4.4 Analisi del flusso meridionale e processo iterativo di disegno del canale
4.4.3 Determinazione dei nuovi profili meridionali e procedimento
Una volta ottenuti i campi di velocit`a e densit`a mediati azimutalmente, in tutto il canale meridionale, `e molto facile ricavare lo spessore delle strisce di flusso. Di fatto si erano gi`a considerate le nstr strisce, dalle quali passa la portata ˙mdes/nstr. Lo spessore locale
delle strisicie di flusso bss(m; n) viene ottenuto attraverso:
˙
mdes/nstr = 2πrKBρWmbss(m; n) (4.73)
dove KB(m; n) `e il fattore di bloccaggio palare precedentemente definito tramite 4.51.
A parte il termine di bloccaggio, si tratta chiaramente di un bilancio di massa in una striscia di flusso cilindrica, che ha come generatrici i profili meridionali che delimitano la sezione meridionale di una striscia di flusso. Il bilancio infatti contiene il fattore 2πr che tiene conto di tutta l’escursione azimutale. La velocit`a entra in gioco attraverso il suo componente meridionale; per questo motivo lo spessore della striscia viene misurato normalmente alla velocit`a meridionale e quindi normalmente alla direzione della striscia di flusso stessa. Tali considerazioni diventano rigorose quando si considerino delle strisce di flusso infinitesime; da ognuna di esse passa una frazione infinitesima della portata stessa. Come gi`a indicato precedentemente, nel metodo numerico si `e considerato un numero di strisce di flusso nstr > 100. Questo permette anche di confondere le propriet`a
fisicamente variabili nella direzione trasversale della striscia di flusso con i valori nel punto medio dello spessore trasversale. Ad esempio il raggio r incluso nella precedente equazione, viene considerato dal modello come coincidente con il raggio del punto medio in direzione trasversale della striscia di flusso, per ogni coordinata m. Ovviamente se si utilizzassero infinite strisce di flusso queste sarebbero cos`ı sottili da poterle confondere con dei piani. In questo modo si perderebbe l’arbitrariet`a del punto in cui calcolare r, cos`ı come tutte le propriet`a e ci si ridurrebbe infatti ad una analisi nel continuo. Nel presente modello un numero di strisce nstr > 100 si `e comunque rivelato pi`u che
sufficiente per l’ottenimento di una precisione adeguata.
Il metodo permette di ottenere lo spessore della striscia di flusso che si considera, con un approccio del tutto locale. Come figura 4.19 mostra, a partire dal confine con la striscia di flusso di coordinate trasversali inferiori, si ottengono le coordinate del confine superiore della striscia di flusso che si considera. Ad esempio, a partire dal profilo di mozzo del rotore (di coordinate [mH; nH = 0]), si ottiene il profilo meridionale di confine
Figura 4.19: Schema del procedimento per ottenere i profili meridionali a partire dalla conoscenza di bss(m; n)
tra la prima (adiacente al mozzo) e la seconda striscia di fusso attraverso le equazioni seguenti:
n1 = nH + bss(m; n = 0) m1 =
mH
mmaxH
· mmax1 (4.74)
in cui n1 ed m1 sono le coordinate trasversale e meridionale del profilo che delimita
le prime due strisce di flusso, partendo dal mozzo. Invece nH e mH sono le coordinate
del profilo al mozzo, mmaxH la lunghezza del profilo al mozzo e mmax1 la lunghezza del
profilo che si sta calcolando, di cui una stima `e fornita dalla griglia al passo precedente del metodo (come detto pi`u volte si tratta di un metodo itertivo). Tale dimensione mmax
era gi`a stata definita parlando di coordinate adimensionali sulla griglia meridionale in sezione 4.3.2. Al prima iterazione si utilizzano le informazioni sulla griglia basata sul profilo di estremit`a esterna temporaneo. Chiaramente il metodo esposto diventa sempre pi`u preciso all’aumentare del numero di strisce di flusso considerato. In termini generci l’equazione per l’ottenimento dei profili meridionali si pu`o scrivere come:
ni+1= ni+ bss(m; n) ζ = cost (4.75)
dove il pedice i individua un particolare profilo meridionale. Con questa tecnica si ri- costruiscono le linee coordinate ζ = cost(si ricorda che ζ `e definito attraverso l’equazione 4.45); quindi si ottengono le coordinate dei profili meridionali tra strisce di flusso conse- cutive, ed infine le coordinate del nuovo profilo di estremit`a esterno. Dal punto di vista numerico del metodo, ci`o corrisponde alla definizione di una nuova griglia. A differenza di quella definita in 4.3 si tratta di una griglia ottenuta da equazioni fluidodinamiche e non geometriche.
Figura 4.20: Confronto tra le due geometrie del canale meridionale, quella temporanea e quella definitiva basata sulle strisce di flusso. Si intuisce anche quanto siano simili le geometrie dei profili meridionali
A partire dai nuovi profili meridionali si ricalcolano tutte le informazioni necessarie, come le nuove curvature locali km(m; n) e le nuove direzioni locali delle strisce di flusso
φ(m; n). Con tutte le informazioni possedute il metodo descritto nei paragrafi 4.4.1, 4.4.2, e in quello attuale, pu`o essere ripetuto sino a convergenza della geometria. Alcune informazioni sul processo numerico completo per la definizione del canale meridionale sono riportate in Appendice C, anche per fornire un riassunto schematico dei passaggi iterativi della strategia.
I programmi sviluppati permettono di realizzare questo processo fino a completamen- to, ma in realt`a nella versione finale dei programmi (utilizzati per l’algoritmo di otti- mizzazione) si `e deciso di non utilizzare l’iterazione sino a convergenza, sostanzialmente per motivi di rapidit`a. Si `e infatti notato che il profilo definitivo di estremit`a (e quindi la griglia) `e estremamente vicino al profilo calcolato dopo la prima iterazione di calcolo meridionale; le differenze sono inferiori al millimetro. Il motivo, come gi`a preannunciato, sta nel fatto che il profilo esterno di estremit`a temporaneo, definito all’inizio, `e molto simile a quello finale (vedi figura 4.21). Tanto simile che i termini km e φ calcolati dalla
griglia temporanea sono molto prossimi a quelli ottenuti a convergenza del metodo. Tali grandezze geometriche (km e φ) sono infatti le principali informazioni provenienti dalla
griglia temporanea. Se si conoscessero sin dall’inizio le distribuzioni definitive di km e φ
non sarebbe necessario il processo iterativo; fortunatamente quelli temporanei forniscono gi`a una buona approssimazione. Per questi motivi il procedimento iterativo, necessario proprio per svincolare la soluzione finale dalla griglia temporanea definita come punto di partenza, raggiunge convergenza molto rapidamente. Quindi dalla prima iterazione si ottengono informazioni considerate adeguate rispetto agli obbiettivi del presente metodo di ordine ridotto. Iterazioni successive correggerebbero la geometria ottenuta in modo irrisorio e allo stesso tempo renderebbero i programmi numerici considerevolmente pi`u
Figura 4.21: Confronto diretto del profilo esterno temporaneo, definito inizialmente dal metodo, e del profilo definitivo ottenuto al termine del procedimento iterativo.
lenti.
Per i calcoli che seguiranno sull’analisi da pala a pala, verr`a utilizzata la configura- zione definitiva della griglia, basata sui profili meridionali che individuano le strisce di flusso.
Un esempio di risultato sul canale meridionale, assieme al confronto con il canale temporaneo ottenuto dal metodo, `e mostrato nelle figure 4.20 e 4.21. Si nota come le geometrie siano molto simili, ma una grossa differenza `e presente all’ingresso del rotore. Il profilo di estremit`a esterno ridefinito ha una inclinazione rispetto alla direzione radiale. Questo `e l’effetto dell’aver considerato una densit`a di portata con derivata nulla in ingresso (come prescritto dal metodo). Infatti al diminuire del raggio (∂r/∂m < 0) se
∂(ρWm)
∂m (m = 0; n) = 0
allora dal bilancio di massa, si deve avere un aumento dello spessore del canale, quindi ∂b/∂m > 0. A questo `e dovuta l’inclinazione del profilo esterno in ingresso. Tale inclinazione non `e per niente ovvia, e permette di intuire i vantaggi connessi con una definizione ”fluidodinamica” della griglia. Facendo altrimenti, ad esempio affidandosi a griglie pre-impostate, si rischia di non tenere sufficientemente in considerazione il modo di comportarsi del flusso. Questo pu`o causare la presenza di gradienti di pressione non naturali e dannosi rispetto ai fenomeni di separazione.
Si nota comunque che il modo di pre-definire il profilo esterno `e abbastanza efficace, perch`e, a parte questa caratteristica all’ingresso del rotore, i due profili si somigliano molto. Queste considerazioni non sono peculiari dell’esempio mostrato nelle figure 4.20 e 4.21 ma si riscontrano in generale.