sezione ristretta
Al fine di caratterizzare le condizioni fluidodinamiche negli stadi 2 e 3 della turbina, e cio`e al termine del distributore, e al termine del tratto senza palette, si devono impostare delle relazioni tra le condizioni geometriche del canale palare, e le condizioni fluidodinamiche di ingresso nella palettatura. Si `e gi`a detto che le condizioni che meglio descrivono il lavoro della palettatura sono quelle nella sezione ristretta. Come si vede dalla figura 3.11 e come risulta intuitivamente ovvio, la sezione ristretta del canale palare `e posizionata mediamente ad un raggio (rth) maggiore del raggio di uscita dalla palettatura r2. Ci si
riferir`a a questo raggio come raggio caratteristico della sezione ristretta.
Si ricorda che per tutti gli sviluppi che seguono, riguardanti questo come gli altri componenti, il fluido di lavoro sar`a approssimato come un gas ideale. Non si far`a cenno ogni volta a questa ipotesi base del modello, di fatto discussa in 7.
Il procedimento di calcolo aerodinamico utilizzato `e basato, come gi`a descritto, su di un modello uni-dimensionale comprimibile. Si considera il flusso, almeno nel modello ideale, come ”pienamente guidato” dalla palettatura e quindi se ne conosce l’angolo di flusso nella sezione ristretta. Tale angolo viene stimato dalla media degli angoli di pala, ai lati del canale, calcolati in luogo della stessa sezione ristretta; uno schema
Figura 3.11: Schema del flusso all’uscita della sezione ristretta del canale del distributore. Viene mostrata la direzione indicativa della velocit`a in uscita, la sezione ristretta e lse stazioni di interesse.
Figura 3.12: Ingrandimento dove si mostrano le direzioni della velocit`a ben guidata ai due lati del canale della sezione ristretta del canale palare. Dalla media di queste si ottiene la direzione media del flusso nella sezione ristretta.
esemplificativo `e mostrato nelle figure 3.11 e 3.12. Chiaramente questo angolo, per le condizioni geometriche solitamente incontrate, `e vicino a β2, ma leggermente pi`u alto.
Come spiegato in Rif.[1] le palettature radiali non sono capaci di ottenere angoli di flusso in uscita uguali (neanche idealmente) agli angoli palari in uscita, questo avviene per motivi sostanzialmente geometrici. Da un punto di vista geometrico ci`o potrebbe avvenire soltanto con un numero di pale infinito.
Le dimensioni della sezione ristretta sono invece date da:
Ath= Omin· b1 (3.21)
dove Omin `e la minima distanza tra due pale successive. Come si intuisce da figura
3.12, la direzione del flusso, stimata nella sezione ristretta, non `e necessariamente nor- male alla sezione ristretta stessa, anche se l’angolo tra la velocit`a media e la normale `e molto basso. Tale angolo viene inficiato con ηth. A questo punto si valutano le condizioni
nella sezione ristretta con un bilancio di massa, tra il flusso nella condizione entrante alla stazione 1, e il flusso nelle sezioni ristrette dei canali palari:
˙
m = 2πρ1U1rr1b1 = NsAthρthUthcosηth (3.22)
In realt`a tale equazione va corretta per inserire l’effetto dello sviluppo di strati limite sulle superfici palari e sui profili di parete laterali. Nell’equazione precedente, valida esclusivamente per una analisi ideale, si inserisce quindi l’effetto viscoso attraverso un fattore di bloccaggio definito come:
∆s=
b1(δSS+ δP S) + 2δEW(Omin− δSS − δP S)
Ath
(3.23) dove δSS, δP S e δEW sono rispettivamente gli spessori di spostamento degli strati
limite sui lati di aspirazione, pressione e pareti laterali del canale palare. Ci sono varie inesattezze, o comunque approssimazioni, nella precedente definizione. Chiaramente ∆s
`e la frazione della sezione ristretta occupata dagli spessori di spostamento, ma questi sono stimati, come si vedr`a in seguito, da un modello del tutto semplificato, e che permette una analisi esclusivamente media su ogni parete presa in considerazione. Inoltre gli spessori vengono definiti normalmente alla superficie cui si riferiscono, e quindi si dovrebbe inserire una correzione angolare per i due strati limite palari, dato che la sezione ristretta non `e esattamente normale alle superfici palari. Tale correzione non solo `e bassa, ma non sembra necessaria visto il carattere di stima della procedura.
Infine il bilancio di massa diventa :
2πρ1U1rr1b1 = NsAthρthUthcosηth(1 − ∆s). (3.24)
In tale equazione tutte le grandezze del membro di sinistra sono note dato che cor- rispondono alle condizioni di uscita dalla voluta, mentre per ci`o che riguarda il membro di destra:
• Uth `e la velocit`a media assoluta nella sezione ristretta, e dipende dalla pressione
totale PT th, temperatura totale TT the numero di Mach Mth nella sezione ristretta.
Di queste TT th `e uguale a quella in ingresso TT 0 per l’adiabaticit`a del processo
• ∆s `e appunto il fattore di bloccaggio, il quale dipende dalle condizioni fluidodina-
miche del canale palare. Quindi, si potr`a stimare solo dopo avere determinato le condizioni di velocit`a nella sezione ristretta. Per fare ci`o, come si descriver`a meglio nel seguito, occorre un procedimento iterativo
• un discorso simile va fatto per la pressione totale nella sezione ristretta, che soltanto in prima approssimazione potrebbe essere stimata uguale a quella nella stazione di ingresso nella palettatura. In realt`a si sono gi`a avute, nel passaggio attraverso la palettatura, perdite per incidenza, perdite viscose e perdite per onde d’urto nel caso di alti numeri di Mach locali. Quindi anche la specificazione di PT th necessita
di un procedimento iterativo
Da quanto detto si capisce che un processo iterativo `e necessario, sino a convergenza, per permettere la determinazione delle grandezze ∆s e PT th. Tali parametri, essenzial-
mente legati ai meccanismi di perdita nel distributore, sono determinati secondo modelli che verranno descritti nei paragrafi seguenti. Per il presente paragrafo tali grandezze si considerano note, e di fatto lo saranno alla prima iterazione del modello, che impone PT th = PT 1 e ∆s = 0. Chiaramente tali parametri verranno modificati da iterazione a
iterazione, man mano che le condizioni fluidodinamiche nel canale verranno determinate, e quindi saranno disponibili stime sempre migliori sino a convergenza.
Dato che la direzione del flusso `e nota, o comunque se ne conosce gi`a una buona stima, si necessita del calcolo del solo numero di Mach nella sezione ristretta. Di tutte le grandezze implicate nel membro di destra, Mth`e l’unica n`e nota n`e stimabile a priori.
Determinata Mthtutte le altre propriet`a termo-fluidodinamiche possono essere calcolate.
Per ricavare il numero di Mach si riscrive l’equazione 3.24 come:
2πρ1U1rr1b1 NsAthcosηth(1 − ∆s) = PT th pRgasTT th/γ Mth(1 + γ − 1 2 M 2 th) (−2(γ−1)γ+1 ) . (3.25)
Nella precedente equazione si considerano ovviamente note le propriet`a specifiche del gas come la costante del gas Rgas e il rapporto dei calori specifici γ. La temperatura
totale TT th`e costante negli statori perch`e si considera il flusso adiabatico mentre la pres-
sione totale, come gi`a detto, viene prescritta tramite un processo iterativo valutando alcune perdite nel canale; ad ogni iterazione pu`o considerarsi nota. Tutti i parametri ca- ratteristici del membro sinistro dell’equazione sono noti, e gi`a descritti precedentemente in questo paragrafo, compreso ∆s, determinato iterativamente. La precedente equazione
permette quindi di ricavare numericamente il valore del numero di M ach nella sezione ristretta.
E infine da Mthpermette quindi di ricavare tutte le altre grandezze di interesse, quali
corrispondono a quanto avviene nelle stazioni 2 e 3, ma sono un primo passo nell’otte- nimento delle informazioni necessarie dal modello. La determinazione di PT th e ∆s ad
ogni passo del procedimento iterativo verr`a descritta nel seguito parlando del modello delle perdite.
3.5.1 Trattamento dei casi con bloccaggio
Specialmente quando si utilizzano rapporti di espansione molto alti, capita spesso di dover affrontare casi in cui il numero di M ach nella sezione ristretta `e unitario. Chia- ramente non potr`a mai essere maggiore di 1, per via della presenza di un condotto esclusivamente convergente. D’altra parte l’equazione 3.25 non si presta a trattare casi con Mth = 1, per il semplice motivo che un flusso bloccato `e per sua natura un flusso
in cui la portata `e limitata dalle condizioni fluidodinamiche bloccate, e dalle dimensioni della sezione ristretta. Ci`o contrasta con l’aver imposto a sinistra delle equazioni 3.22 e 3.25 la portata di disegno, che non tiene conto di questi limiti. Proprio per questo motivo, ad ogni iterazione del calcolo viene confrontata la portata di disegno, con una portata bloccata caratteristica :
˙ mch = NsAthcosηth(1 − ∆s) PT th pRgasTT th/γ (γ + 1 2 ) (−2(γ−1)γ+1 ) (3.26) e cio`e considerando un numero di M ach unitario nella sezione ristretta. Se tale portata bloccata risulta maggiore della portata di disegno, allora la sezione ristretta non `e in condizioni di bloccaggio e Mth ( < 1) viene determinato dalla equazione 3.25
Altrimenti se ˙mch < ˙mdes siamo in condizioni di bloccaggio e quindi il modello impone
Mth= 1 come valore di default per l’iterazione.
Nonostante la semplicit`a di tale scelta condizionale, la questione `e pi`u complessa, perch`e ora il calcolo riporta una portata inferiore a quella di disegno, che costituisce un requisito di progetto imposto dall’utente. I casi bloccati non si possono d’altra parte scartare, perch`e sono caratterizzati proprio dai prerequisiti giusti per ottenere una alta estrazione di potenza, e cio`e alte velocit`a in uscita dagli statori. La prima idea `e quindi di accettare tali configurazioni quando la portata bloccata, seppur inferiore rispetto a
˙
mdes, sia superiore ad una certa soglia. Si `e usato nel metodo ˙msoglia = 0.98 ˙mdes. Tale
condizione permette alla portata bloccata di non allontanarsi troppo dalle prescrizioni di progetto, e quindi di accettare configurazioni comunque soddisfacenti. A questo punto sono possibili varie strategie, tra le quali intensificare la ricerca della configurazione ottimale, la quale tender`a naturalmente verso valori pi`u alti possibile della potenza e quindi di ˙mch, e di fatto selezioner`a naturalmente portate bloccate pi`u alte possibile.
Altra via `e restringere la soglia accettabile di portata, ad esempio ˙mch > 0.99 ˙mdes,
e allo stesso tempo intensificare la griglia di ottimizzazione. Oppure infine modificare leggermente b1, basterebbe una correzione di meno del 2% per rientrare sulla portata
prescritta da progetto. Per ora, in tutti i casi di portata bloccata studiati, la distanza tra questa e quella di progetto, al termine dell’ottimizzazione, si `e dimostrata irrisoria, e quindi non si sono messe in atto particolari strategie.
Altre considerazioni devono essere fatte per la geometria della voluta, e per le con- dizioni in ingresso al distributore. Queste infatti erano state calcolate sulla base di una portata pari a quella di disegno, e non per quella bloccata. Tale problematica `e me- no grave della precedente, e questo perch`e piccole modifiche della voluta permettono di ottenere stesse condizioni fluidodinamiche allo stadio 1, ma con la portata ˙mch an-
zich`e relativamente alla ˙mdes. Di fatto queste modifiche sono modeste, dato che l’angolo
di flusso allo stadio 1, cos`ı come spiegato in sezione 2.3, non dipende dalla portata in ingresso; invece U1 e PT 1 dipendono, seppur debolmente, da ˙m.
In generale le condizioni bloccate richiedono un’attenzione particolare, e il modello non si comporta automaticamente e linearmente come nei casi non bloccati. L’utente deve infatti prestare attenzione ai valori di portata bloccata ottenuti dal modello, e a posteriori valutare se modificare leggermente la forma della voluta, o la portata in ingresso ˙mdes.
Questo punto del metodo che si sta descrivendo, merita probabilmente ulteriore stu- dio, e potrebbe essere sviluppato in modo migliore. Alcune idee sono gi`a state delineate a rigurdo, ad esempio imporre, nei casi in cui `e molto alto il rapporto di pressione, che il Mach nella sezione ristretta sia necessariamente unitario. Questo vincolo, a cui tende- rebbe comunque il processo di ottimizzazione, potrebbe essere utilizzato per determinare automaticamente uno dei parametri liberi sin ora definiti, e quindi snellire il processo di ottimizzazione.
Nonostante le idee e le possibili strategie da applicare, il metodo, per come `e stato qui descritto, si `e comportato molto bene anche nel caso di flussi bloccati. Qualche riserva pu`o essere delineata nella capacit`a di un utente che non abbia progettato o studiato il metodo, e quindi ne conosce solo i programmi esterni, nel capire ed interpretare queste situazioni ”anomale”. Sviluppi futuri della procedura dovrebbero di sicuro rivedere meglio queste situazioni particolari.