Ci sono alcune grandezze fondamentali, peraltro gi`a commentate nell’introduzione, cui si affida l’analisi a posteriori delle caratteristiche della turbomacchina ottima. Oltre alla potenza complessiva si hanno infatti:
1. velocit`a specifica: ns
2. rapporto di velocit`a totale-statico: vs
3. efficienza totale-totale : ηtt
4. efficienza totale-statica :ηts.
Le prime due grandezze sono gi`a state definite nell’introduzione, e qui se ne richiama la definizione: ns= Ω√Qout (∆Hid)0.75 (5.62) vs= Ωr3 C0s = √Ωr3 2∆Hid (5.63) Queste due grandezze vengono ottenute dal modello come output, al fine di stabilire quali siano le caratteristiche complessive della macchina che il metodo di ottimizzazione ha scelto.
Il modello, con il fine di ricavare una geometria da un set limitato di parametri liberi, ha dovuto prescrivere alcune caratteristiche progettuali. Si ricorda che per prescrizio- ne si intende un’informazione imposta dal modello, sulla base di richieste progettuali sulla geometria o sul modo di lavorare del rotore. Si consideri ad esempio la scelta di palette rotoriche radiali in ingresso, oppure di una componente azimutale di velocit`a nulla all’uscita dal rotore, o ancora la scelta di una pressione uniforme in uscita dal rotore. Tali scelte non sono univoche, ma sono state imposte per limitare la variabilit`a del modello e poter ridurre il set di parametri liberi da considerare. Nonostante ci`o l’obbiettivo rimane l’ottimizzazione della potenza e dell’efficienza della turbina; sarebbe da considerarsi un fallimento se le prescrizioni andassero ad eliminare configurazioni che abilitano comportamenti della turbina corrispondenti ad estrazioni superiori di potenza.
Le scelte dovrebbero semplicemente indirizzare il modello senza privarlo della possibilit`a di ottenere risultati ottimi o quasi-ottimi.
Un giudizio sulle prescrizioni imposte si pu`o evincere dal valore delle velocit`a spe- cifiche ottenute dalla strategia di ottimizzazione. Come si vedr`a in seguito valori di ns
attorno a 0.5 sono la norma. Solitamente si ottengono valori nel range (0.45 − 0.58) per configurazioni ottimizzate. Per quanto detto nell’introduzione, ed esposto in [1] e [7], questi sono proprio i valori ottimi, i quali permettono l’ottenimento di efficienze massi- me. Questo risultato `e molto promettente dal punto di vista della ricerca del massimo e implica che, pur non avendo prescritto a priori un valore sub-ottimale di ns (come fatto
ad esempio nel modello di Aungier), il modello si dirige automaticamente nella direzione giusta.
Nonostante ns= 0.5 sia noto essere la velocit`a specifica ottimale, spesso in letteratura
si adottano scelte a priori diverse da questa; come ad esempio valori ns = 0.7 (vedi
Rif.[24]). Il motivo `e che si accetta una minore estrazione di lavoro ma garantendo un funzionamento pi`u regolare e meno critico; ad esempio facendo delle considerazioni di analisi fuori da condizioni di disegno (non condotte in questo progetto). Di fatto le efficienze ottenute per ns = 0.7, e quindi le potenze, sono estremamente vicine all’ottimo.
Un altro motivo per cui si scelgono valori pi`u alti del valore ottimo ns= 0.5 risiede nella
possibilit`a di utilizzare un minor numero di pale, e quindi di ottenere un macchina pi`u semplice, meno costosa, pi`u leggera. Il risultato di aumentare la velocit`a specifica `e che in questo modo si ottengono canali rotorici pi`u larghi (nmax maggiori), e angoli di flusso
in ingresso pi`u alti (α3 intorno a 18 − 20◦, meno critici e corrispondenti a velocit`a di
rotazione inferiori). Si `e notato che il presente metodo riesce ad indirizzare la selezione verso valori pi`u alti di ns = 0.5, se si restringono i limiti associati alla separazione, pur
lasciando invariato il numero di pale (ad esempio se si utilizza Λ = −9 come valore limite di separazione). Si ottiene infatti una leggera flessione della potenza ottenuta, ma degli andamenti delle pressioni nel canale pi`u regolari. In figura 5.5 si osservano gli andamenti di potenza complessiva e velocit`a specifica al variare dei margini di separazione. Si considerano dei valori progettuali realistici di input del programma. Si ricorda che le grandezze di input (oltre specificare il tipo di gas di lavoro) sono ˙mdes, PT in, TT in, Rmax,
e Pout.
La figura 5.5 `e stata ottenuta per un numero di pale molto alto (NR= 22) e quindi
resiste molto bene ai fenomeni di separazione perch`e le pale si distribuiscono il carico limitando i gradienti di pressione e cos`ı la separazione. La figura mostra una differenza di circa 500 W tra la potenza ottenuta con i limiti teorici di separazione (Λ = −12; Hk=
2.4) e quella ottenuta con limiti del trenta per cento inferiori (rispetto a circa 22500 W di potenza media). Questo vuol dire che il metodo riesce a trovare delle soluzioni molto performanti anche imponendo dei limiti pi`u bassi di quelli teorici. Si ricorda che il metodo utilizza delle approssimazioni e delle schematizzazioni in molteplici punti, ad esempio nell’analisi pala-pala si effettua un calcolo quasi-tridimensionale e linearizzato. Non si hanno dati che permettano di dire se il metodo sottostimi o sovrastimi i gradienti di pressione (con tutta probabilit`a li sottostima dato il carattere medio di alcune analisi). Proprio per questi motivi si deve necessariamente utilizzare un certo margine di sicurezza.
Figura 5.5: Andamento della potenza e della velocit`a specifica al variare del fattore di sicurezza rispetto al fenomeno della separazione.
Il suo effetto `e chiaramente quello di diminuire leggermente la potenza estratta, dato che si limitano ulteriormente i gradienti di pressione e velocit`a sulle palette. Fortunatamente si nota come la velocit`a specifica, al restringimento dei limiti, aumenti verso valori ottimi pi`u simili a quelli ottenuti nelle applicazioni. Questo tipo di ragionamenti ha permesso di selezionare dei limiti rispetto alla separazione che offrissero una maggior aderenza ai risultati sperimentali estratti dalla letteratura. Proprio per questo motivo si erano citati in precedenza le condizioni Λ = −10; Hk = 2.
Si torner`a in seguito su questi aspetti, parlando del confronto con un caso applicativo. Per ora si desiderava mettere in luce la possibilit`a di ottenere valori ottimi di ns, assieme
ad una certa flessibilit`a del programma di prendere scelte progettuali oltre che sub- ottimali.
Altri parametri offerti come output dal metodo sono i valori di efficienza della tur- bomacchina. Questi confrontano la potenza estratta dalla macchina con dei valori di potenza associati ai salti di pressione ideali. Si utilizzano infatti delle relazioni isoen- tropiche con le quali si passa dal salto di pressione ideale ad un salto di temperatura totale. Quest’ultimo `e associato alla potenza ideale estraibile. Sfruttando il salto dalla pressione totale di ingresso nella macchina PT in alla pressione totale di uscita dal rotore
(o dal diffusore se presente) PT out si ottiene l’efficienza totale-totale:
ηtt = Preal ˙ mcpTT in(1 − (PPT outT in ) (γ−1γ ) ) (5.64)
Sfruttando il salto di pressione da pressione totale in ingresso PT in, a pressione statica
ηts = Preal ˙ mcpTT in(1 − (PPT inout) (γ−1γ ) ) (5.65)
Queste due grandezze verranno utilizzate nel seguito per confrontare direttamente i risultati ottenuti dal modello con degli esempi presi dalla letteratura. Le efficienze contengono infatti una stima implicita dei fenomeni di perdita della macchina. Quindi la somiglianza dei valori ottenuti dal modello con i valori sperimentali estratti dalla letteratura, fornisce un indizio delle capacit`a di calcolo delle prestazioni del modello.
Nel capitolo che segue si parler`a del modello del diffusore, componente non sem- pre presente nelle configurazioni analizzate dal programma. La sua presenza `e dettata dalla possibilit`a di sfruttare una parte dell’energia cinetica residua a valle del rotore. Nei capitoli successivi si riprenderanno continuamente le grandezze definite in questo paragrafo.
Capitolo 6
Analisi e modello del diffusore
Il modello relativo al diffusore viene analizzato dal metodo nel caso in cui il procedi- mento seguito in sezione 4.2.3 preveda di inserire tale componente. In caso contrario le condizioni di uscita dalla macchina sono quelle di uscita dal rotore. Si ripete per chia- rezza quali sono i passaggi principali del ragionamento che sta alla base della scelta di utilizzare o meno un diffusore. Questo `e previsto nel caso in cui la pressione statica alla stazione 4 possa essere ridotta,grazie all’utilizzo del diffusore stesso, a valori inferiori al 98% della pressione di uscita della turbomacchina. Si `e utilizzata questa soglia perch`e si ritiene che per valori di P4 tra (0.98 Pout) e Pout il vantaggio della macchina nell’utiliz-
zare il diffusore non sia assolutamente premiante. Non si pensa cio`e che l’abbassamento di pressione sia cos`ı positivo per il rotore da giustificare l’inserimento del diffusore.
Nel caso in cui l’utilizzo del diffusore `e previsto dai calcoli esposti in sezione 4.2.3 allora occorre valutarne il funzionamento. Ad esempio la pressione totale in uscita PT out,
necessaria per calcolare l’efficienza totale-totale dalla macchina, dipende anche dalle cadute di pressione totale nel diffusore. Inoltre si desidera una stima delle dimensioni assiali del diffusore.
Si necessita di una considerazione importante su come il diffusore influisce sul modello complessivo della turbomacchina. Il modello di ottimizzazione utilizza la potenza reale come funzione di merito, e questa dipende dalla pressione statica P4 (vedi 4.2.3). Nel
caso in cui sia presente un diffusore la pressione viene stabilita attraverso:
P4 = Pout− 0.6(PT 4d− Pout) (6.1)
come spiegato in precedenza. La pressione totale PT 4d corrisponde al novanta per
cento della pressione totale in uscita dal diffusore. Con ci`o si stima conservativamente la caduta di pressione totale, dovuta al salto di sezione all’uscita dai canali rotorici in 4. Infatti si prende in considerazione il fatto che la pressione totale all’ingresso del diffusore, dalla quale si estrae l’energia cinetica che permette di aumentare la pressione statica sino a Pout, `e inferiore a quella di uscita dal rotore. La differenza `e dovuta al brusco salto di
area della sezione in 4 (all’uscita dai canali rotorici per via del bloccaggio delle palette). Tale stima non `e per nulla definitiva, ed inoltre ha una influenza sul modo di lavorare del rotore, dal quale si `e estratta la potenza ottenibile. Tuttavia una stima precisa della
pressione P4non `e possibile allo stadio in cui si `e sfruttata tale informazione nel progetto
rotorico. Ma soprattutto non si pu`o stabilire in questa sede un’analisi efficace del flusso nel diffusore, per i motivi elencati di seguito:
1. il disegno, la forma, le caratteristiche del diffusore dipendono completamente dal tipo di applicazione. Le forme del diffusore sono svariate, e in questa sede non si ha nessuna informazione a riguardo. Le perdite nel diffusore e il valore di P4
dipendono considerevolmene dalla geometria
2. il flusso nel diffusore pu`o essere molto complesso, in particolare per via degli strati limite crescenti. Una stima del fattore di diffusione Cptramite un modello di ordine
ridotto `e molto difficile e meriterebbe delle simulazioni dedicate
3. le caratteristiche del diffusore dipendono ad esempio dal modo in cui `e montato l’albero del rotore. Questo aspetto influenza la scelta di un diffusore conico o anulare
4. non si conosce se l’uscita dallo stadio sia collegata all’ambiente, ad uno scarico a pressione diversa, oppure ad uno stadio radiale ulteriore. In quest’ultimo caso il diffusore dovrebbe ruotare di 180◦ la direzione del flusso.
Per tutti questi motivi di incertezza, la scelta migliore `e sembrata ridurre l’influen- za del diffusore sugli altri componenti, e sul modello complessivo, attraverso le due prescrizioni:
PT 4d= 0.9PT 4 (6.2)
Cp = 0.6 (6.3)
Come spiegato in precedenza tali scelte sono del tutto conservative. Ad esempio nel riferimento [1] si considera un valore ottimo di Cp pari a 0.68 e si indica il valore 0.6
come facilmente ottenibile. Per quanto riguarda il valore di PT 4d al 90% di PT 4, esso
deriva dalle analisi che verranno esposte in seguito. Prima di scegliere quel fattore si `e infatti svolta un campagna di calcoli per la perdita di uscita dal rotore, considerando varie configurazioni di rotori ben disegnati. I risultati ottenuti hanno portato alla scelta di 0.9 come fattore conservativo.
Per tutte le ragioni esposte il modello del diffusore non costituisce una parte fonda- mentale del modello complessivo. Tuttavia viene qui descritto brevemente, proprio per dare una idea di come il valore 0.9 si stato ottenuto. Inoltre la definizione di efficienza totale statica ha bisogno del valore di PT out; per questi motivi e per completezza del
modello si analizzano le caratteristiche del flusso nel diffusore.
Il modello riesce a fornire varie dimensioni fondamentali sul diffurore, utili per rendersi conto di che tipo di diffusore potrebbe essere utilizzato.
Figura 6.1: Caratteristiche geometriche della tipologia di diffusore utilizzata.
6.1
Caratteristiche geometriche del diffusore utilizzato
Dovendo fornire una stima della pressione totale all’uscita non si pu`o non stabilire una geometria di riferimento. In letteratura (vedi Rif.[1]) vengono indicate varie geometrie utili per applicazioni diverse. Volendo sfruttare una geometria pi`u semplice possibile, si considera un diffusore assialsimmetrico del tipo mostrato in figura 6.1. Si tratta infatti di un diffusore cilindrico con un raggio esterno crescente o decrescente a seconda dei casi (ovviamente l’area di sezione di passaggio `e sempre crescente trattandosi di un diffusore). La sezione di ingresso corrisponde ad un canale anulare di raggi interno rH4ed esterno rS4, coincidente con la sezione di uscita del rotore. Il profilo interno del
diffusore diminuisce rapidamente di raggio sino a concludersi con un naso arrotondato. Il raggio della circonferenza esterna del diffusore segue un andamento non ben definito sino al raggio della sezione circolare di uscita Rout.
Anche se nel presente modello si `e stimato Cp = 0.6, e quindi non si desidera stimare
o massimizzare il fattore di diffusione, si cerca di utilizzare propriet`a ottime dei diffusori in termini di caratteristiche geometriche di massima.
Ad esempio in Rif.[1] si spiega come esista un rapporto ottimo tra lo spessore dei canali rotorici in uscita dal rotore b = nmax = rS4− rH4 e la lunghezza del diffusore
Ld
b = 8 (6.4)
dove tutte le grandezze utilizzate sono descritte in figura 6.1. Tale prescrizione viene utilizzata per stimare la lunghezza assiale del diffusore dato che b `e noto.
Altra grandezza geometrica molto importante per gli sviluppi che seguono `e l’angolo equivalente di divergenza:
2Θc= 2tan−1[(AR− 1)b/(2Ld)] (6.5)
e data la prescrizione sul rapporto Ld/b tale relazione pu`o essere riscritta come:
2Θc= 2tan−1[(AR− 1)/16)] (6.6)
Nelle espressioni esposte, per via della geometria utilizzata per il presente diffusore, si ha:
AR=
Rout
b (6.7)
dove Rout `e il raggio esterno della sezione circolare di uscita dal diffusore.