Analisi delle condizioni di uscita dal rotore

L’obbiettivo della procedura `e ricavare tutte le condizioni fluidodinamiche in uscita dal rotore. In tutto lo sviluppo che segue si considera soltanto la sezione meridionale del rotore dato che le condizioni di uscita da esso sono assialsimmetriche. Di fatto si `e gi`a visto nel paragrafo precedente che le condizioni totali non dipendono dalla coordinata azimutale, e lo stesso varr`a per tutte le relazioni presentate in questa sezione. Il requisito di assialsimmetria in uscita non `e una approssimazione quindi, ma un risultato degli sviluppi che si esporranno.

Alla base del procedimento per la determinazione delle condizioni in 4 devono essere ottenute le distribuzioni di pressione totale relativa e pressione statica nella stazione di uscita. La prima di queste due grandezze `e nota dagli sviluppi del paragrafo precedente, a patto di conoscere il raggio di uscita del flusso che si sta considerando; la seconda `e del tutto ignota.

Prima di procedere oltre con lo sviluppo occorre descrivere cosa si intender`a in seguito con ”striscia di flusso”. Si pensa infatti che l’intero canale rotorico, nella sua sezione meridionale, mostrata in figura 4.7, sia schematizzabile come un insieme di strisce di flusso meridionali. Si tratta appunto di porzioni del canale meridionale, delimitate tra loro da proiezioni di linee di corrente relative sul piano meridionale. Quindi attraverso il limite tra due strisce non passa portata, e le velocit`a meridionali non hanno di fatto componente normale alle strisce di flusso, nel limite di considerarle molto sottili. Si pensa infatti che in ognuna di esse passi una frazione della portata complessiva, e che

Figura 4.7: Strisce di flusso e loro posizionamento. La velocit`a meridionale non ha componente normale alle strisce di flusso a patto di considerarle sufficientemente sottili.

l’uscita dal rotore sia descrivibile dalle condizioni di uscita delle diverse strisce di flusso; una di queste `e rappresentata in figura 4.7. Il problema principale per cui non si conosce la pressione totale relativa in uscita `e che non si conosce a quali raggi le strisce di flusso, in cui si divide l’ingresso del rotore, si andranno a localizzare in uscita. A questo punto si definisce rH4, un nuovo parametro libero corrispondente al raggio del profilo meridionale

di mozzo in uscita. Tale parametro libero, riportato ad esempio in figura 4.7, si aggiunge agli altri gi`a definiti durante il modello: Re0, r1, r2, Θ, b1, NR; con rH4 si contano sette

parametri liberi.

L’introduzione di questo parametro permette di calcolare la pressione totale relativa in uscita P_{T H4}0 attraverso le equazioni 4.3, 4.21 e 4.22, almeno per quanto riguarda la striscia di flusso meridionale adiacente al mozzo. Infatti se ne conosce il raggio medio di uscita considerandola cos`ı sottile da confondere tale raggio con rH4; il vantaggio di

imporre questo parametro libero `e che il posizionamento di tutte le altre strisce di flusso in uscita pu`o essere determinato relativamente a rH4. Noto il posizionamento dei raggi

di uscita delle strisce, si conoscono anche le pressioni totali relative dalle equazioni del precedente capitolo (P_{T H4}0 (r4)).

Nonostante ci`o non si conosce ancora la pressione statica; il suo valore verr`a determi- nato nella sottosezione successiva; per ora si pu`o considerare P4nota e uniforme in uscita

dal rotore. La pressione statica alla stazione 4 infatti dipende dalla presenza o meno di un diffusore; nel caso in cui un diffusore non sia presente, la pressione `e imposta dalle condizioni progettuali di uscita dalla macchina (o dallo stadio). Si conosce infatti, come

gi`a detto pi`u volte, il parametro progettuale Pout, che corrisponde alla pressione statica

di uscita. Nel caso in cui sia presente un diffusore, la pressione alla stazione 4 `e inferiore alla pressione Pout, e verr`a determinata come spiegato nella prossima sottosezione.

Occorre tuttavia giustificare il motivo per cui si richiede che la P4 sia uniforme

in uscita dal rotore, e quali conseguenze comporta. In linea generale la pressione nella stazione 4 potrebbe essere non uniforme, mentre nel caso del presente modello si richiede esplicitamente di orientare il metodo verso una configurazione che annulli le disuniformit`a di P4. Questa prescrizione permette da una parte di semplificare il metodo, perch`e si

pu`o stimare la P4 in modo abbastanza semplice, e dall’altra di ridurre le disuniformit`a

fluidodinamiche, e gli effetti secondari. Ad esempio si sa che i gradienti di pressione influiscono sulla presenza di zone di flusso caratterizzate da basse quantit`a di moto, come gli strati limite. Questo porta alla formazione di vortici di flusso secondario (vedi [8]) e quindi perdite fluidodinamiche che si preferisce ridurre adottando bassi gradienti di pressione in uscita. D’altra parte, come spiegato in 4.1, basta avere una curvatura non nulla delle strisce di flusso in uscita per determinare dei gradienti di pressione (∂P4

∂n), e

quindi delle disuniformit`a. Se si decide che la pressione debba essere uniforme in uscita occorre anche prevedere un disegno geometrico che assecondi questa prescrizione, ad esempio imponendo curvature nulle delle strisce di flusso in uscita. Con ci`o si vuole mettere in luce che la scelta di P4 uniforme diventa una prescrizione progettuale e di

modello, che ha riscontri diretti sulla geometria del rotore. Si esporr`a in seguito che la scelta appena imposta comporta rotori in cui la zona finale `e utile per la sola riduzione di tali disuniformit`a. Nella zona finale si hanno profili meridionali con ridotte curvature, e le pale svolgono un lavoro residuo irrisorio rispetto alla zona di ingresso del rotore. Per quanto detto si intuisce come l’uniformit`a determini delle condizioni ideali favorevoli al lavoro del rotore; infatti il salto di pressione totale statico (PT in/P4) `e sfruttato a pieno

in tutti i punti del canale. Da un punto di vista di flusso reale per`o la situazione potrebbe essere diversa; ad esempio potrebbe convenire ridurre i vincoli sulla zona finale del rotore (una idea consiste nel terminare i canali meridionali ad una coordinata intermedia). Ci`o imporrebbe di accettare delle disuniformit`a, ma ridurrebbe la superficie del rotore bagnata dal flusso e quindi le perdite viscose. Tuttavia `e difficile, se non impossibile, stabilire a priori quale sia la scelta migliore dal punto di vista del comportamento del rotore e della potenza estratta. Si `e voluto soltanto fornire una idea delle considerazioni che sono state necessarie per sviluppare il modello, e dei concetti che potrebbero essere rivisti e studiati nel tentativo di perfezionarlo. Come risultato dei ragionamenti fatti, la scelta di progetto `e stata:

1. proseguire con un disegno classico (P4 uniforme)

2. sfruttare il metodo per arrivare ad una configurazione ottima preliminare

3. valutare a posteriori se modifiche del tratto finale del canale rotorico (ad esempio accorciamenti), possano essere in qualche modo utili.

scelta ottima, e la somiglianza con molte configurazioni estratte dalla letteratura ne `e testimone.

Si pensa quindi di dividere il canale meridionale in un certo numero di strisce di flusso, si indica tale numero con nstr. Per ogni striscia di flusso passa la stessa porzione

( ˙mdes/nstr) di portata. Il procedimento che segue mira a determinare le condizioni di

uscita di tutte le strisce di flusso in termini di numero di M ach relativo, velocit`a relativa e densit`a statica.

Si passa finalmente all’analisi della prima striscia di flusso (adiacente al mozzo), ed in particolare delle condizioni in uscita alla stazione 4. La pressione P4 si pu`o considerare

nota e la pressione totale relativa si pu`o determinare da: T_{T H4}0 = I + 1 2(ΩrH4)2 cp (4.23) e P_{T H4}0 = PT 3ch ( T_{T H4}0 TT 3ch ) γ γ−1 _(4.24)

dove appunto il pedice H4 `e associato al fatto che si considera la striscia di flusso adiacente al mozzo del rotore, e alla stazione 4 (raggio rH4). Note quindi la pressione

totale relativa e la pressione statica si determina il numero di M ach relativo risolvendo: P_{T H4}0 P4 = (1 + γ − 1 2 M 0₂ H4) γ γ−1_{. (4.25)}

Noto il numero di M ach relativo si pu`o facilmente ricavare la velocit`a relativa in modulo attraverso: WH4= M 0 H4 q γRgasT 0 T H4 (1 + γ − 1 2 M 0₂ H4)− 1 2 (4.26)

e con equazioni gasdinamiche del tutto simili a quella ora presentata per la velocit`a si pu`o ottenere la densit`a ρH4. A questo punto si fa la seconda scelta progettuale

cruciale, dopo quella di pressione statica uniforme in uscita, cio`e la richiesta di avere una velocit`a assoluta in uscita dal rotore puramente assiale. Componenti azimutali costituirebbero delle perdite in termini di energia cinetica, non utilizzata per generare potenza (vedi Rif.[1]). Per annullare la componente azimutale della velocit`a assoluta, la velocit`a relativa in uscita dovr`a avere una componente azimutale uguale ed opposta alla componente di trascinamento del rotore, al raggio di uscita della strisce di flusso. La componente di trascinamento in modulo `e:

kW_trk = r₄Ω = rH4Ω (4.27)

dove l’ultimo membro dell’equazione vale per la striscia di flusso adiacente al mozzo che si sta considerando. Chiaramente la condizione di componente azimutale nulla vale per tutta la sezione di uscita dal rotore. Infine la componente azimutale della velocit`a

Figura 4.8: Schematizzazione della condizione di componente azimutale della velocit`a nulla in uscita dal rotore. Si mostra anche il significato dell’angolo β, cio`e l’angolo tra la velo- cit`a relativa e il piano meridionale locale. Essendo la componente radiale del flusso in usci- ta approssimativamente nulla i triangoli di velocit`a rappresentati giacciono su di un piano azimutale-assiale.

relativa in uscita deve essere uguale in modulo, e opposta, alla velocit`a di trascinamento, quindi:

WH4sinβH4= rH4Ω (4.28)

`

e la condizione che determina l’angolo di flusso relativo in uscita dal rotore (vedi figura 4.8). Tale equazione `e espressamente scritta per la linea di flusso adiacente al mozzo, ma di fatto verr`a riutilizzata per tutte le strisce di flusso. Infine l’angolo β `e l’angolo della velocit`a relativa rispetto al piano meridionale, come descritto nei triangoli di velocit`a di figura 4.8. Per chiarezza si sottolinea che l’angolo di flusso β, tra vettore velocit`a e piano meridionale, `e concettualmente distinto dall’angolo di pala βB che verr`a

descritto in seguito, relativo all’inclinazione locale delle pale rotoriche rispetto al piano meridionale. Infatti i due angoli sono coincidenti soltanto nelle analisi che tengono conto di un flusso ben guidato. Nelle equazioni appena presentate si sfruttano le sole condizioni nella sezione di uscita, in cui inoltre la velocit`a ha una componente radiale trascurabile, e quindi la situazione descritta dai triangoli di velocit`a `e molto semplice (il tutto giace su di un piano definito dai versori azimutale ed assiale). Nel seguito si sfrutter`a l’angolo β proprio per la determinazione della inclinazione palare βB, ma i due concetti non devono

essere confusi; infatti βB sar`a definito esattamente in sezione 4.3.2.

2. la velocit`a relativa in modulo, in uscita : WH4

3. la direzione del flusso relativo in uscita : βH4.

Gli sviluppi sono stati esposti nel particolare per la striscia di flusso adiacente al mozzo ma valgono esattamente per tutte le strisce di flusso, a patto di conoscere il raggio di uscita delle stesse. Per ora si conosce il solo raggio al mozzo, ma dall’equazione di continuit`a si possono ottenere stime di tutti gli altri raggi. Nota la portata che passa dalla strisce di flusso si pu`o quindi determinare, attraverso un semplice bilancio di massa, il suo spessore alla stazione 4:

bH4=

˙ mdes

nstrWH4ρH4cosβH4(2πrH4− NRtout)

(4.29) In questa equazione si nota la presenza dell’ingombro azimutale delle pale alla sta- zione di uscita del rotore tout, il quale impone un bloccaggio e riduce la sezione di

passaggio. L’ingombro in uscita viene ottenuto dallo spessore della pala in uscita spout

e dall’inclinazione della pala in uscita: tout= tout(r4) = spout cosβ(r4) = spout cosβ(rH4) (4.30) infatti lo spessore di pala viene considerato costante in uscita, come verr`a spiegato nel seguito del presente capitolo. L’ingombro dipende tuttavia dall’inclinazione della pala e quindi tout = tout(r4).

Per il resto si tratta di un semplice bilancio di massa che permette di ottenere lo spessore della striscia di flusso adiacente al mozzo, allo stadio 4 della turbina. L’utilit`a di questa informazione sta nel poter stimare il raggio di uscita della striscia di flusso superiore a quella adiacente al mozzo, che qui si indica con H + 1. Infatti si pu`o stimare, nel limite di strisce di flusso molto sottili, che :

r_(H+1)4= rH4+ bH4 (4.31)

Nota la stima del raggio su cui si localizza l’uscita della striscia di flusso H + 1, tutti i calcoli appena esposti per la striscia H possono essere ripetuti; si determinano tutte le condizioni in uscita e si ripete il bilancio di massa. Ammesso di considerare un alto numero di strisce (nell’ordine di 100 per ottenere una precisione accettabile), e di ripetere il calcolo delle condizioni di uscita attraverso le equazioni dalla 4.23 alla 4.31 (riscritte in forma generale per la striscia di flusso considerata), si riesce a determinare il seguente set di grandezze:

1. β4(r4) : direzione del flusso relativo in uscita al variare del raggio delle strisce di

flusso

2. W4(r4) : valore assoluto della velocit`a relativa

4. M₄0(r4) : valore del numero di M ach relativo in uscita al variare del raggio r4

5. b4(r4) : spessori delle strisicie di flusso considerate; anche se corrispondono alla

stessa portata, gli spessori sono diversi perch`e cambiano le grandezze fuidodina- miche. Da un punto di vista numerico si otterranno nstr valori dello spessore delle

strisce di flusso in uscita, chiamati b4i

6. rS4: raggio di uscita del profilo di estremit`a del canale meridionale, ottenuto dalla

somma degli spessori delle strisce di flusso e dal raggio del profilo di mozzo rH4

(infatti rS4 = rH4 +P b4i). Questo dato, assieme a β(r4) sar`a principale nella

determinazione della geometria del rotore.

Al di l`a della strategia approssimata con cui il calcolo delle condizioni in uscita `e stato condotto, si ripetono qui le condizioni principali che hanno permesso tali sviluppi: 1. in primis l’introduzione del parametro libero rH4, corrispondente al mozzo in

uscita. Senza di esso la strategia iterativa non avrebbe avuto un punto di inizio. 2. essenziale `e stata la richiesta di pressione statica P4uniforme in uscita. Il suo valore

verr`a determinato nella prossima sottosezione, ma la condizione di uniformit`a `e alla base della strategia stessa per determinare M₄0.

3. la richiesta di annullare la componente azimutale della velocit`a assoluta del flusso in uscita dal rotore, in modo di evitare perdite di energia cinetica associata a tale componente.

Nella prossima sottosezione verr`a infine determinato il valore della pressione P4. Si

osserva che le equazioni dalla 4.23 alla 4.31 sono state espressamente scritte per la striscia di flusso al mozzo, ma inserendo termini generici le stesse sono valide per ogni striscia di flusso.

Come spiegato ad inizio paragrafo tutte le equazioni utilizzate mantengono l’as- sialsimmetria; questo permette di dire che le condizioni del flusso in uscita non si distanzieranno eccessivamente da questa condizione.

Ultima considerazione da fare riguarda il fatto che il metodo si basa sulle equazioni di Eulero e su relazioni isoentropiche; quindi su di un approccio del tutto ideale. Come gi`a spiegato in 4.2.2 l’intero modello geometrico del rotore sar`a realizzato su base ideale. Ad esso si sovrapporranno i modelli di perdita come esposto in 5.

Determinazione della pressione di uscita dal rotore

Lo sviluppo precedente si `e basato sulla conoscenza della pressione statica P4, che co-

stituisce una incognita non ancora determinata. La pressione statica infatti dipende dal fatto che si utilizzi o meno un diffusore a valle del rotore. La funzione del diffusore `e gi`a stata descritta nell’introduzione, esso permette di abbassare la pressione statica in 4 rispetto alla stazione di uscita della macchina stessa (o dello stadio che si considera).

Questo abbassamento `e dettato dal fatto che la pressione aumenta all’interno del diffu- sore sino alla pressione Pout, stabilita da progetto, che si richiede all’uscita dello stadio.

Solitamente infatti il rapporto statico di espansione della turbina PT 0/Pout `e noto da

progetto, e quindi stabilita la pressione totale all’ingresso della macchina, la pressione statica di uscita (Pout) viene ricavata di conseguenza. Si presenteranno le considerazioni,

e la modellazione del diffusore, in un capitolo a se stante (vedi capitolo 6), per ora in- teressa conoscere la sola informazione di pressione statica in uscita dal rotore. Nel caso in cui un diffusore non sia presente la pressione statica P4 = Pout, dove Pout `e appunto

una informazione progettuale, mentre nel caso in cui un diffusore sia presente occorre stimare diversamente la pressione P4.

Esistono delle considerazioni fluidodinamiche sperimentali (vedi Rif.[1]) che indicano come il recupero di pressione associato ad un diffusore, esplicitamente:

Cp=

Pout− P4

PT 4− P4

(4.32) sia limitato a valori ottimali dell’ordine di Cp = 0.68. La definizione del fattore di

recupero di pressione `e riscritta con la nomenclatura specifica degli stadi considerati nella presente tesi. Per il modello descritto non si conoscono le caratteristiche geometri- che, funzionali o tecnologiche che debba avere il diffusore. Ad esempio non si conosce la direzione di uscita (radiale o assiale) del flusso, oppure la necessit`a di interfacciarsi con un nuovo stadio. Per questi motivi non si pu`o stabilire che il diffusore da considerare abbia prestazioni ottime, ma si richiede almeno che queste siano accettabili. Ad esem- pio si prescrive Cp = 0.6, valore facilmente ottenibile (vedi Rif.[1]) dal punto di vista

applicativo. Se il diffusore dovesse avere prestazioni migliori la pressione P4 sarebbe pi`u

bassa di quanto verr`a stimato, garantendo quindi un funzionamento ancora migliore del rotore, data la maggiore espansione associata.

Le motivazioni di questa scelta sono veramente molto importanti, infatti permette di svincolare la modellazione del rotore dalle caratteristiche di un diffusore di cui non si conosce quasi nulla. La scelta di un Cp noto permetter`a di definire tutte le condizioni

fluidodinamiche necessarie e sufficienti al progetto rotorico. Inoltre la scelta del valore di Cp = 0.6, come spiegato in Rif.[1], `e conservativa e quindi il modello rotorico potr`a

al massimo comportarsi meglio di quanto si calcoler`a e non peggio. Maggiori dettagli riguardo a queste scelte verranno esposti nel capitolo 6. Se di fatto il Cp sar`a 0.6, allora

dalla definizione 4.32 si pu`o determinare P4 note che siano PT 4 e Pout. La seconda `e

come detto una informazione di progetto, mentre la prima va stimata opportunamente. Per ottenere la pressione totale in uscita si utilizza direttamente l’equazione di Eulero, assieme a PT 4= PT 3ch ( TT 4 TT 3ch ) γ γ−1 _(4.33)

Dalla scelta di imporre una componente azimutale nulla del flusso in uscita si ottiene un valore uniforme della pressione totale in uscita, questo semplifica notevolmente i calcoli. Purtroppo questa non `e la stima definitiva della pressione totale, per il fatto che uscendo dai canali, proprio come `e avvenuto in ingresso (vedi sezione 4.2.1), si ha un

brusco salto della sezione di passaggio, per via del bloccaggio delle palette. Questo genera una perdita di pressione totale, che si `e dimostrata (nella modellazione del diffusore, vedi capitolo 6) sempre minore del 10% della pressione totale stessa PT 4. Quindi si fa

riferimento ad una nuova pressione totale all’ingresso del diffusore definita come PT 4d=

0.9 · PT 4. Basandoci su tale stima della perdita di pressione totale, del tutto provvisoria,

si pu`o indicare come pressione statica ottenibile grazie al diffusore alla stazione 4 la seguente:

P4 = Pout− 0.6(PT 4d− Pout). (4.34)

Per ottenere questa si sono commessi due errori di approssimazione, del tutto con- servativi, sul lavoro del diffusore. Nello specifico la perdita di pressione totale del 10% all’uscita del diffusore, e il fattore di recupero di pressione Cp = 0.6 del diffusore stesso.

Nel caso in cui la situazione dovesse essere meglio di quella considerata si otterrebbe una pressione P4 inferiore, e quindi un funzionamento migliore del rotore. Ad esempio il

funzionamento migliora per via della maggiore espansione del flusso nel rotore e quindi del maggiore numero di M ach nella equazione 4.25. Questo causa la diminuzione della criticit`a da separazione degli strati limite. In realt`a la stima cos`ı fatta della pressione P4

si `e rivelata convincente, infatti permette di rendere il modello rotorico indipendente dal modello del diffusore, come spiegato in dettaglio nel capitolo 6. Inoltre `e difficile trovare stima migliore senza conoscere la particolare applicazione, e forma del diffusore stesso.

Si nota inoltre che nella perdita di pressione totale (al fine di ottenere la pressione totale in ingresso al diffusore PT 4d) non si sono considerate le perdite nei canali roto-

rici. Questo perch`e, come descritto nel paragrafo precedente 4.2.2, le pressioni totali reali subiscono due tendenze opposte per via delle perdite di canale, e quindi possono

Nel documento Modello di ordine ridotto per l'ottimizzazione di turbine radiali (pagine 106-115)