Considerazioni geometriche sul tratto di striscia di flusso tra due

In figura 4.22 `e mostrato schematicamente il dominio di soluzione che verr`a analizzato dalla procedura. Come `e stato detto pi`u volte la procedura di analisi risulta bidimen- sionale per via del fatto che lo spessore bss costituisce una informazione nota. Quindi le

strisce di flusso, anche occupando un dominio tridimensionale, sono associabili ad una superficie cilindrica con generatrice un profilo meridionale. Altro modo di esprimere il concetto `e dire che la striscia `e ritenuta cos`ı sottile da corrispondere ad una superficie.

Nel seguito si chiamer`a superficie palare ideale quella che non considera l’effetto di spessore della pala stessa; le altre vengono semplicemente chiamate superfici.

Il dominio in questione `e confinato tra due superfici palari: la superficie 1 corri- spondente al lato di aspirazione di una pala, e la superficie 2 corrispondente al lato di

pressione della pala successiva. Le coordinate meridionali interessate sono quelle carat- teristiche della striscia di flusso in questione (m; n). In cui chiaramente la coordinata meridionale varia da zero all’ingresso del rotore alla lunghezza del profilo meridionale all’uscita del rotore (chiamata mmax). La coordinata trasversale `e legata alla coordinata

meridionale dal fatto che si `e identificata una striscia di flusso ben precisa (n = n(m)). Per ogni punto di coordinate m; n nel piano meridionale, sulla striscia di flusso, si ha infine una escursione azimutale ϑ ∈ [Θ1(m; n), Θ2(m; n)]. Gli angoli estremi del dominio

considerato (Θ1(m; n) e Θ2(m; n)) non sono corrispondenti a due superfici palari (ideali)

successive, ma considerano anche gli effetti di spessore, che di fatto riducono l’escursione ideale di sp0/(rcosβB(m; n)). Si tratta comunque dell’escursione azimutale da pala a

pala, la quale entrer`a nelle equazioni potenziali attraverso il termine:

S = r(Θ2(m; n) − Θ1(m; n)) = S(m; n) (4.76)

Per quanto detto l’escursione dipende dalle coordinate m; n, anche perch`e l’effetto di spessore della pala agisce, come detto in 4.3.3, attraverso l’angolo βB = βB(m; n).

In questo modo si sono identificati i confini bidimensionali della striscia di flusso, pensata molto sottile (bss= dn), che si ripetono sotto in modo rigoroso:

m ∈ [0, mmax] ; n = n(m) ; ϑ ∈ [Θ1, Θ2] (4.77)

Per via del modo in cui la procedura potenziale viene impostata, `e utile definire un nuovo sistema di coordinate bidimensionali sul dominio preso in considerazione. L’ob- biettivo di questo nuovo sistema di coordinate `e rappresentare le intersezioni tra dominio di soluzione e superfici palari come linee coordinate del dominio. Il nuovo sistema di coordinate `e definito come:

ι = Z m 0 dm cosβd (4.78) σ = ϑ − Θ1 Θ2− Θ1 (4.79) dove il secondo costituisce una chiara adimensionalizzazione della coordinata azimu- tale. Cos`ı facendo una superficie palare 1 (lato aspirazione) `e contraddista da σ = 0 mentre la superficie 2 (lato pressione) da σ = 1; di fatto i confini azimutali del dominio considerato sono linee coordinate. La prima della due coordinate (ι) `e invece espressione della percorrenza delle particelle fluide lungo linee di corrente relative del componente ben guidato del flusso; il profilo meridionale (associato alla coordinata meridionale m) `e la proiezione di tali linee sul piano meridionale.

In realt`a nel modello esposto in Rif.[1] si analizza la possibilit`a che le due superfici palari che confinano il canale abbiano forme differenti per via delle caratteristiche di tri- dimensionalit`a della pala. Ad esempio le pale superfici di aspirazione e pressione dell’ala di un velivolo, oppure di una paletta di turbina radiale, hanno forme completamente diverse. In un caso del genere l’angolo βd che compare nell’equazione 4.78, al posto di

quello definito per la superficie palare ideale in sezione 4.3.2, dovrebbe essere definito da:

tanβd= [

r∂ϑ

∂m]σ = tanβd(m; n; σ) (4.80)

e quindi dipendere esplicitamente dalla coordinata σ. In questo modo si cerca di tradurre il fatto che le linee coordinate per valori di σ intermedi abbiano forme intermedie tra quelle ai limiti del dominio; diverse per via del fatto che le superfici palari limite hanno forme diverse. Infatti si ricorda che ϑ pu`o essere visto come funzione di σ, Θ1(m; n) e

Θ2(m; n) attraverso l’equazione 4.79. Per chiarezza si intende che βd da inserire nella

equazione 4.78 dovrebbe essere una migliore approssimazione dell’angolo di flusso relativo locale, di quella data da βB. Entrambi non corrispondono all’angolo di flusso relativo

β, che costituisce uno dei risultati dell’analisi. Tuttavia βd permette di tenere in conto

nelle equazioni che seguiranno della diversa forma delle superfici palari di aspirazione e pressione. Tuttavia proprio perch`e si parla di rotori radiali, l’errore commesso utilizzando βB `e trascurabile.

Si ritiene utile ripetere una volta per tutte il significato degli angoli β, βB e βd

definiti sin qui dal modello. L’angolo β `e l’angolo della velocit`a relativa rispetto al piano meridionale locale. Questa velocit`a non entra direttamente nelle equazioni che seguono, ma ne `e uno dei risultati principali. L’angolo βB `e l’inclinazione della superficie palare

ideale, rispetto al piano meridionale locale. Tale angolo non coincide con β per via delle componenti di flusso non corrispondenti al contributo ben guidato. Infine βd`e l’angolo

definito attraverso l’equazione 4.80, il quale differisce da βB per il fatto che tiene conto

del contributo della differenza geometrica tra le superfici di pressione ed aspirazione della pala. Proprio perch`e si parla di turbine radiali, con pale rotoriche dallo spessore costante βB e βdsono estremamente simili, tanto da poter essere considerati identici per le nostre

necessit`a. Per generalit`a nelle equazioni che seguono si considerer`a il contributo di βd,

che generalizza il caso di palette dalla distribuzione di spessore pi`u complessa.

Fortunatamente nel presente modello le due superfici palari (lato aspirazione di una pala e lato pressione della successiva) sono praticamente identiche, in termini di derivate degli angoli di superficie. Questo avviene perch`e le palette rotoriche sono molto sottili e di spessore costante, quindi le superfici palari 1 e 2 sono molto simili tra loro e rispetto alla superficie ideale della pala. Quanto detto non vale soltanto per il presente modello, ma vale in generale per rotori di turbine radiali, dove l’effetto di spessore agisce quasi esclusivamente in termini di bloccaggio sulle strisce di flusso (vedi [9]). Si avrebbe una situazione completamente opposta nel caso di turbine assiali, dove la conformazione dello spessore gioca un ruolo aerodinamico essenziale. In conclusione per il presente modello l’angolo βdche appare nell’equazione 4.78 `e il solito definito nel paragrafo 4.3.2 (e quindi

coincidente con βB).

Il nuovo sistema di riferimento analizzato, al contrario di m; n; ϑ `e del tutto non ortonormale. Lo scopo di definire tale sistema di coordinate sta nel fatto che semplifica gli sviluppi che portano alle equazioni differenziali risolutive. Nonostante ci`o si capisce che il sistema di riferimento m; n; ϑ `e del tutto interscambiabile con il sistema di riferimento

Per gli sviluppi successivi `e importante ricordare il sigificato della coordinata σ che riveste un ruolo principale nella equazioni che seguono; la coordinata ι invece gioca un ruolo marginale, ma `e bene ricordarsi che la sua direzione coincide con quella delle linee di corrente relative del flusso ben guidato.