4.3 Determinazione della geometria del rotore
4.3.1 Determinazione della geometria del canale meridionale rotorico
La geometria del canale meridionale rotorico `e completamente specificata se si conoscono le geometrie (nel piano meridionale di coordinate r e z, oppure m e n; vedi figura 4.5) dei profili di estremit`a del canale palare. Una volta che saranno noti geometricamente tali profili si ottiene una informazione completa de canale definendo una griglia. Tale griglia sar`a alla base nell’approccio fluidodinamico per calcolare le propriet`a fluidodinamiche nel canale stesso. Di seguito si passer`a alla definizione e agli sviluppi relativi ai profili di estremit`a (mozzo e estremit`a esterna) ed in seguito alla determinazione della griglia. Tutto il procedimento sar`a basato su considerazioni geometriche, le quali ovviamente poggiano sulle linee guida geometriche presentate in sezione 4.3. Quando le scelte fatte riguardo alla geometria del canale sottintendano delle considerazioni fluidodinamiche si descriveranno queste dettagliatamente.
Determinazione della geometria del profilo di mozzo
Il profilo che definisce la forma del mozzo della turbina `e sostanzialmente una curva regolare che unisce i raggi r3 all’ingresso con rH4 all’uscita dello stesso. In letteratura
si trovano molti metodi semplificati per risolvere questo problema; ad esempio nel rife- rimento Rif.[1], parlando del metodo di disegno descritto in 1.3, si consiglia l’utilizzo di archi di circonferenza come curva preliminare per la geometria del mozzo. Come forma appena pi`u rifinita si consiglia invece un tratto rettilineo (verticale o meno) seguito da un arco di circonferenza; quest’ultima forma `e riportata in figura 4.4 (caso a) come esempio. Il motivo di scegliere degli archi di circonferenza sta nel fatto che si tratta di curve molto semplici che permettono di unire due punti estremi, uno al raggio r3 ed uno al
raggio rH4, rispettando direzioni di ingresso approssimativamente radiale e direzione di
uscita assiale. Inoltre tali profili limitano la curvatura ad un valore costante lungo la curva stessa. Ci`o permette di ottenere un valore massimo di curvatura kmax
m pi`u basso
possibile.
In una prima fase del progetto si era pensato di utilizzare una geometria del genere, purtroppo per`o la curvatura costante implica strisce di flusso con curvatura non nulla in uscita dal rotore, e quindi gradienti di pressione non nulli alla stazione 4. Nonostante ci`o la forma circolare si `e rivelata molto utile per il presente progetto, per il fatto che ha permesso di stabilire una estensione assiale rotorica di riferimento, che sar`a utilizzata per la definizione stessa del profilo. L’estensione assiale viene infatti definita come segue. Si parte dal punto di coordinate r = r3; z = 0 nel riferimento di figura 4.9; questo `e il
punto del profilo al mozzo posto all’ingresso del rotore. Da qui si fa partire un segmento radiale rettilineo, pari ad un decimo della differenza tra i raggi di ingresso e di uscita:
Ls=
r3− rH4
10 (4.35)
il quale termina nel punto di coordinate r = r3− Ls; z = 0 (vedi figura 4.9). Infine,
attraverso un arco di circonferenza, si connette questo punto ad uno di raggio rH4;
Figura 4.9: Determinazione della estensione assiale del rotore Dz; utilizzo di un arco di circonferenza per il completamento del profilo.
assiale del punto finale. In questo modo una ragionevole estensione assiale del profilo al mozzo, e quindi del rotore, viene determinata tramite:
Dz = r3− Ls− rH4. (4.36)
Questo metodo di ragionare per determinare l’estensione assiale `e stato utile per ottenere dei rotori assilamente pi`u corti di quelli prescritti da un metodo del tipo descritto in Rif.[1]. Infatti, l’aver prescritto un tratto rettilineo radiale all’ingresso, permette di ridurre l’ingombro assiale, che senza tale imposizione risulterebbe pari a r3−rH4. Questo
`e vantaggioso per due motivi principali:
• un minor ingombro assiale permette di risparmiare materiale progettualmente • la parte finale del canale rotorico `e meno importante da un punto di vista di
sviluppo di potenza. Limitare tale zone non inficia sulla potenza sviluppata ma piuttosto permette di ridurre la superficie bagnata e quindi le perdite viscose. Il motivo per cui si `e scelto di imporre Ls uguale ad un decimo della differenza tra i
raggi r3 ed rH4`e che tale frazione `e risultata ottimale in termini di risultati ottenuti. Di
fatto l’utente pu`o decidere di variare tale frazione, allungando o accorciando assialmente il rotore, ma queste variazione sono sconsigliate, specialmente se si tenta di accorciare ulteriormente il rotore. Infatti si `e notato come i gradienti geometrici diventino molto alti, implicando problemi numerici nella procedura.
Queste prime considerazioni hanno permesso di determinare le coordinate dei punti iniziale e finale del profilo al mozzo in un riferimento meridionale, in particolare r = r3; z = 0 per il punto in ingresso e r = rH4; z = r3 − rH4− Ls per il punto di finale,
Figura 4.10: Punti caratteristici del profilo di mozzo del canale meridionale. Si cerca una forma determinata da un tratto rettilineo in ingresso pi`u un profilo polinomiale sino dal punto B al punto C
Proprio come descritto parlando dell’arco di circonferenza che conferisce l’estensione assiale al rotore, si sceglie che il primo tratto del profilo al mozzo sia rettilineo e verticale, di lunghezza Ls. Ci si sposta quindi dal punto A di figura 4.10 al punto B, di coordinate
r = r3− Ls; z = 0. Da questo punto al punto C di figura 4.10 non si pu`o per`o utilizzare
un arco di circonferenza, e questo perch`e impone delle curvature non nulle in uscita. Si decide quindi di adottare un profilo definito con una funzione polinomiale per la coordinata r e sinusoidale per la coordinata z che congiunga B a C. Tale profilo `e infatti espresso dalle funzioni:
ZH(λ) = a0+ a1sin(
πλ
2 ) (4.37)
RH(λ) = b0+ b1· λ + b2· λ2+ b3· λ3 (4.38)
dove ZH e RH sono le coordinate assiale e radiale del profilo meridionale al mozzo, λ `e
la ascissa curvilinea adimensionale variabile da 0 in B ad 1 in C. I coefficienti polinomiali biper la coordinata radiale e aiper la coordinata assiale devono essere determinati per la
conoscenza completa del profilo. Di seguito verranno elencate le condizioni geometriche del profilo meridionale, le quali si trasformano in condizioni matematiche per le funzioni ZH e RH descritte, e quindi per i coefficienti ai e bi.
Per quanto riguarda la funzione ZH(λ) si hanno le seguenti condizioni da rispettare:
1. ZH(0) = 0 : per via della coordinata assiale del punto B di inizio del profilo, il che
2. ZH(1) = r3−rH4−Ls: assumendo la coordinata del punto C che termina il profilo
meridionale al mozzo. Tale condizione va chiaramente imposta con valore λ = 1 per quanto riguarda l’ascissa curvilinea. In questo modo si determina il valore di a1
3. ∂ZH
∂λ (0) = 0 : per garantire continuit`a di derivata prima del profilo, nel punto B,
con il tratto rettilineo tra A e B. Condizione automaticamente rispettata dalla funzione scelta.
Le condizioni descritte permettono di definire univocamente la funzione ZH calco-
lando tutti i coefficienti ai. Si ricorda che il tentativo di utilizzare le funzioni ZH e RH
`e quello di determinare una curva con curvatura nulla in uscita dal rotore. Senza questa necessit`a una forma del tipo di quella di figura 4.9, ad arco di circonferenza, sarebbe stata perfetta. Il tentativo nel prescrivere le forme ZH e RH `e quello di rimanere pi`u
prossimi possibile alla forma circolare di figura 4.9, ma annullando la curvatura nelle zone finali del rotore. Tuttavia la curvatura in uscita `e determinata dalla sola funzione RH, in particolare dalla sua derivata seconda in uscita, mentre non interessa la funzione
ZH. Questi ragionamenti hanno portato a scegliere per ZH la forma appena descritta,
equivalente a quella dell’arco di circonferenza che si desidera correggere per avere cur- vatura nulla in uscita. Ricapitolando l’unica differenza tra i profili rappresentati nelle figure 4.9 e 4.10 `e proprio la funzione RH = RH(λ); quindi la distribuzione dei raggi in
funzione dell’ ascissa curvilinea λ.
Per quanto riguarda RH si elencano le seguenti prescrizioni matematiche:
1. RH(0) = r3− Ls : per rispettare la coordinata del punto B di inizio del tratto
polinomiale
2. RH(1) = rH4: per rispettare la coordinata del punto finale del tratto polinomiale
del profilo meridionale al mozzo del rotore 3. ∂RH
∂λ (1) = 0 : tale condizione impone al profilo di avere una direzione tangente
all’asse della turbina all’uscita dal rotore. Questa `e necessaria perch`e occorre evi- tare componenti assiali di velocit`a in uscita come prescritto all’inizio della sezione 4.3
4. ∂2RH
∂λ2 (1) = 0 : con cui si impone alla curvatura del profilo nel punto C di
annullarsi. Come gi`a detto pi`u volte, si impone questa condizione per assicurare gradienti di pressione nulli in uscita dal rotore stesso.
Queste ultime condizioni completano le prescrizioni sul profilo al mozzo del rotore, e di fatto permettono di determinare tutti i coefficienti polinomiali bi dell’equazione 4.38.
Da un punto di vista matematico il profilo risulta completamente definito. Un esempio `e mostrato in figura 4.11 dove si osserva la forma del canale rotorico completo (sempre relativo alla sola fase 1 del disegno del rotore).
Figura 4.11: Prima definizione del canale meridionale. Si notano in particolare i profili al mozzo e all’estremit`a esterna ottenuti automaticamente con le prescrizioni del metodo.
di r3e rH4. Tutte le condizioni imposte nei punti B e C sono il risultato di ragionamenti
assolutamente coerenti su regolarit`a della geometria e l’ottenimento di forme favorevoli dal punto di vista della fluidodinamica del flusso rotorico.
Va fatta una considerazione aggiuntiva che riguarda la scelta delle funzioni per il profilo al mozzo. Prima di scegliere la configurazione esposta per il profilo se ne sono analizzate molte; quella riportata ha offerto le migliori caratteristiche in termini di di- stribuzione di curvatura. In figura 4.4 si mettono a confronto tre tipologie diverse di profili mostrando la distribuzione di curvatura in funzione di λ. La curva in rosso si riferisce ad un profilo in cui i punti B e C sono uniti con un arco di circonferenza (come in figura 4.9), come si vede la curvatura `e mediamente bassa, ma non nulla in uscita. La curva in verde si riferisce al caso in cui per il tratto B − C si sia scelta una funzione ZH polinomiale di terzo grado in λ, la quale rispetta le stesse condizioni descritte per la
funzione ZH in questo paragrafo. La funzione RH per questa curva `e la stessa utilizzata
nel modello geometrico definitivo, descritto precedentemente. Il suo difetto principale `e quello di imporre delle curvature massime eccessive. Infine la curva blu rappresenta la curvatura ottenuta seguendo le scelte esposte in questo paragrafo. Si nota una curvatura massima inferiore alla curva verde, e si riesce comunque ad avere una curvatura in uscita nulla. Queste ragioni hanno portato alla scelta fatta riguardo al profilo al mozzo.
Si passa ora alla determinazione della geometria della ”prima versione” del profilo di estremit`a esterno della canale meridionale.
Figura 4.12: Andamento dell curvatura dei profili per tre diversi casi. La curva rossa si riferisce al caso di arco di circonferenza; la curva verde al caso di profilo completamente polinomiale; la curva blu `e quella corrispondente alla scelta definitiva utilizzata nel modello.
Determinazione della geometria del profilo di estremit`a esterno
Il profilo meridionale esterno verr`a ora definito secondo principi del tutto analoghi a quanto fatto con il profilo al mozzo. Come gi`a detto precedentemente l’obbiettivo di questo passaggio `e l’ottenimento di un prima griglia geometrica su cui basare i calcoli di flusso meridionale, poi di fatto il profilo verr`a ridefinito proprio attraverso considerazioni sul flusso meridionale. Quindi verr`a costruita una nuova griglia, e verranno condotti su di essa un nuovo calcolo meridionale, ed una nuova definizione del profilo esterno. Tale procedimento pu`o essere ripetuto fino a convergenza, e permette alla soluzione finale di essere completamente svincolata dalla scelta fatta inizialmente sul profilo di estremit`a.
In realt`a la scelta iniziale sul profilo `e molto importante, perch`e se si riesce ad imporre sin dall’inizio un profilo molto vicino a quanto il calcolo meridionale prescriver`a, allora basteranno poche iterazioni per la convergenza del metodo. Si descriver`a infatti, durante l’esposizione del metodo riguardo al flusso meridionale, che il primo calcolo meridionale, e quindi la prima ri-definizione del profilo di estremit`a, gi`a permettono di ottenere una soluzione adeguata. Una seconda iterazione corregge il profilo di estremit`a esterno in modo irrisorio. Proprio per questo si `e parlato di metodo in due passaggi per il profilo; per ora verr`a prescritto sulla base di relazioni polinomiali, come fatto per il mozzo, dopo invece sar`a l’indicazione del flusso meridionale a valere.
Per quanto riguarda il profilo di estremit`a si conoscono le coordinate dei punti al- l’ingresso e all’uscita del rotore, denominati D e F . Tali punti sono riportati in figura 4.13, rispetto al sistema di riferimento (lo stesso utilizzato per il profilo al mozzo) essi hanno coordinate r = r ; z = b per D e r = r ; z = r − L − r per il punto F .
Figura 4.13: Schema riguardante il profilo esterno di estremit`a per il canale meridionale.
Le coordinate del punto D sono obbligate dalla forma cilindrica, come detto, del tratto anulare di ingresso del rotore; il punto di uscita F `e determinato dal raggio del profilo esterno all’uscita (rS4), come calcolato in 4.2.3, inoltre la sua coordinata assiale `e uguale
a quella del punto C, finale del profilo al mozzo. Questa scelta `e quasi obbligata, infatti non si vede il motivo, e il vantaggio, di avere delle coordinate assiali sfalsate, e quindi una sezione di uscita non ortogonale all’asse della turbina. In realt`a esistono casi in cui si pu`o trarre vantaggio da una situazione del genere (coordinate z distinte in uscita), ma si tratta di situazioni in cui si cerca di limitare la superficie bagnata per ridurre le perdite viscose. Come gi`a detto si preferisce effettuare delle considerazioni del genere a posteriori del metodo di ordine ridotto, e, trattandosi di una turbina, i vantaggi di queste modificazione sono di solito limitate (vedi sezione 4.3).
Una volta selezionati i punti estremi del profilo, occorre scegliere la curva che per- metta di unire questi punti. Come fatto per il mozzo, si prescrive la presenza di un tratto rettilineo radiale, delle stessa lunghezza Lsdi quello definito precedentemente. L’utilit`a
di questo tratto sta nella possibilit`a di offrire una zona senza gradienti di curvatura all’ingresso del rotore (gradienti del tipo di quelli descritti in 4.1), proprio dove viene sviluppata una considerevole parte del lavoro. Si preferisce infatti, da un punto di vista qualitativo, che il flusso si adatti al lavoro del rotore, prima di essere curvato dai profili meridionali. Tale scelta verr`a in parte smentita dal secondo passaggio di definizione del profilo di estremit`a. Infatti, come verr`a accuratamente descritto, per assicurare il bilan- cio di massa nei canali rotorici, occorrer`a una piccola inclinazione del segmento iniziale
del profilo di estremit`a (vedi sezione 4.4 per dettagli).
In ogni modo il tratto rettilineo porta il profilo di estremit`a dal punto D al punto E, di coordinate r = r3− Ls; z = b3. Da questo punto in poi viene definito un profilo di
tipo polinomiale, questa volta per entrambe le coordinate assiale e radiale del profilo. In particolare vengono definite le funzioni della coordinata assiale e radiale del profilo dal punto E al punto F :
ZS(λ) = c0+ c1· λ + c2· λ2 (4.39)
RS(λ) = d0+ d1· λ + d2· λ2+ d3· λ3 (4.40)
Le prescrizioni che permettono la determinazione dei coefficienti polinomiali verranno elencate di seguito, anche queste provengono dalle considerazioni elencate all’inizio della sezione 4.3; la variabile λ ha la stessa funzione di ascissa curvilinea. In particolare per la funzione della coordinata assiale si ha:
1. ZS(0) = b3: per rispettare la condizione sulla coordinata assiale del punto iniziale
E del profilo esterno
2. ZS(1) = r3− rH4− Ls: per imporre la condizione sulla coordinata assiale del punto
finale del profilo di estremit`a 3. ∂ZS
∂λ (0) = 0 : per assicurare la continuit`a di derivata prima, al punto E, tra
segmento rettilineo e tratto polinomiale del profilo.
Il motivo per cui in questo caso non si utilizza per ZS una funzione di tipo sinusoidale
`e che non si ha come riferimento l’arco di circonferenza come nel caso precedente. Inoltre non si ha pi`u l’esigenza (avendolo gi`a imposto attraverso il mozzo) di una curvatura del profilo controllata. Inoltre non se ne vede l’utilit`a, dato che questa `e solo la prima definizione, mentre sar`a il secondo passaggio a definire le curvature opportune del profilo. Non essendo questa la definizione definitiva si pu`o accettare un disegno di minor dettaglio rispetto al caso del mozzo. Per ci`o che riguarda invece la coordinata radiale del profilo di estremit`a si hanno le seguenti condizioni:
1. RS(0) = r3 − Ls : per rispettare la coordinata radiale del punto E di inizio del
tratto polinomiale del profilo
2. RS(1) = rS4: per rispettare la coordinata radiale del punto F , che chiude il tratto
polinomiale 3. ∂RS
∂λ (1) = 0 : per imporre una direzione del profilo all’uscita del rotore, parallela
alla direzione dell’asse del rotore. Tale condizione ricalca le ragioni dell’analoga condizione per il mozzo
4. ∂2RS
∂λ2 (1) = 0 : questa richiesta permette di soddisfare la richiesta di curvatura nulla
Utilizzando le sette condizioni, per la coordinata assiale e radiale dei punti del profilo esterno, si ricavano i sette coefficienti polinomiali necessari per definire matematicamente il profilo. L’insieme dei tratti D − E rettilineo e E − F polinomiale, cos`ı definiti matema- ticamente, permette di conoscere analiticamente la forma completa del profilo esterno del canale meridionale. Si capisce come, anche per questa definizione, siano sufficienti le informazioni ricavate dai passaggi esposti nel paragrafo 4.2 riguardo alle condizioni di ingresso e di uscita dal rotore. La prima definizione del profilo di esterno viene cos`ı automaticamente ricavata.
Si passer`a ora alla descrizione di come, sulla base dei due profili estremi, verr`a definita la griglia di punti del canale meridionale.
Determinazione della griglia del canale meridionale
Nella precedente sezione sono stati esposti gli sviluppi che permettono di ottenere ana- liticamente la forma dei profili di estremit`a del canale meridionale. A partire da questi profili deve essere determinata una griglia di punti che permetter`a di ottenere le informa- zioni geometriche necessarie per l’analisi meridionale de flusso. La griglia di punti serve ad esempio per determinare la forma, del tutto stimata e non definitiva, delle strisce di flusso meridionali definite in precedenza.
Per lo sviluppo che segue `e utile richiamare alcuni concetti. La definizione di strisce di flusso era stata data in sezione 4.2.3, si era parlato infatti di poter suddividere il canale meridionale in porzioni da cui passa la stessa frazione della portata di lavoro. Si parler`a inoltre di profili meridionali come delle linee di confine tra due strisce di flusso sul piano meridionale. Per quanto riguarda il sistema di riferimento meridionale (oltre al sistema r − z) si era gi`a definito il sistema di riferimento curvilineo m − n, in cui m `e la coordinata meridionale ed n la coordinata trasversale; tale sistema `e schematizzato in figura 4.5.
Uno degli obbiettivi della griglia `e individuare nel piano r − z dei profili meridionali, detti temporanei, il pi`u possibile simili ai profili meridionali che separano le strisce di flusso. Ad esempio all’ingresso del rotore, essendo le condizioni fluidodinamiche uniformi (e cio`e indipendenti dalle coordinate azimutale ed assiale; vedi sezione 3.8), anche le strisce di flusso avranno stesso spessore. Quindi i profili meridionali che dividono il canale in strisce di flusso risultano cos`ı equispaziati all’ingresso del rotore. La stessa cosa non vale lungo il canale meridionale; infatti punti diversi del canale (ad esempio con simili coordinate meridionali, ma diversa coordinata n trasversale) corrispondono a condizioni fluidodinamiche diverse e quindi diverso spessore delle strisce di flusso. Purtroppo non si hanno informazioni sulle caratteristiche fluidodinamiche nel canale; unico modo per simulare le strisce di flusso `e operare una suddivisione semplice secondo la procedura che segue, e che garantisce equispaziatura in ingresso.
1. si divide il profilo meridionale al mozzo in ncorr punti equispaziati. Dall’utilizzo
del metodo si `e stabilito che per ncorr > 30 la procedura garantisce la precisione
desiderata
Figura 4.14: Canale meridionale con definizione del sistema di riferimento non ortonormale temporaneo. Si definiscono anche alcuni angoli essenziali per gli sviluppi meridionali.
3. si uniscono i punti corrispondenti dei due profili con dei segmenti, questi vengono chiamati ”segmenti trasversali”
4. su ogni segmento trasversale vengono definiti nstr−1 punti che dividono il segmento
stesso in nstr porzioni di stessa lunghezza; nstr corrisponde proprio al numero di
strisce di flusso utilizzato in sezione 4.2.3
5. la griglia di punti definiti sui segmenti trasversali, e sui profili di estremit`a, corri- sponde alla griglia complessiva.
Un esempio di griglia, caratterizzata da nstr = 15 e ncorr = 28, `e mostrata in figura
4.11. Nella figura si `e scelto un numero di punti esiguo, ci`o aiuta a mettere in evidenza alcune propriet`a della griglia.