Condizioni di ingresso nel rotore e velocit` a di rotazione

L’ingresso del rotore `e indicato come stazione 3 nella notazione utilizzata nel presente la- voro. Ipotizzando di analizzare un determinata configurazione dei parametri liberi sopra definiti, relativamente ad un caso applicativo, i modelli esposti nei capitoli precedenti permettono di conoscere, alla stazione 3, le seguenti informazioni:

1. la pressione totale alla stazione 3, ottenuta dall’analisi delle perdite nei componenti statorici: PT 3

2. la direzione del flusso in ingresso nel rotore : α3

3. la temperatura totale, ritenuta invariata rispetto alla TT 0 perch`e si sono utilizzate

ipotesi di adiabaticit`a in tutti i componenti trattati : TT 3

4. il numero di M3 nella sezione 3, al quale corrispondono, note la pressione totale, la

temperatura totale e la direzione del flusso, le seguenti grandezze note : Ur3, Vϑ3,

ρ3, p3, T3

5. il raggio della stazione 3, coincidente con il raggio di uscita dal tratto non palettato, e nota dalla prescrizione del parametro libero r2 : r3= 0.95 r2

6. lo spessore dei canali rotorici in ingresso al rotore, spessore valutato assialmente perch`e l’ingresso nel rotore `e un canale anulare, come mostrato in figura 3.2. Si era infatti imposto che b1 = b2 = b3e quindi si tratta di uno spessore noto direttamente

Da questo elenco di parametri, sembra che ci sia poco da definire nella stazione di ingresso, invece si devono studiare le grandezze nel sistema relativo al rotore. Purtroppo non si conosce la velocit`a di rotazione del rotore, e quindi si devono fare delle considera- zioni del tutto essenziali per calcolare questo parametro. Le grandezze relative verranno indicate in tutto lo sviluppo che segue con l’apice (ad esempio P_{T 3}0 per la pressione totale relativa).

Prendiamo in considerazione il triangolo di velocit`a mostrato in figura 4.1 (caso (a)), come si era detto questo vale come esempio di una delle scelte tipiche nel progetto di turbine radiali. Se la velocit`a azimutale relativa in ingresso fosse prescritta nulla allora:

Ωr3 = Vϑ3 (4.6)

e quindi la velocit`a di rotazione sarebbe immediatamente calcolata. Imponendo poi, come si fa di solito, delle palette in ingresso dritte (segmento rettilineo tra i profili palari di mozzo e estremit`a) e radiali (come spiegato in 4.1) si otterrebbe una incidenza nulla sulle palette rotoriche in ingresso. Incidenza nulla `e sinonimo di basse perdite fluido- dinamiche e questo rimane vero anche nel presente caso. Tuttavia `e stato dimostrato (Rif.[1]) come l’incidenza nulla non permetta il valore minimo delle perdite. Il motivo per cui ci`o avviene pu`o essere capito se si considera la natura fluidodinamica di un flusso relativo che entra radialmente nella palettatura. Come mostrato in figura 1.4, e come esposto in Rif.[3], deve esistere un vortice controrotante che ripristini la irrotazionalit`a del campo assoluto (e non relativo) di velocit`a. Quindi non pu`o esistere una situazione in cui il flusso relativo in ingresso sia solo radiale; essendo le pale radiali in ingresso ci`o implica che esiste una componente non guidata del flusso, e quindi non diretta come le pale stesse. Tale vortice controrotante `e uno degli effetti principali che distinguono il flusso ben guidato dal flusso reale. Il risultato all’ingresso (stazione 3) `e la presenza di una componente media azimutale di velocit`a controrotante, stimabile come:

V_ϑslip= Ωr3

π NR

(4.7) dove V_ϑslip `e detta ”slip velocity”. Tale formula deriva dalla semplice applicazione del teorema di Stokes, imponendo l’irrotazionalit`a del flusso (per dettagli a riguardo vedere Rif.[8]). Nell’equazione Ω `e la velocit`a di rotazione del rotore ed NR il numero

di pale rotoriche. Questa equazione `e comunque difficile da sfruttare perch`e appunto mancano due informazioni che non si sono ancora ricavate: la velocit`a di rotazione e il numero di pale. Questo impone di inserire il primo parametro libero riguardo al rotore e cio`e lo stesso NR. Si tratta di una informazione mancante, che non si pu`o fare a meno

di conoscere e che sar`a essenziale per tutto lo sviluppo che segue. Numeri diversi di pale verranno testati attraverso il programma di ottimizzazione cos`ı da determinare il valore ottimo. Come `e vero per tutti i parametri liberi, si considerer`a NR noto per tutto lo

sviluppo che segue.

Fortunatamente l’incidenza che si `e sperimentalmente dimostrata ottima per limitare le perdite di pressione all’ingresso del rotore `e proprio quella derivante dalla ”slip velo- city”. Molti autori, come ad esempio Aungier (vedi [1] e [9]), spiegano come, per avere

perdite minime, il flusso medio deve entrare nel rotore con una incidenza prodotta dalla sola componente V_ϑslip. Questo corrisponde a dire che la velocit`a in ingresso deve essere costituita da un componente di velocit`a relativa ad incidenza nulla, e quindi diretto come le pale, e da un componente relativo azimutale di modulo pari alla ”slip velocity”. Per ottenere le informazioni che ci necessitano, in particolare Ω si prescrive che:

1. le palette rotoriche abbiano una direzione in ingresso radiale

2. l’unica componente di velocit`a relativa azimutale sia di segno controrotante rispetto al rotore, e di valore pari alla ”slip velocity”.

A partire da queste indicazioni `e molto semplice ricavare la velocit`a di rotazione, infatti si determina: Ωr3= Vϑ3+ V slip ϑ = Vϑ3+ Ωr3 π NR (4.8) e quindi la velocit`a di rotazione del rotore pu`o essere facilmente determinata attra- verso:

Ωr3 = Vϑ3/(1 −

π NR

) (4.9)

dove si hanno tutte le informazioni geometriche necessarie. Questa relazione implica che, a partit`a di raggio r3 di ingresso nel rotore e a parit`a di componente azimutale della

velocit`a in ingresso, si hanno delle velocit`a di rotazione leggermente variabili al variare del numero di pale. Un numero di pale maggiore implica una ”slip velocity” inferiore e quindi una velocit`a di rotazione leggermente inferiore a parit`a di altre grandezze. La strategia appena applicata permette di ottenere una velocit`a relativa in ingresso composta dalla componente radiale del flusso e dalla sola componente azimutale connessa con la ”slip velocity”; cos`ı facendo si ottiene un’incidenza rotorica ottima.

Nell’impostare il procedimento sino a questo punto sono state due le grandi impo- sizioni del modello rotorico. La prima `e quella di richiedere palette radiali in ingresso, e questa scelta, motivata in precedenza, `e quella solitamente utilizzata progettualmente (vedi Rif.[1]). Si potrebbe obbiettare che lo scopo del modello `e quello di ottenere la configurazione che ottimizzi la potenza, e la scelta di palette radiali non `e basata su relazioni o sperimentazioni, che la indichino come scelta ottima. Nonostante ci`o il mo- dello ha come scopo il disegno preliminare di una turbina ottima, e , come descritto in Rif.[1], le palette radiali sono molto vicine alla condizione ottima e le migliori dal punto di vista del comportamento della turbina fuori condizioni di disegno; per questi motivi si `e ritenuta la scelta migliore. Inoltre un modello di ordine ridotto deve appoggiarsi in vari punti a delle prescrizioni che permettano di semplificare il problema, altrimen- ti si dovrebbe aumentare il numero di parametri liberi tanto da rendere il processo di ottimizzazione numericamente ingestibile. Molte volte lo sviluppo del modello rotorico dovr`a fare delle scelte non direttamente giustificate da principi di ottimo, ma questo ha il senso di spostare la selezione sui parametri e sulle grandezze geometriche che giocano

un vero ruolo nel processo di ottimizzazione come ad esempio il numero di pale NR o il

raggio r2.

La seconda imposizione riguarda la richiesta di una incidenza basata sulla sola ”slip velocity”, questa si `e dimostrata ottima da sperimentazioni accurate come esposto in Rif.[1].

Il grande risultato degli sviluppi ora esposti `e la possibilit`a di calcolare la velocit`a di rotazione, e quindi di tutte le grandezza fluidodinamiche in un riferimento solidale al rotore, nella stazione 3.

Si parte dalle componenti di velocit`a nel riferimento relativo:

Ur3 = Wr3 (4.10)

Wϑ3= −V slip

ϑ (4.11)

e quindi si ottiene la velocit`a relativa in modulo: W3 =

p

(Wϑ3)2+ (Wr3)2. (4.12)

La temperatura totale relativa `e ottenuta considerando la differenza di energia cine- tica specifica tra flusso e flusso relativo, in particolare:

T_{T 3}0 = TT 3−

(U3)2− (W3)2

2cp

(4.13) dove cp indica il calore specifico del gas in questione (cp calcolato alla stazione 3 se

si ritiene che questo possa variare nel passaggio dalla macchina), mentre U3 e W3 sono

e velocit`a assoluta e relativa allo stadio 3. Infine TT 3 e T

0

T 3 sono le temperature totali

relative allo stadio 3. Per ottenere la pressione totale relativa si utilizza una relazione isoentropica che tenga conto della temperatura totale relativa appena calcolata:

P_{T 3}0 = PT 3 ( T_{T 3}0 TT 3 ) ( γ γ−1) _(4.14)

dove γ `e il rapporto dei calori specifici come pi`u volte detto nei paragrafi precedenti. Quindi si sono determinate facilmente due grandezze molto importanti per lo sviluppo che segue, la pressione totale relativa P_{T 3}0 e la temperatura totale relativa T_{T 3}0 .

A questo si pu`o calcolare il numero di M ach relativo all’ingresso del rotore. Dalla co- noscenza della velocit`a relativa e della temperatura totale relativa si imposta la seguente relazione: W3 q γRgasT 0 T 3 = M₃0 (1 +γ − 1 2 M 0₂ 3 ) −1 2 (4.15)

dove Rgas `e la costante specifica del gas, al fine di ricavare numericamente M

0

3.

Tali informazioni esaurirebbero il set necessario se si considerasse una geometria del rotore ideale, ed in particolare se non si considerassero gli spessori delle palette in

Figura 4.6: Schema Fluidodinamico sul modo di caratterizzare il flusso all’ingresso dei canali rotorici

ingresso. In realt`a, come la stessa figura 4.6 testimonia, `e necessario che il flusso entri nei canali rotorici; pur restando alla stazione 3 deve subire delle modificazioni perch`e il bilancio di massa sia rispettato. Detto in altri termini, gli spessori delle palette occludono una parte del canale anulare all’uscita del tratto non palettato (2 − 3), e quindi il flusso relativo subir`a una brusca, seppur molto piccola, restrizione della sezione di passaggio. Tale restrizione causa:

1. una perdita di pressione totale associata alla brusca variazione di velocit`a 2. una variazione delle propriet`a fluidodinamiche per la restrizione di sezione.

Per rendere semplice lo sviluppo del modello che segue, le palette verranno schema- tizzate in ingresso, con un certo spessore noto . In figura 4.6 si mostra la forma utilizzata dal modello per le palette all’ingresso del rotore. Un paragrafo successivo verr`a dedicato alla descrizione analitica della forma complessiva della paletta e degli spessori, per il momento bastano le poche informazioni sulla paletta in ingresso. In realt`a una forma realistica sarebbe probabilmente pi`u arrotondata, come mostrato in figura 4.6 (in alto), ma gli errori commessi considerando una forma ”squadrata”, sono conservativi in termi- ni di pressione totale. La forma utilizzata in questo modello `e del tutto schematica, ed infatti si desidera avere una idea dell’effetto degli spessori delle palette piuttosto che una descrizione dettagliata. Infatti la forma finale (progetto complessivo) verr`a scelta per motivi che includono, oltre che il disegno aerodinamico, anche considerazioni strutturali e costruttive.

Per ora si prescrive uno spessore delle palette all’ingresso del rotore, pari a:

sp3 = 0.02r3 (4.16)

secondo una proporzione standard esposta in Rif.[1].

Dato che il salto `e molto piccolo, anche con elevati numeri di pale, si considera che la densit`a rimarr`a circa costante nell’entrare nei canali palari. Inoltre le velocit`a radiali relative Wr3 sono solitamente molto basse, e quindi gli effetti di comprimibilit`a

trascurabili. Nonostante ci`o si considera uno sviluppo gasdinamico del problema, per essere pi`u precisi, e per poter considerare casi con alto M₃0. Per chiarezza, si considerano le grandezze fluidodinamiche in 3, ma all’interno dei canali palari, con il pedice 3ch (come mostrato in figura 4.6). Infatti si cerca di analizzare quali siano le reali condizioni fluidodinamiche in ingresso nel rotore, considerando che differiscono dall’uscita del tratto 2 − 3, per la presenza delle pale stesse. Quindi, pur rimanendo al raggio r3 occorre

distinguere le propriet`a come se si trattasse di una stazione diversa, per questo motivo si indicano con 3ch.

Le seguenti equazioni permettono di trovare le condizioni di ingresso della palettatura rotorica.

Per ricavare il numero di M ach relativo all’interno dei canali palari si considera il seguente sistema da risolvere iterativamente, partendo con il valore iniziale di

P_{T 3ch}0 = P_{T 3}0 : 2πr3b3ρ3Ur3 = cosα 0 3(2πr3b3− sp3NRb3) P_{T 3ch}0 q RgT 0 T 3ch/γ M_3ch0 (1 + γ − 1 2 M 0₂ 3ch) (−_2(γ−1)γ+1 ) (4.17) P_{T 3ch}0 = P_{T 3}0 − 0.5ρ3(U 0₂ 3chr− U 0₂ 3r) (4.18)

La prima equazione rappresenta il bilancio di massa tra dentro e fuori i canali palari rotorici, alla stazione 3. Tutte le grandezze utilizzate sono di ovvia comprensione. Si nota come l’angolo α0₃ debba essere considerato per tenere conto del solo componente radiale della velocit`a nel bilancio di massa. Il contributo (2πr3b3 − sp3NRb3) tiene

invece conto della reale sezione di passaggio escluso il bloccaggio connesso agli spessori palari. La prima equazione, di fatto corrispondente alla 3.25 da un punto di vista concettuale, ha bisogno della pressione totale relativa P_{T 3ch}0 per poter essere risolta. Questa differisce dalla P_{T 3}0 per una perdita di pressione totale collegata alla brusca variazione di energia cinetica (equazione 4.18) imposta dal restringimento. Tale perdita si `e dimostrata veramente molto bassa nello sviluppo del metodo, effettivamente irrisoria rispetto alle altre fonti di perdita. Tuttavia per precisione viene qui considerata, e impone di stabilire un procedimento iterativo, tra le due equazioni, che di fatto converge rapidamente.

In particolare dalla prima equazione si ricava M_3ch0 , poi considerando la temperatura totale invariata si ricava la velocit`a relativa in modulo, con una equazione del tipo della

4.15 . La componente azimutale della velocit`a non ha motivo di cambiare nell’ingresso dei canali palari (la conservazione della velocit`a azimutale Vϑ3deriva dalla conservazione

del momento angolare), e quindi si calcola la componente radiale W3ch. Infine si aggiorna

il valore della pressione totale P_{T 3ch}0 attraverso l’equazione 4.18, e si utilizza di nuovo l’equazione 4.17. Il processo termina alla convergenza di M_{T 3ch}0 , ed in particolare quando due valori successivi del processo iterativo differiscano per meno di 0.0001. Tale criterio di convergenza si `e dimostrato sufficientemente preciso, inoltre permette buone velocit`a di calcolo nei programmi realizzati basandosi sul modello di ordine ridotto qui presentato. Dalla risoluzione di questo problema, si ottengono finalmente tutte le informazioni necessarie all’ingresso del rotore, e in particolare all’ingresso dei canali palari alla stazione 3. Si riassumono le informazioni che gli sviluppi esposti permettono di ricavare:

1. tutte le propriet`a fluidodinamiche, relative o assolute, nella stazione 3, considerate all’esterno (ad esempio P_{T 3}0 , M₃0) o all’interno del canale palare (ad esempio P_{T 3ch}0 , M_3ch0 )

2. la velocit`a di rotazione del rotore Ω 3. le informazioni sulla ’slip velocity’: V_ϑslip.

Si passa quindi a trattare brevemente delle considerazioni sul flusso medio nei canali palari, in particolare per ricavare le pressioni e le temperature totali, che saranno utili negli sviluppi che seguono.