Concetti principali dell’analisi da pala a pala

L’analisi potenziale del flusso si basa sull’applicazione congiunta del bilancio massa e del- la condizione di irrotazionalit`a per un elemento infinitesimo di una striscia di flusso. I dettagli di questo procedimento sono quelli standard dei metodi potenziali e sono esposti per il caso specifico in Rif.[1] e [9]. Le due condizioni fluidodinamiche da imporre si basa- no sull’analisi di un volume di controllo, caratterizzato da uno spessore trasversale pari allo spessore medio della striscia di flusso bss(m; n), e da dimensioni infinitesime nel pia-

no localmente tangente al dominio considerato (e quindi alla striscia di flusso). Per tutto il procedimento che segue bss`e considerato noto, proveniente dall’analisi meridionale.

Il modo di applicare l’equazione di continuit`a al volume di controllo non merita particolari commenti. La condizione di componente trasversale di vorticit`a nulla rispetto alla striscia di flusso, viene imposta attraverso:

~

en· (~∇ × ~U ) = ~en· [∇ × ( ~W + rΩ~eθ)] = 0 (4.81)

sul volume di controllo infinitesimo considerato. Si nota che l’equazione viene espli- citata per il sistema di riferimento solidale al rotore.

L’equazione 4.79 rende necessaria la presenza di componenti fluidodinamiche del flus- so relativo controrotanti alla rotazione del rotore. Tale condizione dovr`a portare a dei gradienti azimutali delle grandezze fluidodinamiche, di natura simile a quelle ottenute dal modello per pompe spaziali esposto nell’introduzione (vedi [3]); in tal caso l’intero modello era basato sulla sovrapposizione di flusso pienamente guidato e vortice contro- rotante appartenente a piani localmente ortogonali all’asse della turbina. A differenza di quanto previsto nel modello per pompe spaziali, in questo le componenti vorticose (del flusso relativo) non sono definite su piani ortogonali all’asse del rotore, ma piuttosto su piani locamente tangenti alla striscia di flusso.

Le due condizioni fluidodinamiche appena citate vengono sviluppate cos`ı da fornire le due equazioni differenziali alle derivate parziali caratteristiche del problema potenzia- le. Gli sviluppi sono alquanto complessi, e non si riportano costituendo procedimenti standard, ad esempio esposti nei riferimenti Rif.[1] e [9].

Le equazioni differenziali risultanti vengono riportate di seguito: ∂ ∂σ[ ρbssWσ cosβd ] + ∂(Sρbss) ∂m = 0 (4.82)

per il bilancio di massa e ∂ ∂σ[ Wι cosβd ] = ∂(SWϑ) ∂m + 2SΩsinφ (4.83)

per la condizione di componente trasversale nulla (direzione n) di vorticit`a.

Tutte le grandezze utilizzate nelle equazioni sono gi`a state definite e commentate a parte Wσ e Wι, che sono rispettivamente le componenti di velocit`a relativa nelle direzioni

σ e ι del nuovo sistema di riferimento definito per il dominio.

Nelle equazioni 4.82 e 4.83 si nota una strana commistione delle componenti di velo- cit`a relativa e della natura delle derivate parziali, nei due diversi sistemi di riferimento definiti (m; ϑ) e (ι; σ). Il motivo sta nella convenienza di rappresentare il volume di controllo cui si applicano le equazioni fuidodinamiche in modo misto. In particolare i lati infinitesimi del volume di controllo insistono sui versori ~em e ~eσ, appartenenti a due

sistemi di riferimento distinti (vedi Rif.[1] per i dettagli riguardo al volume di control- lo). Questo tipo di approccio non costituisce un problema al momento di integrare le equazioni fluidodinamiche.

Come procedura standard delle analisi potenziali, si definisce una funzione di corrente che automaticamente soddisfi l’equazione di continuit`a. La funzione di corrente `e definita attraverso le seguenti equazioni:

˙ m∂Ψ ∂m = −ρbss(Wϑ− Wmtanβd) (4.84) ˙ m∂Ψ ∂σ = SρbssWm (4.85)

in cui ˙m `e la portata che passa dalla porzione della striscia di flusso delimitata da due palette rotoriche. Questa `e ottenibile dalla portata della turbina divedendola per il numero di strisce di flusso considerate nstr, e per il numero di canali rotorici NR:

˙

m = m˙des nstrNR

. (4.86)

La funzione di corrente diventa quindi la funzione bidimensionale di σ e m, anche questa volta coordinate miste dei due sistemi di riferimento del dominio. Si intuisce come la coordinata adimensionale σ sia assolutamente conveniente per il fatto che individua i confini palari attraverso linee coordinate (in particolare σ = 0 e σ = 1). Per ricavare la funzione di corrente come soluzione del problema deve essere ottenuta una equazione dif- ferenziale alle derivate parziali con incognita Ψ. L’equazione viene ricavata sostituendo le equazioni 4.84 e 4.85 nella condizione sulla vorticit`a 4.83. Infine devono essere applica- te le dovute semplificazioni e sviluppi per ottenere una forma conveniente dell’equazione al fine di risolvere il problema differenziale(vedi Rif.[1]). Da un punto di vista teorico questo procedimento risolve il problema, e in Rif.[1] e [9] si espone come questo possa essere affrontatato attraverso tecniche numeriche, ed imponendo le adeguate condizioni al contorno.

Per proseguire `e necessario parlare di alcune semplificazioni essenziali che sono state utilizzate nel presente modello, solitamente adottate per canali rotorici di turbine radiali. Il flusso relativo all’interno del canale rotorico `e poco soggetto ai fenomeni aerodinamici collegati allo spessore palare; si tratta infatti di palette molto lunghe e molto sottili. Relativamente parlando gli effetti peculiari che si osservano al bordo d’attacco di un

profilo palare ”classico” (si pensi all’ala di un velivolo o ad una paletta di turbina assiale) sono quasi del tutto assenti. Il principale effetto che distingue il flusso relativo sul lato di pressione da quello sul lato di aspirazione `e proprio la rotazione del rotore. Questa fa si che si formi un vortice controrotante, il quale aumenta la velocit`a e abbassa la pressione sul lato di aspirazione, il contrario avviene sul lato di pressione. Un altro effetto aerodinamico principale `e legato alla curvatura meridionale della paletta, la quale ovviamente contribuisce all’aumento delle velocit`a relative sul lato di aspirazione.

Questo comportamento si distingue molto da ci`o che avviene su di un profilo palare di turbina assiale. Qui la conformazione della zona del bordo di attacco, il punto di ristagno, e la forte depressione in ingresso sul lato di aspirazione, costituiscono gli aspetti fondamentali del flusso attorno ad una paletta. Si tratta di profili palari in cui gli aspetti aerodinamici, e le stratificazioni di pressioni e velocit`a nel canale, sono molto pi`u sofisticati.

Per tutti questi motivi, nel caso di palettature di turbine radiali, i meccanismi ae- rodinamici del canale palare rotorico sono molto semplici, e sostanzialmente noti. Il modello potenziale pu`o sfruttare una approssimazione che semplifica molto la risoluzio- ne del problema differenziale. In particolare si prescrive l’andamento della funzione di corrente nella direzione azimutale. La funzione di corrente pu`o infatti essere espressa come:

Ψ(m; σ) = a(m)[σ − σ2] + σ2 (4.87)

permettendo un approccio al problema del tutto linearizzato. Si nota come la di- pendenza dalla coordinata azimutale viene imposta da modello utilizzando la coordinata azimutale adimensionalizzata σ. La risoluzione dell’analisi si limita alla necessit`a di ri- cavare l’andamento meridionale della funzione a(m), e da essa la funzione di corrente e le altre variabili fluidodinamiche. Il problema potenziale bidimensionale viene ridotto ad un problema matematico unidimensionale. Sostituendo la forma della funzione di corrente all’interno delle equazioni 4.85, 4.84 ed infine 4.83 si riesce infatti ad impostare un problema differenziale che coinvolge le sole derivate meridionali di a(m).

Questo approccio linearizzato al problema potenziale `e esposto con relativi dettagli in Rif.[1], dove si consiglia di utilizzarlo per turbine radiali. In tali casi il livello di precisione offerto da questo tipo di approccio, rispetto a quello bidimensionale, `e assolu- tamente adeguato. Inoltre le velocit`a di cacolo dal punto di vista numerico, aumentano considerevolmente. Nel caso di rotori di turbine assiali invece, proprio per i motivi sopra elencati, il metodo non offre la stessa capacit`a, specialmente per ci`o che riguarda il bordo di attacco del profilo, zona in cui non riescono a simulare gli effettivi meccanismi fisici (vedi [9]).

Aver espresso la funzione di corrente attraverso l’equazione 4.87, implica che le componenti meridionale e azimutale della velocit`a relativa possano essere ricavate dalle seguenti equazioni:

ρWϑ= ˙m[tanβd(a − 2aσ + 2σ) − a

0

S(σ − σ2)]/(bssS) (4.89)

Ci sono due aspetti principali da notare, il primo riguarda la linearit`a dell’approccio che si sta considerando, osservabile dalla prima delle due equazioni. Infatti la densit`a di portata varia linearmente rispetto alla coordinata azimutale adimensionaizzata σ. Que- sto risultato, seppur frutto di come `e schematizzato il comportamento azimutale di Ψ, `e molto adatto ad interfacciarsi concettualmente con l’analisi meridionale. La striscia di flusso infatti ha uno spessore bss basato su bilanci di portata, e su un flusso assialsim-

metrico; quindi su un valore medio del termine ρWm. L’analisi da pala a pala considera

invece la variazione lineare azimutale di tale grandezza, il cui valore medio coincide con quello calcolato dall’analisi meridionale. In questo senso lo strumento potenziale aggiunge delle informazioni all’approccio meridionale, completando la conoscenza del flusso tridimensionale. Esempi della distribuzione di velocit`a e pressione ottenuti lungo quattro linee di corrente sono mostrati nelle figure 4.24 e 4.25. Il secondo aspetto da sottolineare riguarda il fatto che per ricavare Wm e Wϑ dalle equazioni 4.84 e 4.84 oc-

corre la conoscenza della densit`a locale; questa `e incognita, e quindi si necessita di un processo iterativo. La procedura consiste nei seguenti passaggi:

1. al primo passaggio si considera la densit`a ρ dal suo valore medio azimutale ottenuto dall’analisi meridionale

2. nota tale densit`a, dalla soluzione della equazione differenziale si determina a(m), e quindi Wm e Wϑ dalle equazioni 4.88 e 4.89

3. si ricava la velocit`a relativa in modulo, e, attraverso le equazioni della gasdina- mica, si risale al valore della densit`a locale. Questo si pu`o fare perch`e il flusso `e isoentropico e quindi la conoscenza della velocit`a relativa e delle grandezze totali (dalle procedure esposte in 4.2.2 ) permette di ricavare tutte le altre grandezze 4. con il campo di densit`a ricavato in precedenza si ripete il problema differenziale.

Il problema `e portato a convergenza e quindi permette di ricavare i campi tridi- mesionali di tutte le grandezze fluidodinamiche che ci interessano. In particolare ρ(m; n; ϑ), Wm(m; n; ϑ) e Wϑ(m; n; ϑ).

Si deve quindi esporre il procedimento con cui si arriva a ricavare la funzione a(m), i dettagli del procedimento sono riportati nei riferimenti Rif.[1] e [9], con annessi consigli ed indicazioni su come conviene risolvere numericamente il problema. Di seguito si riportano alcuni dettagli della procedura, ed alcuni commenti, per completezza di esposizione.