre- quentazione col Fibonacci e gli interessi per l’astronomia e le misure terrestri.
Queste tre località hanno praticamente la stessa longitudine (la sua espressione in gradi sessagesimali è: Massa Mar.ma 10°53’, Vol-
terra 10°51’, S. Miniato 10°51’5).Nel 1225
Federico è presente in S. Miniato6; dal 1216
Massa è sotto la tutela di Pisa e ne adotta la
Fig.2
Il Candeliere di Massa Marittima, sbas-sato di circa un terzo della sua altezza dai Se-nesi nel XIV secolo Fig.3
La torre di S. Mi-niato al Tedesco, rico-struita dopo il bombar-damento del 1944.
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moneta e le unità di misura; nel 1228 è po-
testà 7di Massa M.ma il pisano Malabarba,
quando si dà inizio alla costruzione della nuova città con l’edifi cazione dell’alta torre
del Candeliere8; negli anni 1226 e 1227 sono
pisani anche i potestà di Volterra9.
Pensando a operazioni di misurazione astro- nomica e di traguardo di punti sul terreno, la presenza delle torri è essenziale: siamo infatti partiti da quelle di Massa e di S. Miniato, en- trambe famose. Volterra è città di tante torri, oggetto anche di statuti molto dettagliati nel tempo di cui ci occupiamo. (fi g.4).
La distanza in linea d’aria tra la torre di S. Miniato e la torre di Volterra è valutabile (sul sito webb Earth di Google) in 30 Km; dal-
la torre di Volterra al Candeliere di Massa, in 40 km. La distanza totale è quindi di 70 km, esattamente 40 miglia toscane, essendo un miglio pari a 3000 braccia, ovvero 1750 metri. Se sulla carta osserviamo i tanti castel- li che, sempre insistendo sullo stesso meri- diano, si interpongono tra le nostre tre torri (in particolare Pomarance e Castelfalfi sullo stesso meridiano), l’operazione di misurare le distanze tra di essi triangolando da torri esi- stenti o innalzando stazioni su località oppor- tune non appare come impossibile.
Quanto alla misura della declinazione stella- re per misurare la differenza di latitudine, era suffi ciente che fosse determinata agli estre- mi del percorso, laddove erano state poste le torri più alte. Torniamo al meridiano che abbiamo preso in considerazione. A Sud di Massa M.ma, troviamo sulla costa Castiglion della Pescaia, anch’esso sotto il controllo ter- ritoriale di Pisa, e soprattutto, in pieno mare, l’isola del Giglio (longitudine 10°52’). La la- titudine di S. Miniato è di 43°42’, Volterra è a 43°24’ di latitudine e la zona Nord di Giglio è sotto i 42°22’ (fi g.5).
A Nord di S. Miniato, sempre sullo stesso
meridiano, un’altra notevole torre viene edifi - cata alla fi ne del XII secolo, la torre di Serra- valle Pistoiese (longitudine 10°50’, latitudine 43°54’).
La distanza dal centro di Giglio a Serravalle (circa km 173 dal sito webb Earth di Google: Giglio non è un punto, ma ha un estensione di qualche kilometro) può essere molto bene approssimata a 100 miglia toscane (km 175). Ricordo che Tolomeo aveva misurato la ter- ra in 180.000 stadi (10 stadi greci – m 1767
÷184810 - sono ben confrontabili con un mi-
glio toscano – m1750), cosicché un grado di meridiano valeva 500 stadi (quasi equivalenti a 50 miglia toscane).
Con le misure di Tolomeo, la distanza ango- lare tra Giglio (lat. 42°21’) e Serravalle (lat. 43°54’) avrebbe dovuto corrispondere a 2°, invece della effettiva misura di 1°33’ circa. Supponiamo che l’astronomo incaricato di procedere alla misurazione abbia colto nel segno e abbia trovato il corretto valore. Per passare alla misura della circonferenza terre- stre, doveva calcolare quale parte dell’angolo giro rappresentasse l’angolo misurato, ov- vero risolvere la frazione 360° : 1°33’..”. Se la risposta accettata fu 231, ne derivava che la circonferenza terrestre veniva a misurare 23100 miglia (km 40425, valore molto vicino al nostro). La scomposizione in fattori di que- sto numero dà come risultato il 2, il 3, il 5, il 7, l’11. Quindi il numero è divisibile per 132 (ovvero 66 x 2), con risultato uguale a 175 miglia (km 306). Ora sappiamo che sulla cir- conferenza della terra, gli archi misurati dal Fibonacci potevano valere 175 miglia.
Quale poteva essere l’utilità di trovarne le corde?
Fig.4
La torre S. Angelo a Volterra Fig.5
Il tratto toscano di meridiano ipotiz- zato sulla carta dell’I.G.M. Fig.6
Il ruolo del nume-ro 66 per determi- nare la circonferenza della terra
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La più antica carta del Mediterraneo giunta fi no a noi è la cosiddetta Carta Pisana. La carta viene datata, sulla base della topono- mastica, intorno al 1275. In essa è rappresen- tato il bacino mediterraneo, con tutte le terre interessate dai movimenti determinati dalle crociate.
La carta è oblunga e il sistema geometrico che fa da riferimento alla rappresentazione è costituito da due “rose dei venti” esadecago- nali, inscritte in due cerchi tangenti tra loro. Il cerchio al cui interno è disegnata l’Italia con le sue isole, a sinistra della mappa, ha il centro a Ovest della Sardegna, su una linea di
“parallelo” che taglia l’isola quasi a metà (en- tra nella Spagna all’altezza di Capo Tortosa e in Italia all’altezza di Vibo Valenza) e una di “meridiano” che a Nord passa tra Imperia e Savona (fi g.7).
All’ interno del cerchio della rosa dei venti sono disegnati i quadrati inscritti. Conside- riamo quello orientato secondo le direzioni Nord-Sud, Est-Ovest.
Immaginiamo che i suoi lati Nord Sud siano divisi in 4 parti e che siano tracciati i paral- leli relativi: l’orizzontale che biseca la par- te superiore passa chiaramente per l’isola di Giglio, attraverso un punto messo ben in evidenza sull’intersezione di due linee di di- rezione. Consideriamo la verticale che passa per esso, la cui estensione verso Nord attra- versa chiaramente Castiglion della Pescaia, leggibile anch’esso sulla carta.
Se cerchiamo sulla costa africana il suo sim- metrico rispetto al diametro del cerchio, sco- priamo che esso passa per Tunisi (longitudine su Earth 10°09’).
Quindi sulla carta Pisana due località di di- versa longitudine hanno la stessa ascissa11. Se
misuriamo la distanza da Tunisi a Giglio, essa è stimabile in 612,5 Km, ovvero 350 miglia. Questo è il valore trovato per l’arco terrestre corrispondente a 360°/66, pari 5°27’, ango- lo che (sito Earth) correttamente esprime la differenza di latitudine tra Tunisi e Giglio (fi g.8).
La distanza di 350 miglia rappresenta, nel- la Carta Pisana, metà del lato del quadrato iscritto nel cerchio, che quindi è lungo 700 miglia. La lunghezza del diametro del cer- chio è quindi prossima a 1000 miglia (rap- porto tra lato e diagonale del quadrato): in
questo modo, potremmo dedurre le misure al vero della terra rappresentata.
Nella struttura grafi ca della carta si può rico- noscere che, sotto il reticolo polare della rosa dei venti, soggiace un reticolo ortogonale che supporta alcuni punti essenziali.
La fi gura dimostra che Giglio è individuata mediante ascisse e ordinate.
E’ possibile mettere in relazione gli esiti di- mensionali di questa carta con la tavola del- le corde del Fibonacci e con la realizzazione delle torri menzionate lungo uno stesso me- ridiano?
Questa è un’ipotesi sulla quale si intende la- vorare, perché da un lato apre uno spiraglio sulla possibile base scientifi ca della costru- zione dei portolani, dall’altro illumina la valenza simbolica di alcuni eccezionali ma- nufatti che nel territorio della Toscana hanno sempre avuto il riconoscimento di strutture di emergente valenza topografi ca, senza che se ne potesse defi nire in maniera esatta il ruolo specifi co.
Fig.7
Carta Pisana, l’Italia e il Nord d’Afri- ca nella rosa dei venti occidentale, con il me-ridiano per Giglio e Tunisi Fig.8
Tunisi e il meridiano di Giglio sulla carta dell’I.G.M
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