Le perdite nel rotore sono associate a molteplici fenomeni complessi che rendono l’estra- zione di potenza da parte del rotore degradata rispetto a quanto prescritto dall’equazione di Eulero. Nel presente modello si considerano quattro meccanismi principali di perdita, corrispondenti a:
1. perdite viscose
2. perdite per fenomeni di disuniformit`a fluidodinamiche tridimensionali, cosiddetti ”blade loading effects”
3. perdite per disuniformit`a angolare in uscita dovuti allo sviluppo differenziale degli strati limite, legate ai cosiddetti ”deviation angles”
4. perdite legate al flusso parassita che aggira l’estremit`a palare non producendo lavoro netto da parte del rotore. Questa perdita `e chiamata in letteratura ”tip leakage flow loss”.
Le perdite qui analizzate, a parte la terza voce, vengono considerate in riferimento [1] come guida per la stima dell’effettivo lavoro fatto dalle pale rotoriche, e quindi della potenza sviluppata.
In realt`a nel riferimento [1] si considera una fonte di perdita aggiuntiva, chiamata ”hub-to-shroud loading effect”; questa tiene conto delle disuniformit`a di pressione tra- sversali nella sezione di uscita. Tuttavia nel presente modello `e stata imposta da disegno una pressione uniforme (trasversalmente) nella sezione di uscita del rotore, quindi non si manifesta questa tipologia di perdita, che non verr`a considerata. La scelta fatta in sede progettuale, come prescrizione del modello, risulta quindi beneficiare di una minore perdita proveniente da fenomeni tridimensionali. Questo beneficio si aggiunge agli altri esposti definendo la geometria del rotore.
I primi tre punti di perdita vengono affrontati attraverso una caduta di pressione totale a cui equivarr`a una perdita di potenza. La quarta fonte di perdita viene sti- mata attraverso il computo della portata parassita, questa viene considerata come non lavorante.
Per prima cosa si determinano le perdite di pressione totale relativa (rotore) corri- spondenti ai primi tre punti. Per quanto riguarda le perdite viscose si utilizza lo stesso metodo visto per il distributore. La sezione di uscita del canale viene considerata sud- divisa nella parte occupata dallo spessore di quantit`a di moto degli strati limite, e nella parte non influenzata dalle viscosit`a (nell’accezione del bilancio di quantit`a di moto). La parte occupata dagli spessori `e ritenuta caratterizzata da una pressione totale relativa pari alla pressione statica P4. La rimanente parte del flusso, non soggetto ad effetti visco-
si, `e caratterizzata da una pressione totale ideale (PT 4,id0 ), e quindi calcolata attraverso le equazioni di Eulero (come in sezione 4.2.2). In questa sede la pressione totale calcolata tramite l’equazione di Eulero viene indicata con il pedice id, indicante condizioni ideali. La caduta di pressione totale relativa per via delle perdite viscose viene stimata attraverso la conoscenza delle pressioni P4e P
0
T 4,idappena citate, in ogni striscia di flusso
considerata. Per fare questo si ha bisogno di una stima della porzione della sezione di uscita occupata dagli spessori di quantit`a di moto. Chiaramente tali spessori vengono considerati sfruttando le stime provenienti dallo sviluppo relativo alle quattro linee di corrente considerate (vedi figura 5.3 a riguardo).
La porzione occupata dagli spessori di quantit`a di moto `e calcolabile come:
fvis= fH + fS+ fB (5.36)
dove l’effetto complessivo `e stato suddiviso nell’effetto medio dovuto alle quattro superfici che delimitano il canale rotorico. Infatti fH tiene conto dell’effetto al mozzo
del canale rotorico, fS tiene conto del contributo della superficie di estremit`a esterna,
mentre fB raggruppa i contributi degli strati sviluppati sui due lati della pala rotorica.
Si tratta di un effetto medio perch`e, come gi`a spiegato, per ogni lato considerato (mozzo, estremit`a estera, lato aspirazione, lato pressione) si conosce lo sviluppo dello strato limite per il solo punto intermedio del lato. I punti (e quindi le linee di corrente) sulle quali `e stato eseguito lo sviluppo sono state esposte in sezione 4.5.4. I contributi considerati
Figura 5.3: Schema degli spessori di quantit`a di moto (mediati) in uscita dal rotore. Si mostra l’intersezione tra gli spessori cos`ı schematizzati, di cui tener conto nelle formule.
corrispondono alla superficie al mozzo fH alla superficie esterna fS e alle due superfici
palari fB: fH = (2πrH4− NRsp0/cosβH)θH [π(r2S4− r2 H4)]KBt (5.37) fS = (2πrS4− NRsp0/cosβS)θS [π(rS42 − r2 H4)]KBt (5.38) fB =
NR(nmax− θH − θS)(θA+ θP)/cosβ4mean
[π(r2
S4− r2H4)]KBt
(5.39) Nelle equazioni precedenti si nota l’importanza di considerare l’effettiva zona occu- pata dagli strati limite rispetto all’intera sezione di passaggio del flusso. Ad esempio viene inserito a denominatore il fattore KBt, il quale tiene conto del bloccaggio della
sezione anulare di uscita dal rotore [π(rS42 − r2
H4)] per via della presenza degli spessori
palari. Al numeratore di fH ed fS, relativi alle superfici di estremit`a del canale, deve
essere considerata la sola zona della sezione occupata dagli spessori di quantit`a di moto, escludendo gli spessori palari. Questi ultimi occupano una parte della sezione influen- zata anche dall’ inclinazione palare, quindi si sottraggono i termini (NRsp0/cosβ). La
situazione `e descritta in figura 5.4 e 4.5.4. Si parla di βH per indicare l’inclinazione
palare (dall’ angolo generico β(m; n) gi`a definito) associata alla zona del mozzo, mentre di βS per l’inclinazione delle pale nella zona di estremit`a esterna.
Figura 5.4: Schema del posizionamento degli strati limite in uscita dal rotore. Si mostra direttamente l’importanza dell’ingombro delle palette.
Per l’effetto degli strati limite sulla paletta si considerano ovviamente le NR pale. Si
sottrae l’intersezione delle sezioni con gli spessori dovuti al mozzo e alla superficie esterna (come mostrato in figura 5.3). Infine si considera che gli strati limite si sviluppano con uno spessore θ considerato normale alla superficie palare. Essa `e per`o inclinata rispetto alla superficie esterna, quindi occorre considerare un effetto di inclinazione palare media in uscita attraverso βB. L’inclinazione β4mean non `e altro che la media trasversale delle
inclinazioni palari nella sezione di uscita β4mean= 1 nmax Z nmax 0 β(mout, n)dn (5.40)
Infine nmax costituisce il valore massimo in uscita della coordinata trasversale, ne-
cessario per considerare l’altezza del canale e di fatto corrispondente a (rS4− rH4).
Ovviamente nelle relazioni precedenti si identificano gli spessori di quantit`a di moto θA per il lato di aspirazione, θP per il lato di pressione, θH per a superficie al mozzo e
θS per quella di estremit`a.
Una volta calcolata la frazione di superficie occupata dagli strati limite, attraverso gli spessori medi di quantit`a di moto, si ottiene la perdita di pressione totale relativa con:
∆PT ,vis0 = 2fvis+ (Hfvis)
2
(1 − Hfvis)2
(PT 40 − P4) (5.41)
dove la relazione `e stata estratta da [1]. In tale formula H costituisce il fattore di forma che porta dagli spessori di quantit`a di moto agli spessori di spostamento; di fatto inserisce gli effetti residui associati a questi ultimi nel bilancio reale di quantit`a di moto (vedi [1] e [9]). Nell’equazione 5.41, PT 40 `e variabile al variare della striscia di flusso, per
questo motivo si otterr`a un perdita ∆PT ,vis0 (n) dipendente dalla coordinata trasversale in uscita, e quindi dalla striscia di flusso.
In questo modo si ottiene, come esposto nei riferimenti [9] e [8] una stima della perdita media associata alle viscosit`a. Si era gi`a discusso parlando del distributore che l’obbiettivo del progetto non `e ottenere un metodo di analisi delle prestazioni, ma un metodo di ottimizzazione. Non si richiede quindi che la stima sia estremamente precisa, ma piuttosto che le diverse fonti di perdita del rotore siano tra loro bilanciate, sulla base dei fenomeni fisici che rappresentano, e tra di loro. Lo scopo del bilanciamento `e indirizzare l’algoritmo di ottimizzazione nella direzione delle configurazioni migliori possibili, anche in funzione delle perdite associate al loro funzionamento. Al di l`a di queste considerazioni si sono utilizzati schemi di calcolo delle perdite di fatto analoghi a quelli utilizzati dagli autorevoli modelli di riferimento esposti nell’introduzione.
Passando ora alla perdita di ”blade loading”, questa tiene conto delle disuniformit`a tridimensionali associate alla diversa natura delle stratificazioni da pala a pala nelle diverse strisce di flusso. Si tratta di fatto di meccanismi di disuniformit`a molto complessi, che devono essere considerati a posteriori perch`e non inclusi nell’analisi da pala a pala effettuata. In altre parole l’analisi condotta non riesce a cogliere alcuni dei fenomeni tridimensionali implicati, i quali costituiscono una perdita che si inserisce a posteriori attraverso correlazioni. Non esistono infatti metodi di ordine ridotto per analizzare questo tipo di inefficienza. Nei riferimenti [1] e [7] la ”blade loading loss” viene espressa come: ∆PT,bl0 = 1 24[ 4Wmax W4 ]2(PT 40 − P4) (5.42)
dove PT 40 `e la pressione totale relativa in uscita (variabile con la striscia di flusso), 4Wmax`e la massima differenza tra le velocit`a relative in modulo tra lato di aspirazione
e lato di pressione in ogni striscia di flusso, W4 `e la velocit`a relativa in uscita, variabile
anch’essa con n. Chiaramente si otterr`a da questa correlazione una ∆PT ,bl0 (n) e quindi dipendente dalla coordinata trasversale in uscita.
Per quanto riguarda la terza forma di perdita, questa `e legata alla direzione ”effet- tiva” del flusso in uscita, dettata non soltanto dalla direzione palare in uscita ma anche dalla deviazione imposta dalla crescita differenziale degli strati limite. Questo effetto `e solitamente molto basso, ma a priori non trascurabile. Assume importanza soltanto per gli strati limite palari, ed infatti `e trascurato per gli altri strati. Si considera una deviazione del flusso in uscita di un angolo medio :
ϕ = ϕA+ (ϕP − ϕA)σ (5.43)
in cui σ `e la coordinata azimutale normalizzata definita nella sezione 4.5.1. Mentre ϕP e ϕA sono rispettivamente gli angoli di deviazione dovuti alla crescita differenziale
degli strati sui lati rispettivamente di pressione e aspirazione della pala. Si assume che azimutalmente ci sia un andamento lineare di tale angolo di deviazione tra i valori assunti sui due lati; questi valori limite si calcolano come:
ϕA= cosβ4mean ∂δA∗ ∂m (5.44) ϕP = cosβ4mean ∂δP∗ ∂m (5.45)
in cui δ∗Ae δP∗ sono gli spessori di spostamento calcolati rispettivamente per il lato di aspirazione e per quello di pressione. Il flusso in uscita dal rotore viene quindi considerato deviato di un angolo ϕ = ϕ(σ) e quindi la componente azimutale assoluta in uscita risulta modificata in:
Vϑ4= rΩ − W4(n)sin(β + ϕ) (5.46)
dove si considera quindi non solo l’angolo di inclinazione palare, come fatto da proget- to definendo la forma delle pale, ma anche l’angolo aggiuntivo di deviazione. Il modulo della velocit`a relativa W4 `e considerato invariato rispetto al valore ottenuto dall’ana-
lisi pala-pala. Infatti lo spessore degli strati limite `e cos`ı contenuto che l’effetto del bloccaggio sulla velocit`a relativa del flusso `e praticamente ininfluente (si `e valutato che modificherebbe la velocit`a relativa di contributi inferiori alla risoluzione numerica del modello). Proprio a causa di tale angolo di deviazione la componente di velocit`a azi- mutale in uscita Vϑ4 non risulta essere nulla come imposto da disegno. La componente
azimutale residua cos`ı ottenuta viene considerata alla stregua di una perdita di pressione totale attraverso:
∆PT,dev0 = 1
2ρ4(Vϑ4= rΩ − W sin(β + ϕ))
2 (5.47)
e anche questa fonte di perdita, come le precedenti, dipende dalla striscia di flusso considerata e quindi da n. Anzich`e considerarla come una perdita di pressione totale si poteva pensare di sottrarre il contributo della velocit`a azimutale residua dall’equazione di Eulero ideale. Si `e dimostrato a posteriori che le due strategie forniscono risultati analoghi; peraltro le perdite associate alla deviazione sono solitamente irrisorie rispetto alle altre.
Infine si passa al calcolo della portata che attraversa la spaziatura (in letteratura nota come ”clearance” δc) tra estremit`a superiore della pala rotorica e superficie di
estremit`a superiore del canale rotorico. Non si `e definita sin ora tale spaziatura per due motivi principali; in primis perch`e non `e rientrata in alcun modo nei calcoli effettuati, e in secondo luogo perch`e deriva da considerazioni costruttive e progettuali sin ora non affrontate. In [1] si consiglia di utilizzare una stima della spaziatura con l’obbiettivo di calcolare la perdita di flusso parassita. Questa `e considerata costante nella direzione trasversale locale, valutata al profilo di estremit`a esterno del canale rotorico. Si consiglia di utilizzare :
δc= 0.016r3 (5.48)
in modo da correlarla al raggio di ingresso del rotore. Inoltre si consiglia di adoperare le seguenti formule per il calcolo della portata parassita passante dalla spaziatura:
Ucl =
p
2∆PS/ρave (5.49)
`
e utilizzata per stimare la velocit`a del flusso locale passante localmente da un canale rotorico all’altro. In particolare ρave`e la media tra le densit`a locali ai due lati della pala,
∆P la differenza locale di pressione tra i due lati della pala, ed infine L la lunghezza dell’estremit`a palare (tip). La velocit`a `e considerata come localmente ortogonale alla superficie palare locale, valutata nella zona del profilo di estremit`a del canale. In questo modo la portata `e ottenibile come:
˙
mCL= 0.816ρaveUclLδcl. (5.50)
Nell’equazioni riportate tutte le grandezze dipendono dalle caratteristiche fluidodi- namiche del flusso suo lati aspirazione e pressione. Le grandezze vengono valutate nella zona di massima coordinata trasversale locale al variare della coordinata meridionale; quindi in corrispondenza delle superficie esterna del canale rotorico. La lunghezza L dell’estremit`a palare calcolata come:
L = Z LS
o
dm
cosβ(m, η = 1) (5.51)
dove LS`e appunto la lunghezza del profilo meridionale all’estremit`a esterna del canale
rotorico.
Nella prossima sezione sezione si passer`a al calcolo della potenza reale stimata svi- luppata dal rotore alla luce delle perdite cos`ı trattate.