Considerazioni sul flusso meridionale e sulla richiesta di pression

Il presente modello effettua una scelta diversa dagli altri modelli presentati nell’intro- duzione rispetto al flusso meridionale. Ad esempio nel modello sviluppato da Aungier si definiscono prima le caratteristiche dei profili di estremit`a, e poi si analizza il flusso meridionale con le equazioni aerodinamiche del flusso relativo. Invece nella procedura qui descritta il profilo del mozzo `e stato determinato in modo definitivo, mentre quello di estremit`a esterno solo temporaneamente; ci`o `e necessario per avere una indicazione della direzione delle strisce di flusso per il primo calcolo meridionale. Lo scopo di questa scelta `e definire un profilo di estremit`a che assecondi la richiesta di un andamento fa- vorevole delle propriet`a fluidodinamiche, in primis della pressione statica, e non dettato esclusivamente da considerazioni geometriche (come fatto da Aungier; vedi Rif.[1]).

In questo modo si ammette di conoscere qualcosa in meno sulla geometria, in par- ticolare non si conosce in modo definitivo il profilo esterno, ma si sfrutta la conoscenza di qualcosa in pi`u riguardo alla fluidodinamica, ed in particolare riguardo ad alcune distribuzioni di grandezze fluidodinamiche.

Come verr`a spiegato meglio nel paragrafo che segue, lo strumento di analisi del flusso meridionale `e l’utilizzo di equazioni del tipo di :

kmWm2 + cosφ r (Wϑ+ Ωr) 2₌ 1 ρ ∂P ∂n. (4.54)

dove Wme Wϑsono le componenti meridionale e azimutale del flusso relativo. Mentre

km `e la curvatura locale delle strisce di flusso e φ l’angolo tra la tangente alle strisce

di flusso e l’asse della turbina. Questa equazione, assieme alle sue implicazioni, `e gi`a stata presentata all’inizio di questo capitolo e verr`a commentata approfonditamente nella sezione 4.4.2. Qui si vuole mettere in luce come la conoscenza delle componenti di velocit`a e pressione in una striscia di flusso, permetta di stimare la pressione media nella striscia di flusso superiore a quella analizzata, tramite il termine ∂P_∂n. Infatti note le distribuzioni di ρ, Wm, Wϑin una striscia di flusso, e nota la sua geometria si pu`o ricavare

la ∂P_∂n dall’equazione 4.54. Dalla pressione statica, conoscendo la pressione totale relativa come esposto in 4.2.2, si risale al numero di M ach relativo e cos`ı alle altre caratteristiche del flusso nella striscia di flusso adiacente.

Con queste semplici considerazioni si vuole mettere in luce come basti conoscere le caratteristiche del flusso in una striscia di flusso (ad esempio al mozzo) per poter rico-

fatto nella sola accezione media azimutale, quindi nell’approssimazione di flusso assial- simmetrico. La determinazione delle variazioni azimutali delle propriet`a del flusso verr`a eseguita nell’analisi da pala a pala.

Queste considerazioni permettono di attuare la seguente strategia:

1. si conoscono le grandezze fluidodinamiche all’ingresso e all’uscita del canale meri- dionale (stazioni 3 e 4 del modello)

2. si impone un andamento favorevole, da modello, alla distribuzione delle suddette grandezze nella striscia di flusso adiacente al mozzo

3. si ricostruiscono le condizioni fluidodinamiche nella striscia adiacente al mozzo, e, tramite equazioni simili alla 4.54, in tutte le strisce di flusso superiori

4. si applicano criteri di bilancio di massa per ottenere l’informazione sullo spessore delle strisce di flusso.

Cos`ı facendo, la prescrizione dell’andamento favorevole delle caratteristiche della striscia adiacente al mozzo influenza positivamente tutte le altre strisce di flusso. Di seguito si espongono le considerazioni seguite nella prescrizione, e, da un punto di vista teorico, si andr`a ad imporre la P (m; n = 0).

Si vuole specificare di nuovo che il ruolo della griglia (e quindi del profilo di estremit`a pre-definito in sezione 4.3.1) `e limitato alla stima della direzione delle strisce di flusso e dei profili meridionali φ(m; n).

Inoltre dal punto di vista numerico fornisce i punti della griglia in cui calcolare le grandezze fluidodinamiche e l’informazione dell’inclinazione palare βB(m; ξ). Senza la

pre-definizione della griglia non si potrebbe dare il via all’iterazione, ma la scelta prelimi- nare del profilo esterno non influenza direttamente il risultato finale dell’analisi. Infatti l’aver definito un certo profilo di estremit`a non fissa nessuna geometria di canale, e per questo motivo si pu`o, e si deve, ricalcolare il profilo stesso. Quindi il metodo presenta- to riesce realmente, e completamente, ad andare dalla prescrizione fluidodinamica alla definizione della geometria del canale (o almeno alla definizione del suo profilo esterno). Un altro obbiettivo sta nel delineare l’andamento delle caratteristiche fluidodinami- che meridionali al mozzo del rotore. I fattori che concorrono nella determinazione e nella scelta di tale andamento sono:

• il requisito di limitare i gradienti meridionali delle grandezze fluidodinamiche, in primis della pressione

• la richiesta di ottenere degli andamenti verosimili, che tengano in conto gli effetti dei fenomeni fisici collegati allo sviluppo del flusso meridionale sul mozzo. I prin- cipali fenomeni fisici sono appunto l’espansione gasdinamica attraverso il rotore, e gli effetti di curvatura associati al profilo al mozzo.

Riassumendo il modello prescrive delle variazioni graduali delle grandezze fluidodinami- che, ad esempio cercando di minimizzare i gradienti meridionali di pressione sul mozzo.

Tuttavia il metodo, dovendo fare una scelta sull’andamento delle propriet`a fuidodinami- che, non la pu`o svincolare dai fenomeni aerodinamici che influenzano la striscia di flusso rotorica. Per chiarezza si vuole mettere in luce come il metodo non possa prescrivere degli andamenti, ad esempio delle pressioni, favorevoli ma non realistici per l’effettivo funzionamento del rotore. In altre parole l’arbitrariet`a con cui tali grandezze possono essere prescritte non `e totale, ma deve mantenere veridicit`a perch`e il procedimento possa essere efficace nel determinare la geometria e le caratteristiche del flusso meridionale.

Di seguito si espongono alcuni punti presi in considerazione per la scelta dell’anda- mento delle propriet`a fluidodinamiche al mozzo del rotore. Si tenta quindi di delineare una prescrizione delle grandezze fluidodinamiche che sia pi`u verosimile possibile, e pi`u favorevole possibile dal punto di vista dei gradienti di pressione:

1. all’ingresso e all’uscita della striscia di flusso al mozzo, le propriet`a fluidodinamiche devono eguagliare quelle ricavate con i metodi del paragrafo 4.2

2. tra le varie funzioni di cui `e possibile prescrivere l’andamento (P , W , Wm, ρ, M

0

ecc.) quella migliore si `e rivelata la densit`a di portata ρHWmH nella striscia di

flusso. Il motivo `e che sembra il termine di cui `e pi`u semplice predirre (ed imporre) l’andamento tra i valori estremi all’ingresso e all’uscita del canale. Si tratta infatti di una funzione lentamente variabile, meno influenzata delle altre dalle condizioni locali del flusso. Inoltre si tratta di una funzione del numero di M ach relativo pi`u debole delle altre, ad esempio ρ e W . Per essa `e pi`u efficace prescrivere una variazione favorevole e graduale tra i valori estremi di ingresso ed uscita (ρH3WmH3

e ρH4WmH4)

3. osservando la figura 4.11 e 4.6 si intuisce immediatamente che le variazioni di densit`a di portata all’ingresso del rotore, rispetto alla coordinata meridionale, non possono essere rilevanti. Questo perch`e il tratto di ingresso al rotore `e molto simile ad un tratto radiale, e quindi si deve rispettare un bilancio di massa attraverso il canale, in cui solo il raggio delle sezioni anulari di passaggio varia. Se una prescrizione delle variabili fluidodinamiche deve essere imposta dal modello, questa deve tenere conto che le derivate ∂(ρWmH)/∂m sono molto basse all’ingresso del

rotore. Pi`u specificatamente saranno derivate basse e positive per via dell’aumento di ρWmH necessario per il restringimento della sezione di passaggio

4. esiste inoltre un effetto di gradiente di pressione connesso alla curvatura della stri- scia di flusso. Nello stesso modo di quanto avviene sulle pareti di un condotto caratterizzato da una curvatura convessa, come nel caso del mozzo del rotore, si devono avere degli incrementi di pressione proporzionali alla velocit`a stessa (ele- vata al quadrato) e alla curvatura del profilo che si considera. Tale contributo gioca chiaramente un ruolo, come si evince dalla sua presenza nell’equazione 4.54 Se il metodo prescrivesse l’andamento delle grandezze nella striscia di flusso, ma senza includere un effetto del genere, la distribuzione delle velocit`a, delle densit`a di portata, e in conclusione la forma del canale rotorico ottenuto non sarebbero

5. infine la scelta della distribuzione delle grandezze deve sempre mostrare una certa cura riguardo ai gradienti di pressione meridionali ottenuti. Questi influenzano direttamente fenomeni quali la separazione degli strati limite. L’obbiettivo, come gi`a esposto, `e di mantenere tali gradienti pi`u bassi possibile.

Le cinque considerazioni appena elencate forniscono la base concettuale dei due pas- saggi che seguono, i quali determinano analiticamente l’andamento di tutte le grandezze fluidodinamche nella striscia di flusso al mozzo. In tutte le variabili che verranno pre- sentate il pedice H indica che ci si riferisce alla striscia di flusso adiacente al mozzo, e quindi con coordinate n = ξ = 0.

Per prima cosa si prescrive la distribuzione della densit`a di portata, come funzione della coordinata meridionale, secondo un andamento regolare, polinomiale. Questa non sar`a la distribuzione conclusiva, perch`e non tiene conto dell’effetto di incremento di pressione con la curvatura della striscia di flusso. Si impone che:

(ρHWmH)provv = ρH3WmH3+ (ρH4WmH4− ρH3WmH3) · (

m LHm

)2 (4.55)

dove il pedice ”provv” sta per provvisorio, infatti l’effetto legato alla curvatura della striscia di flusso verr`a inserito in un passaggio successivo. In questa equazione m `e la coordinata meridionale e LHm`e la lunghezza del profilo meridionale al mozzo del rotore.

Questa distribuzione riesce a soddisfare alle condizioni 1, 2, 3, e 5 elencate in precedenza. Si riesce infatti ad ottenere un andamento regolare, continuo, senza bruschi gradienti, data l’adozione di una funzione parabolica. Minori gradienti sarebbero stati ottenu- ti attraverso un andamento lineare, il quale, a differenza di quello parabolico appena proposto, non soddisferebbe alla condizione 3 dell’elenco riportato. La regolarit`a e la gradualit`a della distribuzione imposta alla densit`a di portata, hanno immediati riflessi sull’andamento di pressione corrispondente. Tale andamento `e caratterizzato proprio dalla limitazione del valore dei gradienti che si desiderava ottenere. Il vantaggio di que- sta scelta `e che impone alla densit`a di portata provvisoria di non essere mai superiore, n`e inferiore, ai limiti costituiti dai valori estermi all’ingresso e all’uscita del rotore. Ci`o implica l’ottenimento dei bassi gradienti di tutte le grandezze fluidodinamiche, non sol- tanto di PH e ρHWmH. Per arrivare alla scelta di questo tipo di andamento sono state

proposte, e tentate, diverse funzioni, polinomiali e non. Si `e scelta infine la funzione che ha permesso di ottenere i risultati migliori e pi`u verosimili. Sulla base di questa distribu- zione provvisoria si nota che, a partire dal valore locale di (ρHWmH)provv, si ottengono

il numero di M ach relativo e la pressione statica dalle seguenti relazioni gasdinamiche, coerenti con le ipotesi sul flusso considerate. Tutte le grandezze ricavate sono per ora provvisorie ed occorr`a un procedimento iterativo per arrivare alla convergenza del loro valore. Il numero di M ach relativo si ottiene attraverso:

(ρHWmH)provv = cosβBH P_{T H}0 q RgasT 0 T H/γ M_H0 (1 + γ − 1 2 M 0₂ H) (−_2(γ−1)γ+1 ) (4.56)

in cui il pedice H indica che si sta considerando la striscia di flusso al mozzo, mentre l’indice che si stanno considerando le grandezze relative. Nell’equazione precedente si nota la presenza dell’angolo βBH, definito attraverso l’ equazione 4.49 nel paragrafo

precedente sulla geometria della pala. Non si tratta che dell’inclinazione palare rispetto al piano meridionale, su ogni singolo profilo meridionale. In questo caso si sfrutta l’angolo palare in corrispondenza del mozzo del rotore, quindi per n = ξ = 0.

Risolvendo l’equazione si ottiene il M ach relativo e da esso si possono ricavare la pressione statica PH(m), la velocit`a relativa in modulo WH e infine, sempre per motivi

di flusso ben guidato, la velocit`a relativa meridionale:

WHm= WH · cosβBH. (4.57)

Tutte le grandezze vengono determinate sulla base delle ovvie relazioni gasdinamiche, pi`u volte analizzate nella presente tesi, come ad esempio la relazione per ricavare la pressione statica, dalla conoscenza del M ach relativo e della pressione totale relativa:

PH = P 0 T H(1 + γ − 1 2 M 0₂ H) − γ γ−1_{. (4.58)}

Le grandezze fluidodinamiche cos`ı ricavate sono come detto provvisorie, perch`e la di- stribuzione 4.55 non considera l’effetto di curvatura della striscia di flusso. Una migliore stima della pressione media azimutale al mozzo del canale si ricava con l’equazione:

PH = (PH)provv +

1 2ρHW

2

Hm (4.59)

che offre appunto una stima della pressione corretta per la curvatura della striscia di flusso al mozzo (per i dettagli sul modo di affrontare i gradienti di pressione per curvatura vedi Rif.[17]). Purtroppo la variazione di PH impone, attraverso le equazioni

4.55 e 4.58, che anche le altre grandezze fluidodinamiche debbano essere modificate. Tra di esse anche ρH e WHmle quali incidono sulla determinazione dello stesso PH attraverso

l’equazione 4.59 Tale problema viene risolto iterativamente sino alla convergenza di PH.

Quindi al primo calcolo di PH si ricava il numero di M ach relativo (dall’equazione 4.56),

e poi la velocit`a relativa dalle equazioni gasdinamiche classiche. Nota WH si ricava WHm

dall’equazione e quindi si ripete il calcolo della pressione media azimutale sul mozzo dalla 4.58. Il risultato di questa procedura `e l’ottenimento di:

PH = PH(m) (4.60)

la quale, assieme alla conoscenza della pressione totale e della temperatura totale relative sul mozzo, definiscono analiticamente l’intero set di grandezze fluidodinamiche (medie azimutali) nella striscia di flusso adiacente al mozzo. Questo risolve il problema sulla determinazione del punto di partenza dell’analisi meridionale.

Si potrebbe obbiettare che il metodo `e soggetto a molte approssimazioni, e che impo- ne delle prescrizioni che non sono necessariamente ottimali. Si tratta per`o di una scelta del modello; limitando i gradienti sfavorevoli sul mozzo, si possono spingere le prestazioni delle configurazioni rotoriche verso livelli pi`u estremi (senza incorrere in meccanismi di

separazione degli strati limite), e quindi ottenere delle potenze ottime superiori. Chia- ramente questa `e una strategia, con i propri limiti e difetti intrinseci, ma si considera molto migliore che non imporre una geometria a priori, ed accettarne le conseguenze (come nel modello esposto in Rif.[1]).

Per quanto riguarda la precisione, questo non `e assolutamente un problema, infatti in questa fase il modello non analizza ma prescrive. Un errore in tal senso corrisponde ad un problema strutturale del metodo, e non alla mancanza di precisione nei risutati finali. Come paradosso il termine di curvatura potrebbe addirittura non essere considerato, il risultato non sarebbe mancanza di precisione, ma forme quantomeno strane dei canali meridionali per assecondare un comportamento del genere della pressione sul mozzo. Se i principali aspetti aerodinamici (come l’effetto curvatura) sono colti, e se la distribuzione `e sufficientemente favorevole, allora l’obbiettivo `e raggiunto.

Si ricorda che tutte le equazioni presentate in questa sezione nella striscia di flusso adiacente al mozzo riguardano grandezze dell’analisi meridionale; tale analisi richiede l’assialsimmetria delle equazioni fluidodinamiche e quindi tutte le grandezze riportate non dipendono dalla coordinata azimutale. Si nota inoltre come si `e giunti a questo schema di ragionamento attraverso un processo che ha visto il confronto di molte diverse tattiche, e quella esposta ha offerto i risultati migliori per via degli andamenti di pressione pi`u regolari.

Nella sezione che segue si sfrutta la PH(m) per determinare le caratteristiche del

flusso meridionale in tutte e strisce di flusso.