In questo paragrafo si prendono in considerazione alcuni degli effetti della viscosit`a sui canali palari, e si descrive il modo in cui questi vengono trattati dal modello. Le perdite e gli effetti viscosi nella palettatura non sono di primaria importanza rispetto alla turbi- na complessiva, e questo perch`e si ha un flusso bruscamente accelerante, combinato con lunghezze medie di attraversamento del distributore molto basse. Si ritiene quindi che gli strati limite che si vanno a formare sulle pareti non siano n`e pericolosi, n`e connessi con perdite ragguardevoli. Proprio per questi motivi, non si ha lo scopo di trattare nel dettaglio l’evoluzione delle interazioni viscose. Si desidera invece ottenere delle in- formazioni medie, che si possano intrecciare facilmente con il modello ideale, anch’esso estremamente semplificato.
Le perdite cosiddette viscose sono solo una parte delle molteplici fonti di perdita connesse con il flusso nella palettatura. Solo alcune di queste perdite verranno descritte, e di fatto non si ritiene che ci`o costituisca un difetto del metodo. L’obbiettivo della schematizzazione delle perdite, specialmente se non sono onerose, `e quello di indirizzare
il modello di ottimizzazione su alcune configurazioni piuttosto che su altre. Ad esempio, avere un distributore con pi`u pale, a parit`a di altri parametri geometrici, implica perdite maggiori. Allo stesso tempo, avere delle pale pi`u inclinate rende pi`u gravose le perdite connesse con gli spessori di quantit`a di moto. Queste ed altre tendenze implicite, devono essere introdotte nel metodo nel migliore modo possibile, cos`ı da rendere il processo di selezione pi`u efficace. Infatti, lo scopo di questo progetto non `e ottenere uno strumento di analisi delle prestazioni, ma stabilire un processo di ottimizzazione efficiente e flessibile. Relativamente a ci`o, risulta pi`u importante che le stime delle perdite, connesse con fenomeni distinti, siano bilanciate tra loro, piuttosto che vicine ai valori reali. Quindi le perdite pi`u importanti, relative alla palettatura, sono state introdotte attraverso metodi semplici, di ordine ridotto; poi il bilanciamento tra di esse, e con altre perdite delle turbina, `e stato verificato.
Tornando alle perdite viscose, il modo migliore sembra quello di stimare lo svilup- po degli spessori di spostamento e quantit`a di moto degli strati limite. Da queste grandezze si ottengono alcune informazioni per determinare le grandezze ∆s e PT th
che si necessitano per portare a termine le iterazioni del modello esposto nei paragrafi precedenti.
Per poter efficacemente studiare le azioni viscose attraverso lo sviluppo degli strati limite occorre una idea della distribuzione di velocit`a sulle superfici interessate. Attual- mente si conoscono due sole velocit`a, quella all’ingresso nello stadio 1 e nella stazione th. Chiaramente ci`o non basta per trattare alcun modello verosimile di perdita viscosa. Utilizzando dei metodi integrali semplificati di sviluppo dello strato limite, si necessita di almeno tre stazioni, e quindi occorre almeno una stima di velocit`a in una stazione in- termedia. Tale velocit`a `e il minimo requisito per distinguere ci`o che mediamente avviene sulle pareti laterali, sul lato di aspirazione delle palette, e sul lato di pressione. Ci si aspetta infatti che lo sviluppo degli strati sia, come sempre, influenzato dai gradienti di pressione, anche se la lunghezza media di attraversamento della palettatura `e veramente bassa. Dichiarando di voler almeno conoscere una velocit`a intermedia, si utilizza una correlazione che leghi la differenza di velocit`a, tra lato di pressione e lato di aspirazione, alle velocit`a medie all’ingresso e uscita del canale palare. Si considera cio`e che il lavoro fatto dalla pala sia collegato alla variazione di velocit`a ingresso-uscita dalla palettatura. Il lavoro imposto determina la portanza delle palette, e quindi una differenza di velocit`a massima stimabile ai due lati di un canale palare.
La correlazione utilizzata si basa sull’annullamento della circuitazione in un flusso irrotazionale; in questo modo si possono legare le velocit`a azimutali in entrata e in uscita con quelle ai lati di una paletta. I dettagli teorici sono esposti in Rif.[1], mentre qui si riporta soltanto il risultato della correlazione:
∆Uint= 2π(rthVϑth− r1Vϑ1)/(LNs) (3.27)
dove ∆Uint `e la stima della differenza massima di velocit`a tra superfici di pressione
e aspirazione della paletta. Nella formula invece L `e la lunghezza media della traiettoria di attraversamento di una particella fluida nel distributore. Questa pu`o essere stimata tramite:
L = Z dr
sinβ (3.28)
in cui β `e appunto l’angolo di pala variabile, noto dalla geometria della pala. Allo stesso modo di L, tutte le altre grandezze espresse nell’equazione 3.27 sono note. In particolare le velocit`a azimutali nella sezione di ingresso e nella sezione ristretta; quindi proprio le velocit`a di cui si aveva conoscenza sono utilizzate per ottenere l’informazione mancante. Se se non ci fossero effetti di carico palare, la velocit`a in una sezione inter- media sarebbe probabilmente intermedia tra le velocit`a U1 e Uth, per questo motivo si
considera:
Uint=
U1+ Uth
2 UintEW = Uint
UintSS = Uint+ ∆Uint/2
UintP S = Uint− ∆Uint/2
e quindi la velocit`a nelle pareti laterali (UintEW) si ritiene intermedia tra quelle di ingresso e uscita, mentre le velocit`a sul lato di aspirazione UintSS si stima maggiore della velocit`a media di met`a dell’escursione calcolata, e all’opposto per la velocit`a sul lato di pressione UintP S; tutte queste velocit`a sono associate alla stazione intermedia, come indicato in figura 3.11.
Queste informazioni pongono le basi per il calcolo, del tutto approssimato, dello sviluppo degli strati limite. Il metodo utilizzato viene descritto in Rif.[1], e si sottolinea che, specialmente per componenti di turbina, metodi del genere si sono rivelati sempre sufficientemente accurati. Il metodo `e stato sviluppato da Pai (vedi [14] e [15]), e predice lo spessore di quantit`a di moto attraverso la formula integrale:
δM B = cf 2un e Z L 0 unedx (3.29)
in cui ue `e la velocit`a al di fuori dello strato limite sulla superficie che si sta conside-
rando, mentre cf `e il coefficiente di attrito. Pai suggerisce di utilizzare n = 5 per flussi
comprimibili, acceleranti e turbolenti. Utilizzando le informazioni note a tre stazioni, nominalmente 1, int e th, si approssima l’equazione integrale dello strato limite di cui sopra con:
δM B = cfρave[(U1/Uth)5+ 2(Uint/Uth)5+ 1]L/(8ρth) (3.30)
dove
Tutte le grandezze, a parte cf e ρint, sono state calcolate nei passaggi precedenti del
metodo e sono quindi del tutto note. Le equazioni appena esposte sono utilizzate per ogni strato limite, quindi sulle pareti laterali, e sui lati aspirazione e pressione della pala al fine di determinare rispettivamente gli spessori di quantit`a di moto: δmbEW, δSSmb e δP Smb. In tali equazioni ρint `e calcolata nota che sia la velocit`a, attraverso le equazioni di
espansione isoentropica (nel modo usuale). Per chiarezza si considera una pressione totale nella stazione intermedia, pari
PT int = (PT th+ PT 1)/2 (3.32)
e quindi dalla pressione totale e dalla velocit`a Uintsi ricavano tutte le altre grandezze,
compresa ρint.
Per quanto riguarda il coefficiente di attrito, potrebbero essere utilizzate le solite correlazioni riguardanti gli strati limite. Osservando per`o che gli strati limite di parete si sviluppano attraversando pi`u di un componente, quelli della voluta potrebbero avere un effetto non trascurabile sul distributore. Dire che il coefficiente di attrito dipenda dalla distanza dal bordo di attacco delle palette corrisponderebbe a non considerare tali strati limite di parete. Per questi motivi Aungier [1] suggerisce di adottare dei coefficienti di frizione propri di condotti equivalenti, e di fatto il distributore pu`o essere interpretato come un insieme di canali. Tale approssimazione richiede il calcolo di un numero di Reynolds equivalente, basato sulle dimensioni del canale, piuttosto che sulla lunghezza di attraversamento. Ad esempio :
Rep= ρthUthb1/µ
dove appunto µ `e la viscosit`a dinamica, mentre b lo spessore assiale del distributore. Dal numero di Reynolds si ricavano le condizioni di laminarit`a e turbolenza del flusso, e il valore del coefficiente di attrito, secondo i modelli usuali per condotti pienamente sviluppati. Tali relazioni non sono riportate qui, e possono essere trovate in qualsiasi testo generico di fluidodinamica, nonch`e in Rif. [1].
Le equazioni e le correlazioni appena riportate permettono di ricavare lo spessore di quantit`a di moto degli strati limite, sui quattro lati del canale. Per ricavare gli spessori di spostamento, necessari per il calcolo del fattore di bloccaggio ∆s, si utilizza
un fattore di forma tipico di flussi turbolenti comprimibili, in particolare Hs = 1.2857.
Tale considerazione, riportata e giustificata in Rif.[1], permette di calcolare:
δs= Hs δM B (3.33)
e ci`o pu`o essere chiaramente fatto per le superfici si pressione, aspirazione e per le pareti laterali. Il calcolo sui tre diversi lati, caratterizzati da stesse condizioni alle stazioni di ingresso e uscita, e diverse condizioni intermedie, permette ad esempio di determinare il fattore di bloccaggio ∆s. Ci`o deve essere fatto ad ogni iterazione del
Altra informazione ricavabile dallo sviluppo appena esposto riguarda la perdita di pressione totale associata alle azioni viscose. Prima di tutto si definisce un nuovo fattore di strato limite, ma questa volta legato agli spessori di quantit`a di moto:
∆mb=
b1(δmbSS+ δmbP S) + 2δmbEW(Omin− δmbSS− δP Smb)
Ath
(3.34) dove δmbSS, δmbP S, e δmbEW sono rispettivamente gli spessori di quantit`a di moto per i lati si aspirazione, pressione e per le pareti laterali. Per il resto la definizione ricalca quella del fattore di bloccaggio. L’utilizzo per`o `e del tutto diverso e infatti tale parametro aiuta a calcolare le perdite connesse con le azioni viscose, ad esempio con:
∆PTv = PT core− (Pth∆mb+ PT core(1 − ∆mb)) (3.35)
dove ∆Pv
T `e la variazione di pressione totale legata alle azioni viscose, Pth `e la pres-
sione statica nella sezione di uscita e ∆mb `e il fattore appena descritto. Invece PT core
`e la pressione totale del flusso passante nel canale palare, al di fuori degli strati limite e cio`e nella zone del flusso non influenzata da azioni viscose. Tale pressione totale non coincide ancora con la pressione totale in ingresso PT 1, dato che vanno considerate le
perdite di pressione totale dovute agli effetti di incidenza e alle perdite per onde d’urto interne. Il modo di affrontare le altre sorgenti di perdita considerate verr`a esposto nel prossimo paragrafo.
Il metodo appena utilizzato nella stima della perdita di pressione, a partire dagli spessori di quantit`a di moto, `e il metodo classico di considerare le perdite viscose nelle palettature di turbomacchine, come descritto ad esempio in [8].