Riassumendo, il modello sviluppato per la voluta permette di ricostruire, a partire da semplici equazioni integrali, la forma tridimensionale della voluta e le condizioni del flusso in uscita.
Nel programma sviluppato sulla base del modello, si chiede all’utente di scegliere il tipo di voluta che si vuole considerare nel progetto, e in casi di voluta ellittica, il rapporto tra i semiassi.
A questo punto, per ogni configurazione di turbina analizzata dall’ algoritmo di ottimizzazione, occorre conoscere i seguenti parametri:
1. r1 : raggio del canale anulare di uscita dalla voluta
2. b1 : spessore assiale del canale anulare di uscita dalla voluta
3. Re(ϑ = 0) : raggio esterno massimo della voluta, calcolato per la sezione di ingresso
della stessa.
A partire da queste informazioni si riesce a ricavare tutto il resto, e quindi condizioni di uscita, perdite, geometrie ecc. L’analisi, una volta implementata nel programma, non si limit`a per`o a tali speculazioni. Infatti, in maniera da velocizzare l’algoritmo di ottimizzione, si utilizzano dei vincoli interni al programma, che insistono su informazioni ottenute dal modello della voluta.
Ad esempio, se il calcolo riporta un numero di Mach superiore ad una certa soglia, la configurazione `e automaticamente scartata, le perdite e le condizioni di flusso in uscita sarebbero incompatibili con l’ottimizzazione. Altro vincolo riguarda la limitazione che Re(0) < Rmax per evitare il superamento di ingombri del progetto. L’intero programma,
e non solo la voluta, `e disseminato di prescrizioni e vincoli del genere, che aiutano il metodo nel dirigersi pi`u rapidamente e coerentemente verso l’ottimo.
Per ci`o che riguarda gli ulteriori sviluppi relativi alla modellazione della voluta, di sicuro il passo successivo sta in un pi`u realistico computo delle perdite. Questo porte- rebbe a migliorare le stime di efficienza della macchina, e sarebbe indispensabile se si intendesse affrontare l’analisi delle prestazioni fuori disegno.
Capitolo 3
Analisi e modello del distributore
radiale
In questo capitolo verranno descritte le relazioni e i ragionamenti che permettono di definire la geometria del distributore e le condizioni nelle varie stazioni di interesse. Du- rante la descrizione della procedura verr`a utilizzato un ragionamento del tutto deduttivo. Si vuole mettere per`o in luce che l’obbiettivo del metodo di ordine ridotto `e quello di isolare dei parametri, detti parametri liberi. Durante la descrizione del procedimento che segue questi verranno scoperti man mano e definiti. Si tratta di informazioni non note, senza le quali non si pu`o completare il procedimento, e dalle quali dipende la scelta della configurazione finale, cio`e ottima. Questa `e ottenuta trovando la combinazione di variabili libere che corrisponde ad una potenza estratta massima. Verranno dedicati dei capitoli della tesi al modo di sfruttare le relazioni del modello all’interno del processo di ottimizzazione; ma si desidera ricordare, di tanto in tanto, il vero scopo di queste relazioni. Durante la descrizione del modello si sottintender`a spesso l’utilit`a vera di tali parametri; come verr`a pi`u volte detto, la conoscenza di questi parametri permette di definire l’intera geometria della turbina radiale, di vagliare l’accettabilit`a della soluzio- ne e di calcolare la potenza estratta dalla turbina. Nell’algoritmo di ottimizzazione si confronteranno moltissime di queste combinazioni, per ognuna le relazioni del modello fanno corrispondere una geometria completa da analizzare e valutare. Quindi ogni volta che si presenter`a un parametro libero, sar`a una informazione mancante nella procedura deduttiva, ma dal punto di vista dell’algoritmo sar`a un parametro in pi`u da sfruttare per cercare la soluzione ottima.
3.1
Generalit`a sulla palettatura radiale
La funzione dei distributori radiali, come gi`a accennato nell’introduzione, `e quella di ac- celerare il flusso proveniente dalla voluta e aumentarne il momento angolare. In sostanza la palettatura che costituisce il distributore, sfrutta il proprio carico aerodinamico per deviare il flusso, aumentandone la componente azimutale. Il flusso esce quindi dal di- stributore dopo essersi espanso, ed aver acquisito un momento angolare tale che si possa
Figura 3.1: Esempio di stadio di distribuzione ottenuto dal metodo. Vengono indicate le diverse stazioni dello stadio di distribuzione.
estrarre adeguatamente potenza tramite il rotore. La formula di Eulero riportata in sezione 1.3, permette di intuire esattamente questo concetto, infatti la potenza estratta `e vincolata al momento angolare sviluppato nei componenti che precedono il rotore.
In figura 3.1 `e mostrato un esempio di palettatura radiale. Nel proseguo della de- scrizione di questo modello, si indicheranno con il pedice 1 tutte le grandezze relative all’ingresso della palettatura, con 2 tutte le grandezze relative alla stazione di uscita, e con il pedice 3 tutte le grandezze relative all’ingresso nel rotore. Si ricorda infatti che tra distributore e rotore `e presente un tratto senza palette, sulla cui utilit`a si tor- ner`a in seguito. I dati principali dello stadio di distribuzione sono appunto le condizioni termo-fluidodinamiche all’ingresso e all’uscita (stazioni 1 e 3). Le condizioni di ingres- so sono note completamente dall’analisi del flusso nella voluta. Il modello deve quindi determinare :
1. direzione del flusso in ingresso nel rotore : α3
2. velocit`a del flusso in ingresso : Ur3, Vϑ3
3. pressione totale in ingresso nel rotore : PT 3
4. dimensioni, orientazione, geometria della singola paletta 5. numero di palette
Le condizioni alla stazione 3 risultano principali per il progetto, dato che saranno alla base della modellazione del rotore della turbina. Le condizioni di cui si parla riguardano
alla stazione 2 perch`e il tratto senza palette modifica le caratteristiche fluidodinamiche attraverso una espansione aggiuntiva. Tuttavia anche le condizioni all’uscita della pa- lettatura e nella sezione ristretta dei canali palari assmeranno grande importanza per lo sviluppo del modello.
In figura 3.1 ci si riferisce al tratto senza palette, come segmento tra stazioni 2 e 3. Gli scopi del tratto senza palette sono:
• separare la sezione statorica dalla sezione rotorica
• permettere alle scie provenienti dalle palettature di rimescolarsi parzialmente • fornire una condizione di sicurezza, rispetto a possibili impatti per vibrazioni o
spostamenti del rotore
• ridurre le fonti di generazione del rumore
Il modello impone, come consigliato da Aungier [9], di lasciare uno spazio senza palette di spessore pari al 5% del raggio della stazione 2 (r2), quindi si impone r3 =
0.95 r2.
Tornando alle informazioni che il modello deve determinare, saranno molto impor- tanti quelle alla stazione 2 e alla stazione th, coincidente con la sezione ristretta dei canali palari (vedi figura 3.1). Altre grandezze fuidodinamiche ottenute dal modello saranno:
1. direzione del flusso : α2, αth
2. velocit`a del flusso : Ur2, Vϑ2, Urth, Vϑth
3. pressione totale : PT 2, PT th
Palettatura e canale radiale verranno descritti assieme, data la consecutivit`a dei due tratti della turbina; si parler`a complessivamente di stadio di distribuzione.
In figura 3.2 si osserva una vista meridionale della voluta (ellittica esterna) e della pa- lettatura. Si vuole infatti specificare che in questo modello, cos`ı come nella maggioranza dei casi, si considerano spessori assiali della palettatura costanti. Spessori non costanti b = b(r), ad esempio con una diminuzione dello spessore al diminuire del raggio, non sono solitamente utili. Il motivo `e che aumentano la componente radiale della velocit`a (Ur3), mentre invece la potenza estratta `e associata alla componente azimutale (Vϑ3).
La procedura fissa sempre uno spessore costante:
b1= b2= b3 = b(r) = cost (3.1)
Inoltre, come si vede dalla figura 3.2, l’intero tratto da 1 a 3 viene sempre considerato come delimitato da due pareti solide verticali. Questo nonostante le volute imponga- no una componente media assiale al flusso. In alcuni casi, specialmente in applicazioni idrauliche, b `e comunque considerata costante ma le pareti sono inclinate per assecon- dare la componente assiale del flusso. In questo caso, trattandosi di un gas, si preferisce
Figura 3.2: Sezione meridionale dello stadio di distribuzione. Indicazione dei raggi e delle stazioni 1,2 e 3 del componente.
utilizzare delle pareti verticali; infatti un gas riesce pi`u facilmente ad adattarsi a questo tipo di imposizione geometrica con perdite contenute. Si pensi infatti ad una voluta ca- ratterizzta da un fusso con componente di velocit`a assiale medio non nullo; come detto tale contributo sar`a comunque molto piccolo. Imporre al flusso un canale di distributore radiale significa prescrivere una curvatura repentina alla direzione di velocit`a. Le perdite associate saranno connesse all’energia cinetica legata al componente assiale, necessaria- mente annullato tramite l’imposizione di pareti verticali. Data la bassa densit`a del gas, e la piccola componente assiale della velocit`a, tale perdita risulta irrisoria (lo stesso non potrebbe essere detto per un liquido data l’alta densit`a).
Nel modello non sono state prese in considerazione configurazioni senza palettatura radiale, principalmente per motivi di utilit`a del componente ”distributore” sul funziona- mento dell’intera turbina, gi`a discussi in sezione 2.1. Inoltre il modello non individua un particolare range di rapporti di espansione, ma i rapporti tra 1.5 e 3 sono sicuramente i pi`u utili dal punto di vista applicativo. Per questo range l’utilizzo di una palettatura radiale `e la norma.
Per ci`o che riguarda la schematizzazione del flusso nella palettatura, il primo ob- biettivo `e la semplificazione; infatti non si intende ricavare pi`u informazioni di quante il modello non possa apprezzare nell’operazione di selezione. Di sicuro, una descrizione bidimensionale del flusso sarebbe pi`u veritiera e realistica, ma il vero obbiettivo della palettatura `e quello di ottenere una deviazione ed una accelerazione media del flusso. Per un modello di ordine ridotto questo tipo di analisi sulla palettatura risulta pi`u che sufficiente, e permette di ottenere quelle informazioni medie necessarie per modellare il
rotore. Infatti le propriet`a fluidodinamiche medie in uscita (stazione 3) sono le uniche in- formazioni che il modello riesce ad apprezzare. Un’analisi di ordine superiore fornirebbe delle informazioni aggiuntive (ad esempio distribuzioni azimutali non assialsimmetriche in 3) che il modello complessivo non riuscirebbe a sfruttare efficacemente. Analisi di ordine superiore sulla palettatura possono essere previste a posteriori del modello per definire la la configurazione finale.
Per i motivi riportati, si preferisce un modello comprimibile e quasi uni-dimensionale. La direzione del flusso stimata `e quella ben guidata dalla palettatura. Le deviazioni da questa condizione vengono ritenute molto basse, perch`e il flusso `e accelerante e perch`e il carico aerodinamico su ogni paletta verr`a opportunamente controllato e limitato dal modello. La velocit`a e le condizioni termo-fluidodinamiche sono invece stimate attraverso le aree delle sezioni di passaggio, e quindi si considera una espansione comprimibile del flusso trattata attraverso la legge delle aree. In particolare per le condizioni di uscita si analizzer`a la sezione ristretta.
A questo modello si sovrapporr`a una stima delle perdite che tenga conto delle azioni viscose, dell’incidenza, delle onde d’urto all’interno del canale e delle condizioni di uscita e rimescolamento dalla palettatura. I modelli di analisi utilizzano spesso delle correla- zioni come strumenti per trattare le perdite. In questo caso, trattandosi di un metodo progettuale, si `e preferito, dove possibile, affidarsi a modelli di ordine ridotto; questi permettono di avere un miglior controllo sui fenomeni fisici, e si adattano bene all’ope- razione di ottimizzazione. Di fatto si ricorda che l’obbiettivo principale `e la selezione ottima di una configurazione, piuttosto che il calcolo delle prestazioni.
Un discorso a parte va fatto riguardo al tratto senza palette, tra distributore e rotore. Tale sezione sembra essere molto semplice da trattare, ma essendo intermedia tra due componenti principali, occorrono delle attenzioni particolari. Attraverso il modello, a partire dalla voluta, si calcolano le condizioni a valle, sfruttando le equazioni matemati- che, alcune prescrizioni geometriche, e ovviamente le condizioni a monte. La possibilit`a di questa deduzione non `e sempre garantita, nel senso che le condizioni ad una certa sezione, dipendono anche dal funzionamento dei componenti che seguono. Ad esempio se il calcolo prescrive una certa pressione allo stadio 3 del modello, il rotore dovr`a poi lavorare in modo che la pressione scenda dalla P3 alla pressione a valle, nota per que-
stioni progettuali (ad esempio la pressione di scarico). Il lavoro del rotore per`o dipende da molte variabili, ad esempio il carico meccanico da trascinare, o la velocit`a di rotazio- ne. Quindi, a seconda delle condizioni in cui si trova il rotore, la pressione allo stadio 3 potrebbe dover cambiare. Nonostante queste implicazioni, il fatto di considerare le sole condizioni di disegno elimina tutti questi problemi. Infatti, la pressione allo stadio 3 verr`a determinata come dipendente dalle sole condizioni a monte, e sulla base delle condizioni in 3 si progetter`a un rotore che automaticamente si adatter`a a tali condizioni, e a quelle imposte a valle. Si pu`o quindi procedere con la deduzione e, sia in caso di condizioni subsoniche che supersoniche in 3, imporre un disegno del rotore che si vada ad accoppiare perfettamente con le condizioni fluidodinamiche. Questa precisazione `e necessaria per giustificare il modo di procedere della strategia utilizzata.
Figura 3.3: Forma standard di paletta utilizzata nel modello. Curva media della paletta della paletta parabolica simmetrica e spessore distribuito regolarmente tra i valori al bordo d’attacco, al bordo di uscita e al punto di massimo dello spessore. Il punto di massimo dello spessore, letto sulla corda `e chiamato P d. Con distribuzione regolare si intende una funzione matematica almeno C2 dell’ascissa curvilinea definita sulla corda.