Definizione della geometria della superficie palare

La forma della pala `e l’aspetto geometrico pi`u importante della modellazione rotorica, infatti ha conseguenze dirette sul il comportamento del flusso e sull’estrazione di potenza. Ad esempio la forma palare influenza i gradienti di pressione nel rotore, ed alcune forme palari risultano migliori di altre nel garantire distribuzioni graduali di pressione. Come si vedr`a in seguito questi aspetti sono strettamente legati ai fenomeni di separazione; se la forma palare risulta benefica nel rendere i gradienti di pressione contenuti, si potranno aspettare delle prestazioni superiori dalla turbina. Per questi motivi il disegno delle pale deve essere il pi`u accurato possibile.

La pala `e una superficie tridimensionale descrivibile da una espressione del tipo: ΘR= ΘR(r; z) = ΘR(m; n) = ΘR(m; ξ) (4.41)

in cui ai punti del piano meridionale si fa corrispondere una coordinata azimutale che indichi la posizione della superficie palare stessa (in un riferimento cilindrico relativo al rotore; vedi figura 4.15). Per il presente modello il dominio del piano (r; z) corrispon- dente alla pala occupa una zona meridionale del rotore di fatto coincidente con il canale meridionale. Uniche eccezioni sono la presenza di una spaziatura tra pala rotorica e su- perficie esterna del canale rotorico (detta solitamente ”clearance”) e l’eventuale presenza di ”splitter blades”.

La spaziatura tra la pala rotante, e superficie esterna di estremit`a del canale sar`a necessaria perch`e si considerano rotori cosiddetti ”unshrouded”. Questo aspetto, di fatto tecnologico del progetto, verr`a trattato quando si parler`a delle perdite connesse alla presenza di una spaziatura (vedi 5.2). Per tutto il procedimento che segue la pala `e considerata ideale e quindi la sua estremit`a superiore (tip) coincider`a con il profilo esterno di estremit`a del canale palare.

In Appendice B si affronter`a il problema di considerare la presenza delle cosiddette ”splitter blades”, di cui si `e parlato ad inizio capitolo. In tal caso il dominio meridionale cui si associa l’angolo di pala ΘR sar`a inferiore al dominio corrispondente al canale

rotorico, e quindi al dominio definito dalla griglia meridionale. Si vedr`a quindi che tipo di sottoinsieme considerare per definire le pale ”splitter”. Per tutto il resto dello svolgimento, fin quando non diversamente specificato, si considera la superficie palare come presente in tutti i punti del canale meridionale: la radice di pala corrisponde alle coordinate meridionali del mozzo del rotore, mentre l’estremit`a della pala, al profilo esterno del canale meridionale.

Il motivo per cui non si `e fatta una scelta differente da quella prescritta `e che non se ne vede il motivo. Si desidera infatti sfruttare tutta la zona del canale meridionale con l’obbiettivo si estrarre potenza dal flusso attraverso le superfici palari. Come gi`a detto l’eventualit`a di utilizzare ”splitter blades” `e considerata a parte. La stessa scelta `e stata effettuata da tutti e tre i modelli presentati nell’introduzione.

Prima di passare alla descrizione della procedura di disegno utilizzata, si prendono in rassegna le tecniche adottate dai tre metodi di progetto esposti nella sezione 1.3. I metodi differiscono infatti per il modo in cui, ad ogni coordinata del canale meridionale,

viene associata la coordinata azimutale della superficie palare (in un riferimento cilindri- co relativo al rotore). La tecnica con cui questa operazione viene effettuata caratterizza in pieno la forma della pala e influenza direttamente la complessit`a del modello stesso; infatti la pala `e una superficie tridimensionale, e in tale accezione `e caratterizzata da ∞2 <sub>gradi di libert`a. Ogni procedura di disegno riduce la complessit`a geometrica della</sub>

pala tanto quanto basta per permettere al modello stesso di valutare l’efficacia di diverse geometrie. Da tale considerazione si capisce come sia molto complesso valutare, attra- verso un metodo di ordine ridotto, quale sia la forma ottima; inoltre si intuisce quanto sia necessario un bilanciamento tra complessit`a della geometria considerata e le capacit`a di analisi fluidodinamica. I modelli descritti in precedenza affrontano questo proble- ma in modi molto diversi, ed infatti, come descritto nell’introduzione, la complessit`a matematica delle procedure di analisi utilizzate stanno su livelli diversi.

Il metodo sviluppato da Aungier, definisce le coordinate azimutali della forma della pala per i punti palari corrispondenti al profilo di mozzo e di estremit`a. Tali profili sono identificati in un riferimento ξ, m con le coordinate trasversali rispettivamente ξ = 0 e ξ = ξmax, per ogni segmento trasversale di una griglia meridionale analoga a quella

determinata in sezione 4.3.1 (la procedura di determinazione della griglia nel presente lavoro `e stata infatti ripresa da Rif.[1]). Il metodo di Aungier definisce le funzioni:

ΘH(m) = Θ(m; ξ = 0) e ΘS(m) = Θ(m; ξ = ξmax) (4.42)

facendo corrispondere ai punti del profilo al mozzo e all’estremit`a due curve tridi- mensionali ΘH e ΘS. Tali curve vengono definite utilizzando delle funzioni polinomiali, e

ottenendo i coefficienti polinomiali a partire da considerazioni fluidodinamiche all’ingres- so e all’ uscita del canale rotorico. Una volta che questa due funzioni sono determinate in modo analitico, la forma completa della pala viene determinata unendo le due curve tridimensionali ΘH e ΘS con segmenti rettilinei, passanti per punti delle curve corri-

spondenti allo stesso segmento trasversale della griglia meridionale. Tale procedura, descritta in Rif.[1] e [9], permette di ottenere delle pale cosiddette dritte. Il metodo `e molto semplice, e permette di ottenere delle forme palari classiche diffusamente utilizzate nelle applicazioni (ad esempio quelle in figura 4.2). Tuttavia nel riferimento [11] si spiega come una forma dritta non `e necessariamente ottima, n`e vicina ad una forma ottima, e andrebbero valutate altre configurazioni, realmente tridimensionali, per incrementare le prestazioni. Quest’ultimo `e tra gli obbiettivi della presente tesi.

Per quanto riguarda il modello per pompe spaziali sviluppato ad Alta S.P.A., la forma palare `e ottenuta come:

ΘR= Θ 0 − Z z z1 2π PH dz − ln r rbs tanχ (4.43)

dove PH `e il pitch azimutale, funzione della coordinata z, e χ `e l’angolo di ”back-

sweep”, anch’esso funzione della coordinata z; mentre Θ0 `e un angolo costante di riferi- mento. Per il resto r e z sono le coordinate radiale ed assiale nel riferimento cilindrico, rbs `e un raggio di riferimento e z1 `e la coordinata assiale di ingresso nella pompa (per

dettagli vedi [3]). Si sono gi`a descritte queste grandezze parlando del rispettivo meto- do nell’introduzione. Tale formulazione consente di ottenere una forma tridimensionale della pala; di fatto la funzione PH viene prescritta dal modello, mentre la distribuzione

di χ `e ricavata dalle equazioni fluidodinamiche una volta imposto PH(z). Il vantaggio

di questa strategia `e che la forma `e tridimensionale, ed ottenuta da una combinazione di prescrizioni favorevoli su PH(z), e implicazioni analitiche fluidodinamiche. Il proce-

dimento fluidodinamico con cui si deriva la distribuzione di χ `e basato sulle equazioni 1.7 e 1.8. Si tratta quindi di una procedura automatica basata sul modello potenziale idrodinamico.

Il terzo modello descritto nell’introduzione, basa tutta la strategia sull’ottenimento della forma palare, a partire dalle equazioni fluidodinamiche comprimibili (ed ideali). Come gi`a detto il metodo si rivela troppo complesso per poter essere utilizzato in un modello di ordine ridotto. Questo `e effettivamente capace di far corrispondere una superficie tridimensionale ad una prescrizione favorevole del lavoro fatto dalla pala stessa, attraverso la imposizione del cosiddetto ”swirl schedule” (vedi sezione 1.3).

Nella presente tesi la forma palare `e stata ottenuta dalle condizioni fluidodinamiche imposte all’ingresso e all’uscita del rotore; in un modo concettualmente simile a quanto fatto nel modello sviluppato da Aungier. Tuttavia per considerare delle forme realmente tridimensionali non si parte dall’ottenimento delle due curve estreme della pala, da unire poi con un segmento rettilineo. Si sceglie invece di definire la pala attraverso delle for- me polinomiali per coordinate trasversali adimensionalizzate fisse. Cio`e, considerando la griglia prima definita, si definisce una funzione polinomiale ΘRη della sola coordi-

nata meridionale, per ogni profilo meridionale considerato nella griglia. Al posto della coordinata trasversale si utilizza quindi:

η = ξ

ξmax(mH)

(4.44) con cui, per ogni segmento trasversale del canale meridionale (sistema ξ − m), si definisce una coordinata trasversale normalizzata con ξmax(mH), corrispondente alla

lunghezza del segmento trasversale considerato. Per fare questo deve essere identificato il segmento trasversale che si considera, ed infatti mH `e la coordinata meridionale dei

punti della griglia sul sul profilo di mozzo del canale meridionale. Da ognuno di questi punti parte infatti un segmento trasversale.

Per semplicit`a della procedura matematica, al posto di m viene definita una coordi- nata adimensionale normalizzata, espressamente:

ζ = m

mmax(ξ0)

(4.45) Quindi, per ogni profilo meridionale che si considera, corrispondente ad una partico- lare coordinata trasversale nella stazione di ingresso (ξ0 oppure il valore di η corrispon-

dente), si riesce a definire la coordinata meridionale adimensionalizzata ζ, attraverso il rapporto con la lunghezza del profilo meridionale mmax(ξ0).

Il procedimento appena descritto pu`o essere ripetuto, per chiarezza di esposizione, nel passare da un punto della griglia di coordinate (m; ξ) alle coordinate adimensiona-

Figura 4.15: Esempio di pala rotorica ottenuta con le prescrizione del modello.

lizzate appena definite. Infatti basta identificare il segmento trasversale e il profilo meridionale passanti dal punto; quindi calcolare la lunghezza del profilo meridiona- le mmax(ξ0) e la lunghezza del segmento trasversale ξmax(m0) e cos`ı determinare le

coordinate adimensionali attraverso le equazioni 4.44 e 4.45.

Una volta definite questa coordinate meridionali adimensionalizzate, la pala viene matematicamente definita attraverso la determinazione della funzione:

ΘRη = ΘR(ζ; η = costante) = s0+ s1· ζ + s2· ζ2+ s3· ζ3+ s4· ζ4+ s5· ζ5 (4.46)

La determinazione dei 6 coefficienti polinomiali, per ogni profilo meridionale conside- rato, genera la definizione della geometria della superficie palare numericamente, come un insieme di curve tridimensionali ΘRη. Tuttavia l’approccio cos`ı delineato, che da un

punto di vista numerico viene condotto per ogni profilo meridionale del canale palare, pu`o essere svolto in forma del tutto generale. Questo `e permesso anche dall’aver espres- so le coordinate meridionale e trasversale in forma adimensionale. Quindi non si ha il bisogno di considerare i soli punti della griglia, ma pu`o essere considerato un qualsiasi punto del dominio meridionale considerato. Infatti nel seguito ci si dimentica dei seg- menti trasversali e dei profili meridionali, mentre ci si concentra sulla superficie nel suo insieme, e nelle coordinate η e ζ. La procedura esposta permette di determinare una superficie geometrica tridimensionale completa attraverso la funzione:

ΘR= ΘR(ζ; η) (4.47)

Per determinare la forma della pala devono essere espresse di fatto sei condizioni matematiche per determinare i sei coefficienti polinomiali. Questo, da un punto di vista analitico, corrisponde a dover determinare i coefficienti del polinomio come funzioni del tipo:

si= si(η) (4.48)

dove ci si riferisce concettualmente alla coordinata η, e non ad un profilo meridio- nale. Di seguito si elencano le sei condizioni matematiche da imporre; queste implicano direttamente le condizioni imposte per gli nstr profili meridionali considerati dal metodo

numerico e analogamente per qualsiasi profilo meridionale identificato dalla coordinata η = cost.

1. la pala ha una forma dritta e radiale all’ingresso del rotore, come spiegato pi`u volte durante l’esposizione. Considerando il flusso che proviene dagli statori, e quindi assialsimmetrico per il modello descritto in 3, non avrebbe alcun senso posizionare il bordo d’attacco a coordinate azimutali diverse. Quindi per ogni pala, e per tutte le coordinate trasversali adimensionali η (queste all’ingresso coincidono con le coordinate z del sistema di riferimento cilindrico), l’angolo azimutale di ingresso `e costante:

ΘR(ζ = 0; η) = Θ0.

Chiaramente quest’angolo differisce da pala a pala; in figura 4.15 si nota un esempio di pala con Θ0 = 0

2. come detto al punto 1 la pala `e radiale in ingresso. Questo significa che si com- porta, solo all’ingresso, come un segmento rettilineo con direzione uscente dall’asse del sistema di riferimento cilindrico. Da un punto di vista matematico questo cor- risponde a dire, per tutte le coordinate adimensionali trasversali all’ingresso del rotore, che: ∂ΘR ∂ζ (ζ = 0; η) = ∂r ∂ζ · ∂ΘR ∂r (r = r3; z) = 0.

In questa espressione si sono utilizzate due forme di derivata, e il motivo per cui vale questa relazione `e chiaro dall’orientamento tra i due sistemi di riferimento all’ingresso del rotore (vedi figura 4.14)

3. per la terza condizione da applicare all’ingresso del rotore, si prescrive che le de- rivate seconde dell’angolo ΘR al variare della coordinata meridionale siano nulle.

Questa richiesta di curvatura nulla in ingresso, permette alla pala di lavorare in modo pi`u graduale sul flusso. Ci`o deriva dal fatto che alla curvatura palare sono associati come sempre dei gradienti di pressione. Se si fa variare gradualmente tale curvatura, a partire da un valore nullo, a ci`o corrispondono dei gradienti di pressio- ne graduali, i quali sono positivi dal punto di vista del comportamento complessivo. In termini analitici:

∂2ΘR

∂ζ2 (ζ = 0; η) = 0

4. passando alle condizioni da imporre all’uscita dal rotore, si ricorda che la direzione del flusso relativo in uscita, rispetto alla direzione assiale, era gi`a stata calcolata in sezione 4.2.3. Questa corrispondeva alla conoscenza dell’angolo di flusso relativo

β4(r4) in funzione del raggio della striscia di flusso in uscita. La condizione `e imposta attraverso: r · ∂ζ ∂z · ∂ΘR ∂ζ (ζ = 1; η) = r · ∂ΘR ∂z (ζ = r3− Ls− rH4; r) = tanβ4(r)

dove nel primo membro dell’equazione `e necessaria la presenza di una derivata par- ziale di ζ in z, innanzi tutto per motivi dimensionali. La condizione appena scritta definisce la direzione delle pale in uscita, rispetto alla direzione assiale. Il motivo per cui si pu`o passare agilmente da un sistema di coordinate all’altro deriva dal fatto che in uscita l’asse m `e orientato come z e l’asse ξ `e orientato come r. Questa prescrizione `e chiaramente la pi`u importante per permettere che il flusso abbia in uscita proprio quella direzione relativa che permetta di annullare la componente azimutale del flusso assoluto. L’informazione sulla direzione `e presa come detto dall’analisi delle condizioni di uscita dal rotore (vedi 4.2.3). Si ripete per chiarezza che questa condizione sfrutta la conoscenza approssimata della direzione del flusso all’uscita β4(r) per ottenere la forma della pala rotorica. Questa forma permet-

ter`a di calcolare l’inclinazione palare βB, che in uscita dal rotore sar`a identica alla

β4(r), anche se si tratta di due grandezze concettualmente diverse

5. inoltre, allo stesso modo di quanto prescritto per la superficie all’ingresso della pa- lettatura, si desidera che la curvatura palare sia nulla in uscita. Questa condizione aiuta nella ricerca di una geometria pi`u regolare possibile della superficie palare e ci`o ha riscontri sulla regolarit`a del flusso. In termini analitici si ha:

∂2ζ ∂z2 · ∂2ΘR ∂ζ2 (ζ = 1; η) = ∂2ΘR ∂z2 (ζ = r3− Ls− rH4; r) = 0

Questa condizione non risulta strettamente essenziale per il funzionamento del modello. Si sono per`o svolte delle campagne di di simulazioni con o senza questa condizione e il risultato ha premiato la scelta di regolarit`a associata alla condizione cinque

6. per completare le condizioni necessarie si richiede una ultima prescrizione sulla forma delle pale. In particolare `e necessario descrivere quale sia la forma della pala all’uscita del rotore. Senza questa condizione il metodo non differirebbe in modo sostanziale dal metodo esposto in Rif.[1]. Si richiede invece che la forma della paletta sia effettivamente tridimensionale, e per fare questo si richiede una forma in uscita che dia una impronta di tridimensionalit`a. La forma in uscita viene infatti definita da:

ΘR(ζ = 1; η) = ΘRH4− χ ln

r rH4

dove ΘRH4 `e l’angolo azimutale che definisce la posizione della pala in corrispon-

denza del profilo al mozzo del rotore. Mentre il secondo contributo dell’equazione corrisponde ad una forma palare di tipo ”backsweep” come descritto e utilizzato

Figura 4.16: Distribuzione degli angoli di pala al variare della percentuale della coordinata meridionale e del profilo meridionale considerato, dal mozzo al profilo esterno. In questa figura si mostra un caso scartato dal modello perch`e caratterizzato da doppia curvatura.

servono due parametri: ΘRH4 e χ. Il secondo di questi parametri `e definito come

parametro libero del modello, e va quindi a costituire l’ottavo parametro libero. Tale scelta richiede al modello di selezionare il valore ottimo (o quasi-ottimo) del- l’angolo di ”backsweep”; quindi di determinare quale forma di pala tridimensionale sia preferibile per il caso applicativo. Il parametro ΘRH4 viene determinato invece

da un procedimento iterativo come:

ΘRH4 = Θ0− ∆Θ.

Il modello sceglie automaticamente il valore minimo di escursione angolare ∆Θ della pala per il profilo al mozzo, in modo da evitare pale in cui si abbiano doppie curvature. Il procedimento imposta infatti un valore iniziale di ∆Θ = 5◦, e valuta se le palette ottenute siano caratterizzate o meno da doppia curvatura. Se la palet- ta `e caratterizzata da doppia curvatura il valore di ∆Θ viene incrementato sino ad eliminare la doppia curvatura; attraverso un procedimento iterativo. In realt`a si vuole evitare che i polinomi definiti tramite questa sei condizioni non abbiano una doppia curvatura, il che comporterebbe avere una parte del carico aerodinamico della palette contrario al senso di rotazione del rotore. Un esempio di pala con cur- vatura doppia ( e quindi da scartare), `e espressa in figura 4.16. Il modello seleziona automaticamente il valore minimo di ∆Θ all’interno dell’intervallo [−10 ÷ 85◦]; se non si ottiene pala con singola curvatura in questo range, allora la configurazione di rotore associata ai parametri liberi analizzati viene scartata.

L’insieme delle sei condizioni espresse permette di definire in modo automatico la forma palare, a partire dalle condizioni di ingresso ed uscita dalla paletta. In realt`a l’unica informazione veramente utilizzata `e β4(r4), mentre per il resto si utilizza l’infor-

Figura 4.17: Figura de tutto analoga alla 4.16 ma corrispondentemente ad un caso accettato dal modello, perch`e a singola curvatura.

all’angolo χ e all’escursione dei raggi rH4− rS4. Tale informazione `e assolutamente es-

senziale per permettere di analizzare gli effetti della tridimensionalit`a delle palette sul processo di ottimizzazione. Per il momento si sceglie di utilizzare una forma di uscita di tipo ”back-sweep” ma, per come `e impostato il metodo, palette dritte, paraboliche o di forme ancora diverse sono semplicemente analizzabili; basta sostituire la funzione dipendente dal raggio nell’equazione esposta al punto 6 delle condizioni. Le condizioni sono state espresse in forma generale, all’ingresso e all’uscita, al variare della coordina- ta adimensionale trasversale η. Dal punto di vista numerico dei programmi sviluppati le condizioni vengono imposte, assolutamente con le stesse modalit`a, su ogni profilo meridionale definito assieme alla griglia meridionale.

Nelle figure 4.17 e 4.16 si mostra la distribuzione degli angoli di pala al variare della percentuale della coordinata meridionale. Inoltre si analizzano le diverse strisce di flusso. In figura 4.16 si analizza un caso scartato dal modello per via della presenza della doppia curvatura. Si nota come in uscita, e cio`e per una percentuale di coordinata meridionale pari a 100, gli angoli di pala siano differenti, ci`o `e dovuto alla condizione numero 6 di quelle ora elencate, e cio`e alla prescrizione dell’angolo di ”backsweep”. All’ingresso del rotore invece si ha una coordinata azimutale costante, pari a π/2, per entrambe le figure. Ci`o `e dovuto alla condizione numero 1 imposta dal modello. Di fatto per tutti i profili meridionali in ingresso (quindi al variare di η) si ha la stessa coordinata azimutale di pala. In generale tutte le curve diverse rappresentano le funzioni ΘRη che sono alla base

del modello esposto sin ora.

In figura 4.15 si mostra un esempio di pala ottenuta dal presente modello; in parti- colare una vista del piano r, ϑ del sistema cilindrico rotorico. Il sistema di riferimento angolare `e lo stesso utilizzato nella procedura presentata. Di fatto le curve individua- no la pala attraverso le distribuzioni Rg, ΘRη sul piano, per tutti i punti della griglia

meridionale. I profili mostrati in rosso corrispondono alle estremit`a della pala, sul moz- zo e sul profilo esterno. Nell’ingrandimento si vuole invece mostrare la forma di tipo

”back-sweep” della pala in uscita dal rotore.

Dalla definizione della geometria della superficie palare cos`ı ottenuta si possono estrarre alcune informazioni principali, ed essenziali per gli sviluppi che seguono. La pi`u importante `e sicuramente il cosiddetto angolo palare meridionale. Si consideri un profilo meridionale, e il cilindro definito utilizzando come generatrice tale profilo. Dal- l’intersezione tra cilindro e superficie palare si ottiene una curva tridimensionale, ap- prossimativamente corrispondente con una linea di corrente relativa, posizionata sulla superficie palare stessa. L’angolo tra tale curva tridimensionale e il piano meridionale locale `e detto ”angolo palare meridionale”. Chiaramente tale definizione `e esplicabile per ogni striscia di flusso, e per ogni coordinata meridionale sulla striscia di flusso, quindi per ogni combinazione delle coordinate (m; ξ). Per come `e stato definito, l’angolo palare meridionale pu`o essere ottenuto come:

tanβB(m; ξ) =

r∂Θ

∂m. (4.49)

Tale equazione viene utilizzata per ottenere direttamente la distribuzione dell’angolo