Le perdite nella voluta sono di vario tipo: dalle perdite viscose sulle pareti interne, alle perdite per disuniformit`a del flusso, infine a quelle dei flussi secondari vorticosi, associati alla fuoriuscita del flusso stesso dal canale anulare della voluta. Si pu`o quindi commen- tare che tutte le semplificazioni del flusso ideale considerato, rispetto a quello reale, corrispondono ad aspetti del flusso non affrontati. Purtroppo, molto spesso, gli aspetti complessi corrispondono a delle fonti di perdita e irreversibilit`a, e quindi il modello, nel non considerarle, commette degli errori di analisi. Tuttavia non si pu`o pretendere da questo metodo di ordine ridotto una stima efficace di tutte le irreversibilit`a, per farlo occorrerebbe infatti una complessit`a di analisi che si allontanerebbe dagli scopi prefissati. L’obbiettivo principale delle perdite, `e invece quello di poter selezionare una configura- zione di voluta, rispetto alle altre, in termini di processo di ottimizzazione. Quindi la stima deve servire come strumento di giudizio, pi`u che come metodo di calcolo efficace delle prestazioni.
In concreto, volute con raggi medi inferiori, e con velocit`a medie di attraversamen- to superiori, dovranno essere sfavorite nel processo di selezione, per via delle perdite maggiori.
Inoltre, lo sviluppo degli strati limite sulle pareti `e difficilmente analizzabile, sia per la complessit`a del flusso, sia perch`e non si conosce la condizione degli strati limite all’ingresso della voluta. Questa `e infatti preceduta da componenti non analizzati nel modello.
Alla luce di queste considerazioni, il miglior modo per descrivere le perdite viscose nella voluta `e quello di schematizzarle come analoghe di quelle presenti in un condotto con stesso diametro idraulico. Inoltre il flusso `e caratterizzato da un numero di Mach molto basso, e quindi, una analisi incomprimibile sembra pi`u che sufficiente.
In sostanza le perdite di pressione totale per fenomeni viscosi sono calcolate attra- verso: ∆PT = 1 2 ρ0 Z 2π 0 fvol V2 DHvol r 1 + ( drc rcdϑ )2 r c dϑ (2.16)
dove fvol `e il coefficiente di attrito tipico per i condotti, dipendente dal numero di
Reynolds specifico; V `e la velocit`a media del flusso nella sezione di voluta, DHvol `e il
diametro idraulico ed rc `e il raggio medio della sezione. Ognuna delle grandezze citate
varia al variare della sezione di voluta che si considera, e cio`e occorre una integrazione al variare della coordinata azimutale ϑ. Il grosso difetto di un approccio del genere sta nel fatto che la pressione totale stimata attraverso la formula, viene applicata a tutto il flusso, come se non ci fossero disuniformit`a. Ci`o equivale a dire che la pressione totale all’uscita dalla voluta `e uniforme e cio`e che tutte le particelle fluide, pur avendo seguito traiettorie diverse, hanno subito la stessa diminuzione di pressione totale. L’analisi acquista quindi una valenza del tutto mediata, come di fatto si richiede al modello.
Tale impostazione `e chiaramente approssimata, perch`e non tiene conto del fatto che alcune linee di corrente abbiano un tempo di residenza maggiore nella voluta. Si consideri
Figura 2.8: Nella figura vengono mostrate le proiezioni, su un piano normale all’asse della mac- china, di due diverse traiettorie. Le traiettorie corrispondono a due particelle fluide all’interno di strati limite sulle superfici interne nella voluta. Si nota la differenza tra le distanze percorse, e quindi si intuisce uno sviluppo degli strati limite molto diverso.
la traiettoria delle particelle che escono dalla voluta per angoli azimutali alti (ϑ ∼= 2π). Per loro l’azione viscosa sar`a molto pi`u rilevante, e gli strati limite sviluppatisi in tali zone occuperanno una porzione del canale di uscita maggiore, rispetto a bassi valori di coordinata azimutale. La reale disuniformit`a del flusso consiste nella differente pressione totale che si potrebbe associare alle diverse particelle fluide in uscita dalla voluta a coordinate azimutali distinte. Tuttavia tale differenza di pressione totale corrisponde ad una piccola frazione della perdita nella voluta, che a sua volta corrisponde ad una piccola porzione delle perdite in tutta la turbina. Questa considerazione da sola basterebbe per ridimensionare il problema. Inoltre se anche nei componenti statorici si avesse una disuniformit`a azimutale di irreversibilit`a accumulata dal flusso, il rotore ruota. L’effetto viene quindi mediato all’ingresso del rotore, nel senso che il flusso nello stesso canale rotorico, accoglie particelle fluide provenienti da tutte le coordinate azimutali, in un giro di rotazione. Le disuniformit`a azimutali non hanno quindi impatto sulle prestazioni del modello matematico.
L’aspetto pi`u significativo `e proprio lo sviluppo degli strati limite, che impongono un bloccaggio al flusso in uscita dal canale anulare della voluta. Infatti, una sezione di passaggio inferiore causa, a parit`a di componente azimutale della velocit`a, un aumento del componente radiale. Ci`o significa che l’angolo di flusso in uscita dalla voluta sar`a diverso dal modello ideale, e variabile azimutalmente.
Tale variazione causa problemi nella stima dell’incidenza del flusso sulle palette del distributore, nelle diverse zone del canale anulare. Il modello affronta tale problema con
una stima dello strato limite, basato sulle seguenti ipotesi:
1. gli spessori e le caratteristiche dello strato limite in ingresso sono valutate a partire da una ipotesi del flusso entrante nella voluta. Si pensa ad un flusso pienamente sviluppato, turbolento, in un canale circolare
2. l’analisi dello strato limite `e affrontata integralmente, con equazioni semplifica- te (comprimibili e turbolente) in cui il fattore di forma dello strato limite viene considerato costante e prescritto da modello
3. ad ogni coordinata azimutale, si fa corrispondere una traiettoria elicoidale, basata sul modello ideale di flusso. Da queste si calcola la lunghezza delle traiettorie delle particelle fluide, in funzione dell’angolo ϑ
4. dato che possono esistere delle componenti assiali medie di velocit`a nella voluta, la traiettoria non pu`o essere stimata dal solo flusso elicoidale. Per considerare la parte assiale della traiettoria si considera un opportuno fattore maggiorativo della lunghezza altrimenti calcolata. Questa serve da stima per il calcolo degli strati limite
5. cos`ı facendo si ottiene una stima dello spessore dello strato limite in uscita, in funzione della coordinata azimutale. Tale stima viene utilizzata per il bloccaggio del canale anulare di uscita dalla voluta, e quindi per calcolare la deviazione del locale angolo di flusso
6. tale deviazione verr`a considerata nel modello del distributore come ulteriore forma di perdita.
Ultima perdita, relativamante alla voluta, corrisponde al fatto che il modello utiliz- zato per la velocit`a azimutale impone una precisa variazione Vϑ, con la coordinata r del
sistema di riferimento. Il flusso in ingresso nella voluta invece, ha pi`u verosimilmente un profilo di velocit`a costante. La differenza tra queste due velocit`a viene appunto conside- rata come una diminuzione di pressione totale, corrispondente alla perdita dell’ energia cinetica. Tale effetto si `e dimostrato comunque irrisorio.
Occorre concludere con un paio di considerazioni sul modello delle perdite. Innanzi tutto, il fatto di non considerare comportamenti fuori disegno, ha permesso di evitare la modellazione di molte perdite nella voluta: perdite di disuniformit`a, deviazione, e parziale diffusione, che sono state incluse in altri modelli analoghi (vedi Rif. [3]).
Infine, un commento sulla indipendenza del flusso nella voluta dalla portata di in- gresso. Infatti le equazioni sopra descritte risultano sempre lineari in ˙m o in Vϑ. Quindi,
variazioni della portata modificano il valore della velocit`a, ma non la direzione del flusso in uscita dalla voluta. Anche in condizioni fuori disegno non si ravvedono, almeno per il flusso nella voluta, problemi tipici che si riscontrano per volute di pompe e compres- sori, come descritto ad esempio in Rif.[2]. Problemi molto maggiori si avranno invece nell’accoppiamento tra l’uscita dalla palettaura e l’ingresso nel rotore.