Risultati dell’analisi da pala a pala

In questa sezione si evidenziano alcuni risultati ottenibili dall’analisi del flusso rotorico con il metodo potenziale appena esposto. Tutte le grandezze fluidodinamiche di interesse sono note al termine della procedura iterativa come funzione delle tre coordinate del sistema di riferimento solidale al rotore.

Figura 4.23: Distribuzione della componente azimutale della velocit`a relativa all’ingresso del rotore. La distribuzione viene espressa nella variabile σ; mentre η = 0.5 e m = 0.

Ad esempio si conoscono le componenti azimutale e meridionale della velocit`a relativa Wϑ(m; n; ϑ) e Wm(m; n; ϑ), la pressione statica P (m; n; ϑ), la densit`a ρ(m; n; ϑ), e il

numero di M ach relativo M0(m; n; ϑ). Chiaramente tutti i diversi sistemi di coordinate definiti in precedenza potrebbero essere utilizzati. Si sceglie di sfruttare un sistema di coordinate del tipo m; η; σ che risulta il pi`u semplice per rappresentare i risultati dell’analisi. Non c’`e bisogno di commentare di che tipo di coordinate si tratti essendo state definite pi`u volte durante l’esposizione.

In figura 4.23 si osserva l’andamento della componente azimutale della velocit`a re- lativa, in funzione della coordinata azimutale adimensionalizzata σ, per una coordinata trasversale adimensionaizzata η = 0.5, e una stazione meridionale m = 0 (all’ingresso del rotore). Chiaramente la componente si annulla per σ = 0, 1, in corrispondenza delle superfici palari. In questo modo non si ha componente di velocit`a normale alle superfici stesse, che sono di fatto radiali in ingresso. La media della componente azimutale `e pari alla Vslip, mentre il valore di picco, corrispondente a σ = 0.5 `e pi`u alto (circa il doppio).

Tale comportamento coincide con la presenza di un vortice controrotante all’ingresso del canale rotorico, come di fatto ci si aspettava.

Nelle figure 4.24 e 4.25 si mostrano gli andamenti meridionali (m variabile) di velocit`a e pressione relativa corrispondenti alle seguenti coordinate trasversale ed azimutale del canale rotorico:

1. la curva in rosso corrisponde al lato di aspirazione, a met`a dell’altezza della paletta : σ = 0; η = 0.5 2. la curva in blu corrisponde al lato di pressione,

a met`a dell’altezza della paletta : σ = 1; η = 0.5

3. la curva in giallo corrisponde al profilo al mozzo del rotore, a met`a del canale in direzione azimutale: σ = 0.5; η = 0

4. la curva in verde corrisponde al profilo all’estremit`a esterna del rotore, a met`a del canale in direzione azimutale: σ = 0.5; η = 1.

Figura 4.24: Distribuzione della velocit`a relativa ai quattro lati del canale rotorico. La curva in rosso corrisponde al punto all’ingresso del rotore corrispondente alle coordinate σ = 0; η = 0.5; quella blu al punto di coordinate σ = 1; η = 0.5; quella gialla al punto di coordinate σ = 0.5; η = 0; ed infine quella verde al punto di coordinate σ = 0.5; η = 1.

In questo caso, scelto proprio per mostrare una configurazione accettata e ben de- finita del rotore, le curve in giallo (mozzo) e in rosso (aspirazione) non determinano dei gradienti avversi di pressione. In realt`a esistono molti casi, specialmente quando l’ottimizzazione ricerca il massimo lavoro dalle pale, in cui si determinano dei gradienti avversi. Si ricorda che il rotore `e un componente solitamente molto piccolo. Le escursio- ne meridionali possono essere ridotte sino a 10 cm. Quindi i gradienti che si manifestano possono essere veramente molto bruschi, anche se il comportamento medio delle pressioni `e sicuramente favorevole.

Dall’andamento di velocit`a e pressioni, sulle curve verde e blu, si nota come il tratto finale del canale rotorico sia caratterizzato da bassi gradienti azimutali delle grandezze. Le differenze di pressione tra lato di aspirazione e lato di pressione della pala sono quelle che danno vita alla potenza estratta dal rotore. Le differenze molto basse caratteristiche del tratto finale indicano che il lavoro estratto in tali aree del rotore `e molto basso rispetto alle zone prossime all’ingresso. Si era infatti commentato in precedenza come il tipo di geometria rotorica scelta dal modello non riesca ad estrarre un contributo considerevole di potenza dalle zona finale (seconda met`a) del canale rotorico. Questa `e una prerogativa delle turbine radiali, ma in modo particolare delle prescrizioni scelte per la geometia le quali impongono l’eliminazione di tutte le disuniformit`a in uscita. Proprio queste considerazioni spingono alcuni progettisti ad utilizzare delle ”splitter blades” oppure a considerare dei canali rotorici pi`u corti, del tipo del caso (c) presentato in figura 4.4. Nel caso di voler correggere la geometria occorrebbe valutare di volta in volta se la riduzione di perdite viscose comporta effettivamente un aumento del lavoro complessivo estratto, solitamente il guadagno in termini di efficienza, se presente, `e molto ridotto. Nel riferimento [16] si riporta come talvolta l’adozione di ”slitter blades” riduce addirittura la potenza, anche se rende il flusso pi`u regolare.

Figura 4.25: Distribuzione della pressione ai quattro lati del canale rotorico. Le linee di corrente analizzate sono le stesse riportate in figura 4.24.

Le differenze di velocit`a tra lati di aspirazione e pressione `e non nulla anche per m = 0, all’ingresso del rotore. Questo avviene per via dei fenomeni aerodinamici collegati alla curvatura della pala pi`u che all’effetto del vortice controrotante, il quale `e invece responsabile dell’aumento della differenza di velocit`a appena pi`u a valle.

Le informazioni esposte sono solo una piccola parte di quelle ottenute dal metodo. Nel prossimo paragrafo saranno utili per analizzare i meccanismi di sviluppo degli strati limite. Non sarebbe tuttavia utile (e sarebbe numericamente oneroso) analizzare cosa avviene per le linee di corrente corrisponenti ad ogni punto in ingresso del rotore. Infatti sia per il cacolo delle perdite, sia per considerazioni sulla separazione degli strati limite, possono essere presi in considerazione quattro comportamenti principali. Questi sono corrispondenti ai punti in ingresso del rotore cui si riferiscono la figura 4.26 ora descritte. Questi quattro comportamenti sono emblematici di ci`o che avviene sui quattro lati del canale meridionale, e su di essi si baseranno gli sviluppi esposti nel capitolo che segue.

Figura 4.26: Linee di corrente considerate per gli sviluppi relativi agli strati limite e quindi all’analisi dei fenomeni viscosi.

Capitolo 5

Perdite rotoriche ed analisi delle

prestazioni reali della turbina

In questo capitolo vengono affrontate delle analisi essenziali nell’economia dell’intero modello. Infatti una volta che, a partire dai parametri liberi definiti nei precedenti capi- toli, si riesca a determinare la geometria del rotore, occorre valutare le prestazioni della macchina. Il confronto tra le prestazioni di macchine diverse, corrispondenti a diverse combinazioni dei parametri liberi, permette di proseguire nella ricerca della configurazio- ne ottima. Il rotore svolge un ruolo principale nel modello estraendo potenza dal flusso, infatti si ricorda che la potenza `e la funzione di merito per la ricerca della configurazione ottima.

Nel precedente capitolo si sono condotte tutte le procedure necessarie all’ottenimen- to di una configurazione geometrica del rotore, e al calcolo del campo fluidodinami- co tridimensionale nei canali rotorici. Per gli sviluppi che seguono tutte le grandezze fluidodinamiche locali nel rotore sono considerate note.

Nelle prime sezioni del capitolo si procede alla considerazione delle fonti di perdita nel rotore. Il primo problema affrontato `e quello relativo agli strati limite, il quale in- clude l’analisi dei meccanismi di separazione degli strati limite stessi. Come detto nel corso della modellazione della turbina radiale, si richiede espressamente che la configura- zione finale non sia soggetta a tali fenomeni. L’analisi verr`a condotta, come sempre nel modello, in condizioni di disegno; proprio per questo devono essere previsti dei margini di sicurezza per le condizioni limite di separazione, tali margini permettono che anche in condizioni di funzionamento fuori disegno (seppur vicine a quella di disegno) non si manifestino fenomeni di separazione.

Oltre alle perdite relative ai fenomeni viscosi si stimeranno le perdite connesse ai fenomeni di disuniformit`a di carico nel canale, di flusso parassita tra diversi canali rotorici all’estremit`a palare, di disuniformit`a angolare del flusso in uscita.

Al termine dell’analisi delle perdite si ricaveranno le prestazioni del rotore, e quindi della turbina, in merito alla potenza estratta, all’efficienza ηs, nonch`e alle grandezze

5.1

Analisi degli strati limite sulle superfici del canale

rotorico

Lo sviluppo degli strati limite sulle superfici del canale rotorico (mozzo, superficie ester- na, lato aspirazione della pala, lato pressione della pala) costituisce un fenomeno estre- mamente complesso. Sino a questo momento i vari metodi di analisi applicati al rotore hanno previsto l’approssimazione di flusso non viscoso, e questa condizione `e connessa al fatto che i fenomeni viscosi sono solitamente confinati in una sottile zona adiacente alle pareti. Questo `e alla base della teoria degli strati limite come esposto ad esem- pio in Rif.[18] e [19]. Nel presente modello si fa uso, come completamento dei metodi non viscosi, dei metodi cosiddetti ”aumentati” (letteralmente si parla di ”augmented methods”). Questi affrontano l’analisi dei fenomeni viscosi a posteriori dell’analisi non viscosa, sfruttandone le informazioni ottenute. Questa strategia `e caratteristica dell’a- nalisi delle turbomacchine, specialmente per le turbine, per le quali gli strati limite sono soggetti a condizioni meno critiche e hanno una influenza trascurabile sul comportamento ”non-viscoso” del rotore (vedi [8]).

Gli obbiettivi del modello riguardo all’analisi degli strati limite includono la stima delle perdite legate ai fenomeni viscosi e l’analisi dei meccanismi di separazione. Contra- riamente a quanto si potrebbe pensare, questi ultimi non sono esclusi per il fatto che il flusso rotorico subisce una espansione media. Come spiegato in sezione 4.5.4, la velocit`a sul profilo di aspirazione diminuisce a partire da coordinate meridionali superiori alla met`a della lunghezza dei profili meridionali e si determinano gradienti avversi di velocit`a come si osserva in figura 4.24 (talvolta anche di pressione). Per quanto riguarda il lato di pressione della pala gradienti avversi di velocit`a sono localizzati nel tratto iniziale del canale (cosiddetto ”inducer”). In figura 4.25 si nota come non siano presenti dei gra- dienti avversi di pressione corrispondenti ai gradienti avversi di velocit`a; questo `e dovuto alla complessiva espansione che il flusso subisce attraversando il rotore e alla forte dimi- nuzione di pressione totale relativa nella zona dell’inducer, dove l’estrazione di potenza `e localizzata. Altra zona dove si potrebbero avere dei problemi di separazione `e quella al mozzo del canale, infatti l’effetto della curvatura riduce le velocit`a (come spiegato in 4.1), e quindi crea dei gradienti avversi (vedi figura 4.24). Questi non sono gravi perch`e applicati in una zona intermedia del canale, dove le velocit`a sono mediamente alte e lo strato limite ancora sottile; inoltre sono localizzati meridionalmente e non perdurano come quelli sul profilo di aspirazione. In letteratura (vedi Rif.[7]) si sottolinea che i fenomeni di separazione pi`u gravi riguardano il lato di aspirazione nel tratto finale del rotore (cosiddetto ”exducer”), perch`e qui i gradienti avversi sono applicati in modo pi`u prolungato sul flusso. Invece separazioni sul lato pressione della pala e sul mozzo sono meno frequenti, e si manifestano solo in caso di geometrie peculiari, o pale estremamente caricate. Il presente metodo selezioner`a le sole configurazioni dove non si abbiano feno- meni di separazione, e quindi limitando il carico sulle singole palette. Le analisi ottenute dal modello hanno confermato le tendenze alla separazione riprese da Rif.[7].

Fenomeni di separazione sono dannosi non soltanto per il comportamento del rotore, rendendolo ad esempio non stazionario e limitando l’estrazione di lavoro (vedi [8]); di

fatto inficerebbero completamente il metodo non viscoso utilizzato sin ora per l’analisi, basato su strati limite sottili.

Per turbomacchine radiali la situazione analitica `e molto complessa per via della tri- dimensionalit`a del flusso e della geometria. Ad esempio le pale sono superfici del tutto tridimensionali, con una curvatura variabile sia meridionalmente che trasversalmente. Tuttavia la velocit`a del flusso sulle pale comporta delle linee di corrente relative che si mantengono ad una coordinata trasversale η approssimativamente costante dall’ingresso all’uscita del canale (vedi [1]); quindi i fenomeni tridimensionali non hanno effetti tanto marcati quanto potrebbe a primo vista apparire. Con ci`o si vuole dire che suddividendo la pala in segmenti longitudinali individuati tra le coordinate trasversali adimensionai generiche η ed η+dη, si ottengono superfici mediamente orientate come il vettore velocit`a relativa. Sono quindi trascurabili le componenti di velocit`a orientate perpendicolarmen- te alla direzione di crescita degli strati limite. Gli effetti della tridimensionalit`a sono presenti, ma hanno peso tramite le distribuzione delle propriet`a fluidodinamiche otte- nute da una analisi di fatto tridimensionale. Mentre per l’analisi dello strato limite `e sufficiente un approccio semplificato bidimensionale.

Per ci`o che riguarda il profilo al mozzo, la presenza della velocit`a azimutale rendereb- be necessaria un’analisi tridimensionale assialsimmetrica (vedi Rif.[1]). Stesso discorso dovrebbe essere fatto per il profilo esterno di estremit`a, ma con una complicazione ag- giuntiva, la superficie che delimita superiormente il canale palare non `e solidale al rotore, ma ad un riferimento statico (questo perch`e si considera una turbina cosiddetta ”unsh- rouded”). Per le analisi riguardo al profilo esterno devono quindi essere utilizzate le velocit`a assolute e non quelle relative.

Per tutta l’analisi che segue `e stato utilizzato un modello bidimensionale di sviluppo degli strati limite, e questo costituisce un’approssimazione molto forte e limitante dal punto di vista della comprensione dei meccanismi viscosi. Tuttavia in molti testi, come ad esempio in [1], si considera pi`u che accettabile questo tipo di approccio per il fatto che le perdite legate agli strati limite, cos`ı come i fenomeni di separazione, sono molto meno critici per una turbina. Parlando di un compressore radiale queste approssimazioni inficerebbero il metodo, non tanto per motivi di stima delle prestazioni, ma perch`e sottovalutano i meccanismi di separazione sui profili meridionali esterni (vedi Rif.[9]).

Tutte le volte che il problema dello strato limite non pu`o prescindere dagli effet- ti tridimensionali il problema matematico `e retto da due equazioni paraboliche e non basta la tipica equazione di sviluppo integrale dello strato limite, riportata anche nel seguito della trattazione (vedi equazione 5.2). Per esempi delle modalit`a di affrontare lo sviluppo di strati limite tridimensionali vedere Rif.[1] e [12]. La teoria tridimensionale `e estremamente complessa e, dal punto di vista dell’attuale modello di ordine ridotto, non apporterebbe dei valori aggiunti tali da giustificarne l’utilizzo. Ci`o `e dovuto al fatto che laddove i meccanismi tridimensionali sono pi`u importanti, e quindi sul mozzo e sul- la superficie esterna del rotore, il calcolo dello strato limite apporta delle informazioni assolutamente non necessarie per una turbina. Infatti le perdite connesse potrebbero essere stimate con metodi molto pi`u semplici, e non ci sono problemi di separazione (ve- di [1]). Per le pale rotoriche l’analisi deve essere necessariamente eseguita, con lo scopo

di evitare situazioni dove un carico eccessivo sulla pala renda le perdite insostenibili e per evitare fenomeni di separazione. Fortunatamente, come gi`a accennato, sulle pale gli effetti tridimensionali sono meno complicati da affrontare (vedi [1] e [9]).

Per valutare le prestazioni di palettature di turbomacchine vengono spesso utilizzate delle correlazioni basate su fattori di diffusione. Queste permettono di relazionare gli spessori di quantit`a di moto in uscita della palettatura (solitamente per il lato di aspi- razione) con un fattore di diffusione che tenga conto dell’espansione media e del carico sulla pala. Ad esempio:

θ∗

C = f (Df) (5.1)

dove Df `e un opportuno fattore di diffusione che tiene conto dei principali fenomeni

fisici, e che cambia a seconda del tipo di macchina considerata (flusso misto, assiale, radiale). Metodi basati su fattori di diffusione non saranno utilizzati in questa sede, perch`e si desidera sviluppare un metodo di ordine ridotto, specialmente per analizzare i meccanismi di separazione. I metodi basati sul fattore di diffusione sono tuttavia molto utilizzati (vedi Rif.[8]).

Se si volesse esporre il problema matematico degli strati limite a partire dalle equa- zioni generali che reggono il problema, si dovrebbero prendere in considerazione del- le equazioni fluidodinamiche estremamente complesse; infatti il flusso ha le seguenti caratteristiche:

1. viscoso 2. comprimibile

3. riferimento rotante con velocit`a angolare Ω

4. geometria tridimensionale (almeno per quanto riguarda le palette). Di fatto la paletta non pu`o in nessun modo essere associata ad una lastra piana e coinvolge una geometria ed un flusso del tutto tridimensionali. La superficie palare `e infatti stata specificata in modo da essere caratterizzata da curvatura sia in direzione meridionale che trasversale. Una parte degli effetti tridimensionali della pala `e sicuramente inclusa nell’analisi dato che la distribuzione di velocit`a `e influenzata da tali effetti. Da un punto di vista matematico tale propriet`a viene descritta come ΘR= ΘR(m; n)

5. probabile transizione turbolenta

6. flusso non assialsimmetrico, del tutto tridimensionale. Come gi`a descritto nella sezione 4.5 esistono delle componenti del flusso che deviano dal comportamento pienamente guidato. Il comportamento complessivo `e del tutto tridimensionale. Dal punto di vista matematico tale considerazione `e descritta dalle distribuzioni tridimensionali W (m; n; σ) e P (m; n; σ).

Figura 5.1: Schema esemplificativo della schematizzazione dello strato limite tridimensionale sulla paletta rotorica.

Sviluppi di questo genere sono, se possibili, estremamente complessi. Ad esempio in [2] si espone lo sviluppo delle equazioni generali dello strato limite per il caso as- sialsimmetrico e incomprimibile. Specialmente l’ipotesi di incomprimibilit`a rende quegli sviluppi inapplicabili al presente problema. Un possibile approccio, limitato al caso as- sialsimmetrico ma comprimibile, `e esposto in [1], ma `e totalmente inapplicabile al caso di una paletta per via della geometria tridimensionale. Entrambi gli sviluppi citati per- mettono di evincere che, per lo sviluppo degli strati limite, gli effetti delle forze apparenti sono trascurabili, e i fenomeni dipendono principalmente dalle velocit`a relative, come se si affrontasse il problema su di un riferimento inerziale. Nella prossima sottosezione si espone il metodo semplificato utilizzato in questa sede, partendo dall’analisi integrale bidimensionale e considerando il solo flusso relativo.