della corda
Al fine di selezionare l’orientamento della paletta del distributore rispetto al sistema di riferimento, si utilizza una procedura specifica. In realt`a il metodo ottiene gli angoli di inclinazione della corda della paletta, e la lunghezza della corda, utilizzando delle relazioni geometriche.
Per sviluppare questo modello per`o, vanno assegnate due grandezze principali : 1. L’incidenza (i) del flusso al bordo di attacco della paletta viene imposta e fissata
dal modello. Si ritiene infatti che, specialmente in condizioni di disegno, l’inciden- za dovrebbe essere tanto bassa da limitare le perdite connesse. Si conosce da studi sperimentali che esiste una incidenza per cui si minimimizza la perdita di pressione totale, ed esistono correlazioni per determinarla. Invece che utilizzare tali correla- zioni, si preferisce fissare a priori una incidenza abbastanza bassa, ad esempio si sono utilizzati valori tra 0 − 3◦. Il motivo `e che si tratta di incidenze corrisponden- ti a perdite contenute, che permettono di restare conservativi rispetto a possibili deviazioni dell’ angolo di flusso (α1), provocate ad esempio da effetti viscosi nella
voluta. Tali deviazioni, come spiegato in 2.3, possono aumentare l’angolo di flusso α1 di circa 2 − 3◦. Quindi l’incidenza, in condizioni di disegno, dovrebbe tener
conto di tali deviazioni, di cui per`o si ha una stima del tutto inesatta. Per tale motivo, valori molto bassi di incidenza, fissati a priori, sono sembrati la soluzione migliore. L’alternativa sarebbe stata quella di selezionare l’incidenza con un’ot- timizzazione, ma con la consapevolezza che valori bassi sono sempre preferibili, e che si ha una stima non perfetta sulla direzione effettiva del flusso allo stadio uno. Inoltre ci`o avrebbe aumentato il numero dei parametri liberi, appesantendo il processo di selezione ed ottimizzazione.
Figura 3.6: Angoli di pala all’ingresso della palettatura. Esempio di palettatura a curvatura negativa.
2. In secondo luogo si introduce un altro parametro libero di ottimizzazione del modello. In particolare il raggio r2che segna la stazione di uscita dalla palettatura,
sulla quale si posizionano i bordi di uscita delle palette. Tale raggio, indicato in figura 3.2, si aggiunge agli altri parametri liberi descritti nei paragrafi precedenti, che qui si ripetono. Nominalmente il raggio esterno massimo di voluta Re0, il raggio
del canale di uscita dalla voluta r1, lo spessore assiale del canale di distribuzione
b1, la curvatura della paletta del distributore Θ. Con il raggio r2 si arriva a cinque
parametri liberi. Il motivo per cui si sceglie di fissare tale parametro, al posto ad esempio della corda della paletta, `e che r3= 0.95 r2 sar`a il principale parametro di
caratterizzazione del comportamento del rotore. Questo rende r2 uno strumento
ottimo per l’analisi dei risultati e per connettere gli statori al rotore.
Si presenta ora la procedura che permette di determinare orientamento e corda della paletta, utilizzando I e r2 come informazioni note. Le figure 3.6 e 3.7 riportano le
direzioni e le dimensioni principali che si utilizzano, con annessa nomenclatura. Tutti gli angoli sono definiti rispetto alla direzione azimutale del sistema di riferimento. In particolare gli angoli di flusso α1 e α2, gli angoli palari al bordo di attacco e bordo
di uscita, β1 e β2 (angoli tra linea media della paletta e direzione azimutale). Infine
vengono definiti gli angoli caratteristici della direzione della corda della paletta, sempre rispetto alla direzione azimutale, γ1 e γ2.
L’angolo Θ, curvatura della paletta, `e definito positivo se γ1 > β1 e negativo se
Figura 3.7: Angoli di pala all’uscita della palettatura. Esempio di palettatura a curvatura positiva.
media parabolica, non necessariamente simmetrica; nel caso simmetrico si ha una netta semplificazione. Gli angoli di inclinazione relativa τ1e τ2 sono determinati dalle relazioni
precedentemente riportate 3.10 e 3.9, essi sono positivi se Θ `e positivo e viceversa. Noti gli angoli α1 e I si determina l’angolo di pala β1 al bordo di attacco.
β1= α1− I (3.11)
A partire da β1 si vorrebbe determinare l’angolo di orientamento della corda all’in-
gresso, e per fare questo servirebbe la conoscenza degli angoli di inclinazione relativa, in particolare τ1. Questo angolo non si conosce, e si stima, per la prima iterazione, come
se la paletta fosse parabolica simmetrica, quindi τ1 = Θ/2. Si ottiene cos`ı l’angolo di
orientamento, usualmente chiamato ”setting angle”:
γ1= β1+ τ1 = α1− I + τ1, (3.12)
tale formula deve essere chiaramente utilizzata con il giusto segno dell’angolo τ . La stima di γ1 serve solo come prima iterazione, ed in realt`a il suo valore verr`a riaggiornato
fino a convergenza. A questo punto si imposta una relazione geometrico-trigonometrica tra γ1, γ2, r1, r2e C. Di fatto, come mostrato in figura 3.8, noto l’angolo di orientamento
γ1, e noti i raggi r1 ed r2, tutto il resto pu`o essere analiticamente determinato. Si vede
in figura 3.8 come si conoscano due lati ed un angolo del triangolo P 1 − P 2 − O; questo permette di ricavare C e γ2. In particolare si hanno le relazioni :
Figura 3.8: Costruzione geometriche che permette di determinare γ2 e C note che siano le grandezze r1, r2 e γ1. γ2 = π/2 − asin( r1 r2 sin[π/2 − γ1)] (3.13) e C = [r12+ r22− 2r1r2cos(ζ)]0.5 (3.14) in cui ζ =π 2 − γ2− asin[ r2 r1 sin(π/2 + γ2)]. (3.15)
Tali equazioni permettono di determinare appunto l’angolo γ2, ma soprattutto la
dimensione C. Nota infatti la corda, si possono sfruttare le equazioni 3.10 e 3.9, presen- tate nel precedente paragrafo, le quali permettono di determinare τ1 e τ2. In particolare
conoscendo τ1 si aggiorna nuovamente il valore di γ1 appena calcolato, utilizzando l’e-
quazione 3.12, quindi si ripetono tutte le relazioni esposte sino convergenza. L’angolo β2, importante per una stima della direzione di uscita del flusso, `e presto ottenuto da
β2 = γ2+ τ2.
La procedura appena esposta permette di determinare l’orientamento della paletta rispetto ad un sistema di riferimento azimutale. In realt`a il grande passo avanti `e la determinazione di C, infatti, utilizzando le equazioni dalla sezione precedente, tutte le dimensioni caratteristiche, ed infine la forma della paletta, sono presto ricavate.
Prima di passare a questioni riguardanti il numero di palette, occorre considerare la possibilit`a che il procedimento appena descritto fallisca. Questa `e una eventualit`a per nulla rara, e coincide con la possibilit`a che:
Figura 3.9: Si mostra come il velore del raggio r2 determini la possibilit`a di determinare una
geometria possibile per la corda della paletta.
H = r1 r2
sin(π/2 − γ1) > 1. (3.16)
In tal caso l’equazione 3.15 non `e utilizzabile; il motivo `e che non esiste una paletta che, orientata come sarebbe prescritto dalla formula 3.13, riesca ad essere secante, o almeno tangente, alla circonferenza di raggio r2. In altre parole, come mostrato in figura
3.9, il raggio r2 (caso 1 di figura) `e troppo basso perch`e ci`o possa avvenire. In tal
caso il metodo si blocca, perch`e ci sono delle impossibilit`a geometriche, e l’algoritmo di ottimizzazione passa ad analizzare una nuova combinazione dei parametri liberi (r2, r1,
Θ, Re0, b1). Nel caso due di figura 3.9 si dimostra come un raggio r2 maggiore riesca ad
individuare una paletta anche con tali inclinazioni in ingresso γ1.