Dovendo il metodo trovare la configurazione ottimale, deve essere possibile effetture i calcoli per le diverse combinazioni dei parametri liberi, in modo da selezionare la migliore. Per una strategia di questo tipo, tutta la geometria deve essere condensata in un set contenuto di parametri, e questo vale anche per la palettatura. La procedura dovr`a quindi necessariamente riferirsi ad una forma standard delle palette. Forma che possa essere analiticamente ottenuta dalla conoscenza di pochi parametri. Se cos`ı non fosse, il metodo dovrebbe analizzare i diversi effetti di infinite possibili forme, e ci`o non `e n`e possibile, n`e auspicabile, dato il carattere approssimato dell’ analisi. Ad esempio i tempi di calcolo aumenterebbero vistosamente, e di sicuro il metodo di analisi fluidodinamico semplificato non `e il pi`u indicato per valutare quali siano le configurazioni migliori. In questi termini la spesa computazionale aggiuntiva non risulterebbe nemmeno utile.
Si decide quindi di riferirsi ad una forma di paletta standard, dalle prestazioni com- provate, e che possa facilmente essere descritta da pochi parametri liberi. Il processo di ottimizzazione caratterizzer`a tali parametri liberi, nonch`e l’orientazione, il posiziona- mento e il numero di pale.
La paletta standard in questione, mostrata in figura 3.3, `e caratterizzata da : 1. linea media di forma parabolica simmetrica. Tale linea `e analiticamente caratteriz-
zata dalla corda della paletta C, e dalla curvatura. La curvatura `e espressa come angolo di curvatura, pari alla somma degli angoli di pala, tra corda e linea media, al bordo di ingresso e di uscita. Gli angoli di pala relativi τ1 e τ2 (vedi figura
3.3) assumono un valore uguale grazie alla simmetria imposta alla geometria della linea media. In particolare la curvatura `e definita come: Θ = τ1+ τ2. Il metodo `e
comunque capace di analizzare curve paraboliche non simmetriche rispetto ai bordi di ingresso ed uscita; cio`e palette in cui il punto di curvatura massima `e spostato rispetto al punto medio della corda della paletta. E quindi casi in cui gli angoli τ1
e τ2 hanno valori diversi
2. lo spessore della paletta `e poi distribuito in modo standard, seguendo le prescrizioni su palette standard esposte in Rif.[1]. La funzione di distribuzione dello spessore si basa sulla conoscenza degli spessori al bordo di ingresso, tLE = 0.025 C, al bordo
di uscita tT E = 0.012 C, e al punto di massimo tmax= 0.06 C, tutti proporzionati
alla corda
3. il punto di massimo spessore viene localizzato tramite la sua posizione sulla corda della paletta (chiamato Pd, vedi figura 3.3). Per la presente analisi si `e scelto di po-
sizionarlo al 40 % della corda, partendo dal bordo di ingresso. Altre configurazioni sono comunque possibili
4. a partire dalla prescrizione degli spessori tLE, tT E e tmaxe del posizionamento dello
spessore massimo, si impone la variazione dello spessore con una funzione continua e regolare che rispetti tali valori fissi. La funzione in questione, corrispondente alle palette riportate in Rif.[1], `e descritta in Appendice A (per un esempio di distribuzione vedi figura 3.5)
5. la funzione spessore, espressa come t = t(x/C), e cio`e rispetto alla ascissa norma- lizzata sulla corda della paletta, `e definita in modo da imporre opportuni raggi di raccordo al bordo di ingresso e al bordo di uscita della paletta. Cio`e i cosiddetti ”raggi al naso” (”nose-radius”) sono opportunamente determinati per permettere la regolarit`a del flusso. Chiaramente se si prescrivono spessori non nulli in ingresso ed uscita, ci saranno degli spigoli vivi
Si vuole mettere in luce come tale prescrizione sia allo stesso tempo funzionale e comprensiva di molte alternative. In primo luogo, variando leggermente le relazioni, e cio`e le relazione tra spessori e corda, il posizionamento dello spessore massimo e la posizione della curvatura massima, si possono ottenere molte configurazioni diverse. Questo non rientra negli obbiettivi del modello, nominalmente ”ridurre al massimo i parametri liberi”, e quindi si lasceranno fisse le relazioni descritte, e si terr`a la linea media della pala parabolica simmetrica. Come gi`a detto, saranno le analisi di ordine superiore, a posteriori del presente modello, ad investigare che tipo di forma definitiva selezionare.
Dal punto di vista della funzionalit`a del metodo invece, si nota come basti prescrivere il valore della corda C e la curvatura della palette Θ, per ottenere l’intera geometria della paletta. Il metodo riesce quindi ad avere una procedura snella per l’ottenimento di geometria e prestazioni, e la paletta ottenuta `e di forma sostanzialmente classica, utilizzata in svariate applicazioni di turbine radiali.
Figura 3.4: Esempio di palette supersoniche. Si osserva la forma del canale convergente divergente. Questa geometria `e stata estratta da Rif.[4].
Si vuole per`o sottolineare un limite della presente scelta, in particolare il fatto che il condotto formato da due palette consecutive, data la regolarit`a della forma, sar`a sostan- zialmente convergente. Una scelta del genere impone un valore del Mach al massimo unitario, nei pressi dell’uscita dalla palettatura. L’unica possibilit`a di espansione super- sonica sar`a data dal canale radiale-anulare, a valle della palettatura (stazioni 2−3). Data la contenuta estensione di tale tratto, espansioni supersoniche saranno molto limitate. Per fare un esempio, utilizzando il modello con alti valori del rapporto di espansione (≈ 2.5), si sono trovati valori massimi del Mach attorno a 1.15, alla stazione 3. Proba- bilmente per tali valori del rapporto di espansione, e ancor di pi`u per valori superiori, palette di forma diversa sarebbero pi`u utili e realistiche.
Un esempio `e mostrato in figura 3.4 dove `e riportata una possibile configurazio- ne di paletta supersonica per turbine radiali. Tali palette determinano un condotto convergente-divergente ed infatti permettono valori di M2 fino a 2. Si `e scelto nel pre-
sente modello di non investigare tali configurazioni, in primo luogo perch`e palette del genere coinvolgono comportamenti seriamente bi e tridimensionali (come riportato in [4]), che sono difficilmente analizzabili da un metodo di ordine ridotto. Questo punto, limitante il modello per rapporti di espansione superiori a 2.5, meriterebbe di essere investigato in futuri sviluppi.
Imposto che verr`a utilizzata la geometria sopra descritta (vedi figura 3.3), si espon- gono le semplici formule che, nel caso pi`u generale di linea media parabolica (non neces- sariamente simmetrica), permettono di ricavare angoli, dimensioni, coordinate dei profili palari ecc.
I parametri necessari sono : 1. C : corda della paletta
2. a/C : fattore di localizzazione (sulla corda) del punto di curvatura massima, assunto uguale a 0.5 nel modello (punto Pa)
3. d/C : fattore di localizzazione (sulla corda) del punto di massimo spessore, assunto uguale a 0.4 nel modello (punto P )
4. Θ : curvatura della paletta come somma di τ1 e τ2. Questi sono espressamente
chiamati angoli relativi di pala, ai bordi di ingresso ed uscita (come mostrato in figura 3.3)
Da questi parametri principali si ottengono:
tLE = 0.025C , tT E = 0.012C , tmax= 0.06C (3.2)
e quindi si utilizza la prescrizione standard dello spessore della pala:
t = t(ε) = t(x/C) = tref + [tmax− tref]εe (3.3)
dove tref e ε sono parametri descritti in Appendice A. Come esposto in Appendice
A tali parametri sono essenzialmente noti; perch`e derivano dalla coordinata variabile xc
del punto che si considera sulla corda, dal parametro d e dagli spessori tLE, tT E e tmax.
Un esempio di distribuzione di spessore `e mostrato in figura 3.5; qui vengono indicati i parametri principali che caratterizzano la distribuzione. Si osserva come lo spessore della paletta non sia nullo in ingresso per imposizione del modello. Infatti, per come sono stati definiti gli spessori ai bordi di attacco ed uscita, non c’`e raggio di raccordo, ma la paletta inizia e termina con uno spessore finito, seppur estremamente piccolo rispetto alle dimensioni della corda. Dal punto di vista costruttivo le forme alle due estremit`a saranno ovviamente arrotondate per migliorare il comportamento fluidodinamico ma dal punto di vista del modello la forma in ingresso ed in uscita pu`o essere approssimata senza tale raggio di raccordo.
In figura 3.3 si utilizza il sistema di riferimento palare, e quindi in ascissa si hanno le distanze dal bordo di attacco, calcolate sulla corda. Il punto di massimo spessore `e come detto posizionato a x = d = 0.4 C.
Un obbiettivo della procedura `e determinare i profili di aspirazione e pressione della pala (e quindi la forma). Questi vengono calcolati a partire dalla linea media, pensando lo spessore come distribuito equamente tra i due lati della linea media stessa, lungo una direzione localmente normale ad essa. E quindi tramite le equazioni seguenti, per il profilo di pressione xP = xc+ 1 2 t sin(χc) yP = yc− 1 2t cos(χc) (3.4)
mentre per il profilo di aspirazione xA= xc−
1
2 t sin(χc) yA= yc+ 1
2t cos(χc). (3.5)
Dove x e y sono le coordinate nel sistema di riferimento descritto in figura 3.3; xc e
yc sono le coordinate della linea media della pala. Il sistema di riferimento ortogonale
in questione (sistema palare) ha asse x diretto come la corda della paletta, e origine nel bordo di attacco. L’asse ortogonale `e appunto denominato y e determina le distanze dei punti dalla corda stessa. Infine χc `e l’angolo di pala, e quindi l’angolo tra la tangente
Figura 3.5: Distribuzione di spessore lungo la corda della paletta. L’andamento degli spessori viene mostrato rispetto ad un sistema di riferimento palare.
−τ2 al bordo di uscita. Lo spessore locale della paletta (t) `e gi`a stato ottenuto, quindi
per determinare le coordinate dei profili palari devono essere calcolate le coordinate della linea media nonch`e χc= χc(x).
Per quanto riguarda la linea media, le coordinate (xc; yc) sono ottenibili analitica-
mente avendo prescritto una forma parabolica: x2c+c − 2a bp xcyc+ (c − 2a)2 4b2 p y2c− cxc− c2− 4ac 4bp yc= 0. (3.6)
dove bprappresenta la distanza massima tra linea media e corda della paletta, mentre
a `e la coordinata x del punto Padi massima curvatura della paletta. Nel modello utiliz-
zato di paletta parabolica simmetrica a = 0.5 C. Il valore di bp`e veramente importante
per determinare la geometria della paletta, e pu`o essere ottenuto analiticamente da : bp/C = (
p
1 + (4tanΘ)2[a/C − (a/C)2− 3/16] − 1)/(4tanΘ). (3.7)
Infine per poter utilizzare le equazioni 3.4 e 3.5 occorre determinare l’angolo di pala variabile, chiaramente si ha:
tanχc(xc) =
∂yc
∂xc
(3.8) Una volta ottenuto bp dall’ equazione analitica 3.6, si possono ottenere gli angoli
relativi di pala τ1 al bordo di attacco e τ2 al bordo di uscita:
tanτ2 = 4bp/(3C − 4a). (3.10)
In questo modo, tutte le caratteristiche della linea media e dei profili di aspirazione e pressione sono determinate analiticamente dai quattro parametri elencati: Θ, C, a/C e d/C. L’ultimo di questi rientra nelle equazioni precedenti attraverso la determinazione di tref e ε, come esposto in Appendice A.
Per tutto il resto della trattazione a/C = 0.5 e d/C = 0.4, ma si `e preferita una impostazione generalizzata perch`e cos`ı `e riportata nei programmi realizzati.
In conclusione, per conoscere l’intera geometria della singola paletta, il modello deve conoscere la curvatura Θ e la lunghezza della corda C. Il primo di questi due parametri, Θ, verr`a lasciato come parametro libero di ottimizzazione del modello, e quindi si pu`o ritenere noto. Tale parametro va ad aggiungersi ai tre determinati nell’analisi della voluta Re0, r1, b3. L’altra dimensione C, non `e utilizzata direttamente come parametro
di ottimizzazione, ma verr`a ricavata da altre grandezze, come spiegato nella sezione che segue.