Commentati alcuni esempi di modelli per il progetto di turbomacchine radiali, risulta pi`u semplice inquadrare gli obbiettivi del presente lavoro. Il modello da sviluppare deve essere completamente automatico, e cio`e, allo stesso modo del modello per pompe radiali, deve essere capace di fornire una configurazione preliminare ottima, a partire dai requisiti ingegneristici di ingresso.
La strategia per perseguire questo scopo deve essere la riduzione della complessit`a geometrica della configurazione. Questa riduzione di ordine pu`o derivare sia dall’uso di geometrie regolari preimpostate (come si fa nel modello per pompe riguardo ai profili del mozzo e del casing), sia tramite l’utilizzo delle equazioni fluidodinamiche. Le equazioni fuidodinamiche possono essere sfruttate per avere un disegno inverso della geometria, quando possibile, oppure per indirizzare la scelta delle geometrie in modo ragionevole e rapido.
Di fatto la richiesta della automaticit`a nella ricerca di una configurazione ottima, si scontra con la possibilit`a di utilizzare procedure complesse e dispendiose (del tipo di quella di Yang). Infatti la selezione automatica `e, gi`a di per se, un processo lungo e computazionalmente oneroso. Si stabilisce quindi da subito che occorre un compromesso tra automaticit`a e capacit`a di analizzare e sfruttare le equazioni fluidodinamiche. Questo
vale a maggior ragione se si pensa che lo stesso procedimento vada svolto per tutti i componenti della turbina, non solo per il rotore.
La grandezza da ottimizzare `e la potenza estratta, ma ci`o non pu`o essere perseguito senza considerare attentamente i comportamenti fludodinamici dei vari componenti. Fe- nomeni che portino ad un funzionamento scorretto, non stazionario, o alla generazione di eccessivo rumore e vibrazioni, o infine a ledere la versatilit`a della macchina vanno tutti scongiurati.
Per gli scopi della presente tesi vengono analizzate le sole implicazioni fluidodinami- che del progetto, e non si fanno considerazioni meccaniche, strutturali od elettriche, se non a configurazione ottimale ottenuta. Si possono cos`ı riassumere gli scopi del presente progetto:
• sviluppare un modello automatico di progetto preliminare per turbine radiali • il metodo deve sfruttare come input un set di dati ingegneristici di progetto • la procedura deve fornire come output l’intera configurazione geometrica della
turbina
• nella selezione della configurazione ottimale deve essere massimizzata la potenza estratta, e devono essere considerate le perdite fluidodinamiche
• contemporaneamente devono essere scongiurati fenomeni fluidodinamici spiacevoli nei componenti (quali fenomeni di separazione o bloccaggio parziale)
• il metodo deve essere testato su un caso applicativo
Nei seguenti capitoli 2, 3, 4, 5 si passa in rassegna la modellizzazione dei componenti della turbina: voluta di ingresso, palettatura, rotore e diffusore. Verranno presentate sia descrizioni dei vari componenti, sia il modo in cui il modello li tratta. L’analisi riguarder`a sia il comportamento ideale che la schematizzazione delle perdite. Nel capitolo 6 verr`a presa in considerazione la generazione di una configurazione di riferimento su cui basare il processo di ottimizzazione seguente. Nel capitolo 7 si tratter`a l’algoritmo di ottimizzazione utilizzato. Infine nel capitolo 8 si mostrer`a l’applicazione del metodo ad un caso reale di progetto e quindi si esporranno le conclusioni del lavoro.
Capitolo 2
Analisi e modello della voluta
2.1
Generalit`a delle volute per turbine radiali
Le volute per turbine radiali sono componenti molto complessi, perch`e caratterizzati da un flusso del tutto tridimensionale e difficilmente schematizzabile. Lo scopo di questo elemento `e quello di direzionare il flusso proveniente dal condotto di ingresso verso la palettatura che segue la voluta, o, in alcuni casi, direttamente verso il rotore. Il condotto di ingresso alla turbina dipende dalla applicazione in questione, e non `e stato schematiz- zato nella presente tesi. Si ritiene quindi che un condotto diriga il flusso verso la voluta, con una direzione complessivamente azimutale, come mostrato in figura 2.1.
La voluta ha quindi i compiti di accelerare e direzionare il flusso, fornendo alla velo- cit`a una componente radiale verso l’interno. Le volute di turbina sono per`o componenti molto meno sensibili che non quelle di pompe e compressori. In una pompa ad esempio, la voluta `e direttamente responsabile delle condizioni fluidodinamiche dell’ambiente in cui lavora il rotore, e quindi ne influenza le prestazioni (vedi Rif. [2]). In una turbina invece, tra rotore e voluta, viene spesso inserita una palettatura, e questo rende i due componenti abbastanza indipendenti. Una ragione `e proprio quella di evitare una dipen- denza eccessiva delle prestazioni del rotore dal comportamento della voluta. Inoltre le palettature di distribuzione sono molto pi`u efficaci nell’ accelerare il flusso, permettendo di contenere le perdite che si avrebbero in grandi volute acceleranti.
Nonostante ci`o, le volute rimangono componenti cruciali e, anche se ben progettate, si possono avere perdite pari al 5 − 8 % del rapporto di espansione caratteristico dello stadio.
La modalit`a con cui la voluta devia il flusso entrante cambia da caso a caso. Ad esempio esistono delle volute in cui la sezione (in un piano meridionale della turbina) resta circa costante azimutalmente. In questi casi la componente radiale viene impressa da semplici motivi di bilancio complessivo di massa. Il flusso infatti continua ad entrare dall’ingresso e quindi, per equilibrare questa introduzione, un flusso fuoriesce dal canale anulare di uscita, assumendo una componente radiale. Queste volute hanno perdite molto alte, e sono utilizzate per applicazioni che non richiedano delle alte efficienze.
Figura 2.1: Schema del flusso in una voluta di turbina radiale.
Infatti, non si ha controllo sulla direzione del flusso in uscita, e si possono fare solo considerazioni globali su bilancio di portata, e momento angolare complessivo.
In questo lavoro non verranno considerate configurazioni del genere; ci si riferisce infatti a volute caratterizzate da una rastremazione della sezione meridionale. Tale rastremazione segue un andamento ben preciso (al variare della coordinata azimutale), il quale permette la realizzazione di un flusso in uscita quasi assialsimmetrico. Questo `e il vero obbiettivo di una voluta, assieme alla possibilit`a di accelerare parzialmente il flusso.
Si consideri l’esempio di voluta mostrato in figura , la tridimensionalit`a geometrica del componente permette di comprendere la complessit`a del flusso che si tenta di descri- vere. Se si intendesse analizzare il comportamento fluidodinamico in maniera rigorosa occorrerebbe studiare le equazioni tridimensionali della fluidodinamica, tentando di in- cludere tutti i fenomeni che abbiano rilevanza sul comportamento stesso. Senza perdere di generalit`a siamo giustificati nel considerare il flusso come isotermico, adiabatico, non viscoso, irrotazionale, inoltre si trascura l’effetto delle forze volumetriche. La compri- mibilit`a non `e invece trascurabile a priori, anche se usualmente si tenta di limitare la velocit`a e il numero di M ach nella voluta, cos`ı da limitare le perdite. Il primo passo `e rappresentare le equazioni di N avier − Stokes alla luce delle ipotesi elencate:
Dρ Dt = −ρ∇ · u (2.1) Du Dt = −∇p (2.2) De Dt = −p∇ · u (2.3)
Figura 2.2: Esempio di turbina con schematizzazione delle linee di corrente. Si da una idea della tridimensionalit`a del flusso nella voluta. La turbina mostrata `e stata sviluppata dalla PAULTAM.
dove ρ `e a densit`a, u il vettore velocit`a, p la pressione statica, ed infine e l’energia spe- cifica del flusso. La nomenclatura degli operatori matematici `e quella classica utilizzata nei testi di aerodinamica, ad esempio si pu`o fare riferimento su Rif.[12]. Si comprende come un problema di questo genere `e inaffrontabile per un modello di ordine ridotto, ed infatti si tratter`a in modo estremamente semplificato, come descritto in sezione 2.2. Uno stadio intermedio della semplificazione del flusso, si pu`o ottenere richiedendo un approccio incomprimibile, e scrivendo le equazioni in coordinate cilindriche. Come gi`a detto i fenomeni di comprimibilit`a non sono trascurabili ma giocano un ruolo marginale. Inoltre il flusso pu`o essere considerato in condizioni di stazionariet`a. Le equazioni di N avier − Stokes, dopo queste ulteriori considerazioni, si riducono a:
1 r ∂ ∂r(urr) + 1 r ∂(uϑ) ∂ϑ + ∂uz ∂z = 0 (2.4) ρ(ur ∂ur ∂r + uϑ r ∂ur ∂ϑ + uz ∂ur ∂z − u2ϑ r ) = − ∂p ∂r (2.5) ρ(ur ∂uϑ ∂r + uϑ r ∂uϑ ∂ϑ + uz ∂uϑ ∂z + uϑur r ) = − 1 r ∂p ∂ϑ (2.6) ρ(ur ∂uz ∂r + uϑ r ∂uz ∂ϑ + uz ∂uz ∂z ) = − ∂p ∂z. (2.7)
In queste relazioni ur, uϑ e uz sono rispettivamente le componentidi velocit`aradiale,
azimutale ed assiale. Inoltre r, ϑ e z sono rispettivamentele coordinate radiale, azimutale e assiale in un sistema di riferimento cilindrico. La prima equazione 2.4 descrive il bilancio di massa, mentre le equazioni 2.5, 2.6 e 2.7 traducono le equazioni di bilancio di quantit`a di moto. Date le ipotesi condotte, ed in particolare la incomprimibilit`a,
bastano queste equazioni per produrre un sistema matematico chiuso e risolvibile, data l’indipendenza dell’equazione del bilancio di energia. Tali equazioni risultano ancora troppo complesse per poter essere utilizzate come base per il modello di ordine ridotto della voluta. Nonostante ci`o offrono uno spunto per intuire le complesse interazioni fluidodinamiche tra la forma tridimensionale della voluta e le componenti di velocit`a. Ad esempio il flusso deve essere deviato dalle curvature della superficie interna della voluta. Nel fare ci`o vengono determinati dei gradienti radiali di pressione e velocit`a, i quali devono rispettare l’equazione 2.5. Il bilancio di massa invece, letto congiuntamente con l’equazione 2.6 permette di interpretare la relazione tra flusso attraversante la voluta, e flusso che fuoriesce dal canale anulare ed entra nel distributore. L’equazione 2.7 permette invece di analizzare le componenti assiali del flusso, connesse ad esempio con la variazione azimutale del baricentro geometrico della sezione di voluta. La necessit`a di conservazione del momento angolare, tradotta dalla equazione 2.6, garantisce che, al diminuire del raggio delle linee di corrente, la componente azimutale media della velocit`a aumenti. Allo stesso modo deve essere ottenuta una componente radiale della velocit`a, assente o trascurabile all’entrata della voluta. Questo provoca l’aumento della velocit`a complessiva del flusso; quindi, si avr`a una espansione del flusso accelerante, con annesse variazioni di pressione e densit`a. Condizioni ancora pi`u complesse si verificano quando la turbina non lavora in condizioni di disegno; anche qui le problematiche sono minori di quelle caratteristiche delle pompe, ma comunque la voluta si trova a dover lavorare un flusso non perfettamente compatibile con le capacit`a del rotore che segue; ci`o causa perdite dovute al cambiamento di direzione del flusso rispetto alle condizioni di disegno. Problemi di modello ancor pi`u gravi, si ravvisano nel caso di transitori e condizioni non stazionarie. Si intuisce quindi la difficolt`a di trattare un flusso cos`ı complesso in maniera esau- stiva. In ogni modo, occorre puntualizzare che la tesi mira al raggiungimento di una configurazione ottima, e quindi si occupa di sole condizioni stazionarie e di disegno. Inoltre un flusso accelerante `e un flusso stabile, i cui strati limite tendono a rimane- re attaccati pi`u facilmente, e quindi molte delle preoccupazioni riguardo il suo disegno vengono ridimensionate, pur rimanendo la difficolt`a di schematizzazione del flusso.
Per ci`o che riguarda l’analisi delle perdite e delle implicazioni viscose del flusso, si hanno gli stessi problemi. Gli strati limite sono del tutto tridimensionali e curvano rapidamente all’uscita dalla voluta. In ogni modo, la natura accelerante del flusso, e la necessit`a di una schematizzazione, rendono possibile, ed auspicabile, un trattamento delle perdite semplificato. Una strategia semplificata di trattare le perdite sta nel considerare la voluta come un condotto, caratterizzato da una velocit`a media di attraversamento del flusso, e da un diametro idraulico. Le perdite vengono quindi analizzate con gli stessi metodi tipici dei condotti idraulici, cos`ı da cogliere la caduta di pressione totale. Questo tipo di analisi `e di comune utilizzo, anche perch`e non si conoscono le caratteristiche del flusso proveniente dal condotto di ingresso, e quindi un trattamento analitico o semi-analitico degli strati sarebbe inconcludente, oltre che molto complesso.
Chiaramente, laddove un modello pu`o permettersi di trascurare fenomeni comples- si quali quelli descritti, il progetto della macchina non pu`o. Tali fenomeni assumono importanza cruciale perch`e condizionano non solo le prestazioni, ma le vibrazioni, le
Figura 2.3: Esempi di forme di sezione meridionale per volute di turbine radiali.
oscillazioni del rotore, il rumore generato dalla macchina e i carichi sui vari componenti. Come detto non verranno qui esaminati, mentre sono oggetto di sperimentazioni, e di analisi computazionali, molto specifiche (vedi Rif.[13]).
Per ci`o che riguarda la forma della sezione nei piani meridionali, passanti per l’asse della macchina, esistono svariate configurazioni. Le sezioni pi`u utilizzate sono circolari, ellittiche o rettangolari, simmetriche o asimmetriche, ma configurazioni pi`u strane non sono infrequenti. Una distinzione pi`u importante riguarda la possibilit`a di sezioni interne o esterne, per chiarezza in figura 2.3 sono mostrate alcune possibilit`a. Una sezione esterna `e caratterizzata da un raggio medio di sezione, maggiore del raggio del canale di uscita dalla voluta. Come gi`a detto, la diminuzione del raggio permette di sfruttare la conservazione del momento angolare per aumentare la componente azimutale della velocit`a. Nelle sezioni interne invece il raggio della sezione `e quasi costante e simile al raggio di uscita dalla voluta ( caso B di figura 2.3). In questo caso l’aumento di velocit`a `e connesso alla sola rastremazione, e quindi, alla determinazione della componente radiale. Sezioni esterne sono preferibili quando si debbano avere forti accelerazioni, mentre sezioni interne quando si hanno limiti di ingombro radiale. In figura vengono mostrate due sezioni esterne, una circolare (C) ed una ellittica (A), ed una ellittica interna (B).
Il tipo di forma della sezione incide sulle perdite e sulle caratteristiche del flusso, ma in modo abbastanza complesso. In linea di massima forme pulite, e minore superficie bagnata, riducono le perdite. Come mostrato da Rif. [2], a parit`a di forma e area, raggi medi di sezione inferiori comportano perdite superiori.
Le forme di sezione mostrate in figura 2.3 sono quelle considerate dal presente mo- dello, anche se, per ridurre le perdite e sfruttare un’ ulteriore accelerazione, le analisi principali sono state condotte con una sezione ellittica esterna.