In questa sezione verranno descritti in dettaglio i ragionamenti utilizzati per lo sviluppo del modello ideale della voluta, mentre considerazioni ulteriori, ad esempio riguardo alle perdite, verranno presentati in seguito.
Il modello `e estremamente semplificato, e intende :
1. sfruttare semplici equazioni fluidodinamiche, per collegare la forma della voluta a pochi parametri dimensionali specifici
2. ottenere le condizioni fluidodinamiche in uscita dalla voluta, in particolare pres- sione totale, velocit`a e direzione del flusso.
Per fare ci`o si hanno a disposizione i dati ingegneristici di input del modello, comuni alla voluta e all’intera turbina radiale. Come gi`a detto, questi dati sono l’unica traccia dell’applicazione specifica cui `e rivolta la turbina. In particolare si conoscono:
• portata di massa del flusso di lavoro : ˙m
• pressione totale di ingresso nella voluta, e quindi nella turbina : PT 0
• temperatura totale di ingresso : TT 0
• pressione statica di uscita dall’intero stadio di turbina, quindi di uscita dal rotore, o dal diffusore se questo `e presente : Pout
• ingombro radiale massimo possibile per la macchina, e quindi per la voluta : Rmax
Il flusso ideale nella voluta viene schematizzato come adiabatico, stazionario e assial- simmetrico. Come detto il flusso `e tridimensionale e molto complesso, ma in primissima approssimazione pu`o essere schematizzato come composto dai soli componenti azimutale e radiale della velocit`a. In questo modo si trascurano tutti i contributi assiali, che sono imposti dalla complessa forma della sezione. Si prenda ad esempio la sezione A di figura 2.4; qui `e sicuramente presente un contributo assiale medio, dovuto al fatto che il bari- centro della sezione varia al variare della coordinata azimutale. Se si osserva invece la sezione B di figura 2.4, si nota come il baricentro della sezione ha una coordinata assiale costante, ma perch`e il flusso fuoriesca dal canale anulare, occorrono comunque contributi assiali. Tutti questi fenomeni vengono trascurati dal presente modello, e questo perch`e incidono moderatamente sul flusso all’uscita dalla voluta, ma ancor meno influiscono sul flusso in uscita dalla palettatura che seguir`a la voluta. Anche da un punto di vista energetico, tale componente `e trascurabile essendo molto piccolo rispetto agli altri due. Per tutta la trattazione si considerer`a il flusso di lavoro come gas ideale; non verranno per ora forniti sviluppi che tengano in considerazione possibili comportamenti reali del fluido. Le caratteristiche del gas essenziali per la trattazione che segue sono riportate in 7.
Figura 2.4: Esempio di comportamento del componente assiale del flusso, in sezioni di voluta con diversa forma.
Le semplificazioni non sono finite, infatti il flusso in ingresso nella voluta, come si comprende da figura 2.1 (stazione 0), ha sicuramente una piccola componente radia- le; questo per assecondare la rastremazione della sezione all’ingresso della voluta. Tale componente `e stata considerata nel modello, tramite il valore medio, ma ha prodotto risultati trascurabili. In sostanza, sfruttando la condizione di assialsimmetria, la compo- nente radiale della velocit`a `e importante solo nella sezione di uscita dalla voluta (stazione 1).
Tutte le variazioni assiali (coordinata z) delle componenti considerate (Ure Vϑ) sono
infine trascurate, cos`ı da ottenere un modello del tutto bidimensionale.
Ricapitolando, si considera un modello di flusso nella voluta con le seguenti caratte- ristiche:
• assialsimmetria
• bi-dimensionalit`a : assenza della componente assiale e di variazione assiale delle altre componenti
• la componente radiale influenza il modello con il solo valore in uscita dalla voluta ed `e trascurabile in ingresso
• adiabaticit`a, stazionariet`a e assenza di perdite (considerate a parte nel seguito) Gli obbiettivi del modello prima esposti vengono raggiunti abbastanza facilmente sfruttando due condizioni fluidodinamiche cruciali:
2. bilancio di quantit`a di moto.
Sostanzialmente queste due imposizioni, accoppiate con le approssimazioni descritte fin qui, permettono di risolvere il modello della voluta, a parte il calcolo delle perdite che verr`a considerato in seguito. In particolare, la richiesta di momento angolare costante del flusso, permette di scrivere la seguente relazione riguardante la componente azimutale della velocit`a:
Vϑ· r = Vϑ1· r1 (2.8)
E quindi relazionare la componente azimutale, ad un raggio qualsiasi, con il suo valore al raggio di uscita dalla voluta. Attraverso il bilancio di massa si ottengono tutte le informazioni mancanti, occorre per`o specificare la forma della sezione di voluta.
Riguardo alla forma occorre infatti fare un discorso a parte. La sezione varia azi- mutalmente seguendo la rastremazione, questa deve essere imposta per assicurare che direzione del flusso, componenti di velocit`a, e propriet`a termodinamiche in uscita siano costanti azimutalmente. L’unica equazione che rimane da applicare, cio`e il bilancio di portata, permetter`a di fissare la variazione azimutale di un solo parametro (grado di libert`a) associato alla sezione. Se si vuole sfruttare quella sola equazione, e allo stesso tempo ricavare la variazione azimutale della sezione, occorre che la sua forma abbia un solo grado di libert`a. Altro modo `e relazionare gli altri gradi di libert`a della sezione ad un solo parametro, oppure imporre un andamento regolare, e preimposto, di tutti i parametri tranne uno.
Per fare un esempio concreto, l’ellisse pu`o essere determinata dai suoi semiassi (ae e
be), quindi due gradi di libert`a. Questi potrebbero seguire due diverse funzioni dell’an-
golo azimutale θ; invece si impone a priori il rapporto tra loro, costante, e ci`o permette di ridurre i gradi di libert`a ad uno solo. L’equazione di bilancio di massa permetter`a di determinare direttamente l’andamento analitico del singolo parametro, ad esempio ae(θ)
(semiasse verticale della sezione), l’altro `e determinato noto il rapporto tra i semiassi. Si espone quindi lo sviluppo del metodo per la sezione ellittica esterna di figura 2.5, sfruttando la stessa nomenclatura, e considerando un valore fisso del rapporto tra i semiassi. Questo rapporto pu`o essere scelto dall’utente nell’utilizzo del programma sviluppato sulla base del modello. Modelli analoghi sono stati ottenuti per le altre due sezioni di figura 2.4 (sezione ellittica interna e sezione circolare). Tutti i parametri descritti in figura sono gi`a stati commentati, a parte Re, il quale corrisponde al raggio
esterno di voluta. Tale parametro assume una importanza particolare quando calcolato nella sezione di ingresso, rappresentando l’ingombro radiale massimo della turbina, in tal caso si indica con Re0.
Si consideri quindi una sezione della voluta ottenuta con un piano meridionale, come in figura 2.6. La portata del flusso che passa dalla sezione prende in considerazione la sola componente della velocit`a normale alla sezione e cio`e quella azimutale. Nel passaggio dalla sezione 1 alla sezione 2 indicata in figura 2.6, si ha una diminuzione del flusso che passa dalla voluta, proprio perch`e una parte della portata `e uscita dal canale anulare. La portata anulare `e invece associata alla componente radiale della velocit`a, alla stazione 1.
Figura 2.5: Caratteristiche geometriche e nomenclatura della sezione ellittica esterna utilizzata per il presente modello.
Il bilancio di massa appena commentato permetter`a di definire completamente la forma variabile della sezione della voluta.
Innanzi tutto si esprime il bilancio di massa complessivo della voluta: ˙
m = 2πb1r1ρ1Ur1 (2.9)
Questo bilancio permette di determinare la velocit`a radiale Ur1 una volta che le
caratteristiche geometriche della voluta (r1 e b1), e la densit`a in uscita (ρ1), siano note,
dato che la portata complessiva ( ˙m) `e una informazione di progetto. In particolare r1 e b1
sono due dei parametri di ottimizzazione che verranno determinati sfruttando appunto gli algoritmi di ottimizzazione, quindi possono essere considerati noti nell’analisi del componente. Si deduce che, nota la densit`a, il bilancio di massa complessivo permette di determinare la velocit`a radiale di uscita.
Purtroppo la densit`a di uscita `e ignota, infatti differisce da quella di ingresso nella voluta perch`e il flusso ha subito una accelerazione e quindi una espansione. Nonostante ci`o si pu`o stabilire un procedimento iterativo, in cui, al primo valore assunto dalla densit`a si associa la densit`a del gas in entrata nella turbina (stazione 0).
ρIT =11 = ρ0 (2.10)
La densit`a in ingresso `e nota perch`e la velocit`a risulta cos`ı bassa che il flusso pu`o considerarsi incomprimibile, e quindi `e ottenibile dalla pressione e temperatura totali del
Figura 2.6: Schema del bilancio di massa del flusso attraversante la voluta, e uscente da essa alla stazione di raggio r1.
flusso in ingresso. Tale densit`a verr`a aggiornata non appena si otterr`a un stima migliore della velocit`a in uscita dalla voluta.
Per il momento si pu`o quindi dire che la velocit`a radiale in uscita dalla voluta `e determinabile dal bilancio di portata complessivo, ricordando di aggiornarne il valore non appena un valore pi`u affidabile della densit`a sar`a disponibile.
Il bilancio di portata passante dalla voluta, accennato in precedenza, `e invece espri- mibile come:
ρ1r1b1Ur1dϑ = −d(
Z
VϑρdA) (2.11)
In questo modo si descrive la variazione della portata (rispetto alla coordinata azi- mutale ϑ), passante dal canale di voluta, noto che sia il flusso specifico passante dal canale anulare. Questo `e noto se si conoscono la portata complessiva, e la dimensione del canale anulare di uscita. Siccome il flusso `e assialsimmetrico, sia per impostazione del modello, sia perch`e ci`o `e richiesto per il buon funzionamento della macchina, allora entrambi i termini della equazione risultano costanti.
d dϑ(
Z
VϑρdA) = cost (2.12)
Infine, in tale equazione pu`o essere inserita l’espressione derivante dalla conservazione del momento angolare, e l’approssimazione che la densit`a del flusso nella sezione consi- derata (ad esempio la sezione 1 nella figura 2.6) sia circa costante ed uguale a quella del
flusso in uscita. Tale approssimazione `e scorretta in generale, ma l’errore pu`o ritenersi trascurabile se si pensa che numeri di Mach all’uscita dalla voluta superiori a 0.4 non sono considerati. Questo perch`e velocit`a eccessive nella voluta comporterebbero perdi- te troppo onerose. Infine, l’equazione precedente, alla luce di queste due prescrizioni diventa: ρ1r1b1Ur1dϑ = −d( Z VϑρdA) ∼= −d( Z dA r )Vϑ1ρ1r1 (2.13) Il tutto si riduce quindi alla seguente prescrizione geometrica :
d dϑ(
Z dA
r ) = cost (2.14)
Il valore di tale derivata `e costante, e questo impone che il valore dell’integrale R dA
r vari linearmente dal valore assunto all’ingresso della voluta (ϑ = 0), al valore
nullo, assunto quando si annulla anche l’area della sezione (per ϑ = 2π). Questa `e una condizione che permette di imporre la variazione di uno dei parametri geometrici della sezione, e quindi della forma della sezione, se caratterizzata da un solo grado di libert`a. A questo punto, considerando una sezione ellittica esterna come quella di figura 2.5, e imponendo che il rapporto tra i semiassi sia fissato, si capisce come l’intera geome- tria sia esattamente determinata dalla conoscenza dei tre parametri geometrici r1, b1 e
Re0. Noti questi si possono ricavare i semiassi maggiore be e minore ae della sezione.
Utilizzando inoltre la relazione integrale precedente si possono analiticamente ricavare le distribuzioni di Re0, be e ae in funzione dell’angolo θ e quindi tutte le caratteristiche
variabili della sezione. In questo modo, l’intera forma geometrica tridimensionale del- la voluta `e univocamente determinata, e quindi il modello `e capace di ottemperare al primo obbiettivo sopra elencato. Tutto ci`o che bisogna conoscere `e la combinazione dei tre parametri r1, b1 e Re0, quest’ultimo calcolato per la sezione di ingresso e quindi cor-
rispondente al massimo raggio della voluta. L’intera geometria tridimensionale `e fatta dipendere da questi tre parametri.
Nota la derivata dell’integrale, semplicemente calcolata come descritto prima, si pu`o ricavare dalla relazione:
ρ1r1b1Ur1dϑ = −d(
Z dA
r )Vϑ1ρ1r1 (2.15)
il rapporto tra velocit`a radiale e velocit`a azimutale nella sezione di uscita dalla vo- luta. La componente radiale era gi`a stata stimata dal bilancio di massa complessivo, e cos`ı `e presto ottenuta la componente azimutale. Dalla stima della velocit`a complessiva all’uscita e considerando la pressione totale costante, si ricavano infine numero di Mach e densit`a del flusso in uscita. Si lancia quindi una seconda iterazione, dalla nuova stima della densit`a, e il processo e ripetuto fino a convergenza.
In questo modo velocit`a, direzione del flusso e geometria complessiva della voluta sono ricavate automaticamente.
La scelta del rapporto di semiassi, prescritto e costante, `e usuale nel progetto di volute per turbine (vedi Aungier [1]), ma altre soluzioni sono possibili. Ad esempio
Figura 2.7: Risultato del modello circa la distribuzione azimutale del raggio esterno di voluta
quella di prescrivere una variazione regolare di uno dei semiassi, ed ottenere l’altro dalla equazione integrale precedente (vedi Rif.[10]). Ovviamente, nel caso in cui venga scelta una forma circolare, la geometria ha soltanto un grado di libert`a, e quindi l’equazione permette di ottenere direttamente la prescrizione del raggio esterno della sezione. Ci`o basta per determinare analiticamente la forma globale della voluta.
La figura 2.7 mostra il risultato del modello, in termini di distribuzione azimutale del raggio esterno della voluta, al variare della coordinata azimutale (Re(ϑ)). La distri-
buzione di Re(ϑ) `e caratterizzata da derivate molto basse all’ingresso della voluta, per
angoli azimutali sino a circa 220◦. Per angoli maggiori le derivate diventano molto pi`u alte, sino al valore in uscita, caratterizzato da una derivata massima. Proprio in uscita infatti la voluta deve offrire una pendenza della superficie esterna circa parallela alla direzione del flusso alla stazione tre. Infatti l’angolo tra la tangente alla circonferenza di raggio r1 e l’inviluppo esterno dei raggi massimi di voluta da una indicazione della
direzione del flusso in uscita dalla voluta. Nel caso di flusso incomprimibile le direzioni sono esattamente parallele.
Ricapitolando, il modello associa tutte le informazioni necessarie, geometriche e flui- dodinamiche, alla conoscenza dei tre parametri Re0, r1 e b1. Su questi tre parametri,
e su altri che compariranno nei componenti che seguono, verter`a il processo di ottimiz- zazione. Per ottemperare a tutti i requisiti elencati sopra, per il modello della voluta, occorre stimare la pressione totale in uscita, attraverso una analisi delle perdite. Per ora infatti si `e analizzato il flusso come non viscoso, e con una pressione totale costante. Nella prossima sezione verr`a presentato il modello per le perdite nella voluta.