Confronto con i risultati di altri autori

0.0001 un’indeterminazione di 4Y = 0.02 genera una variazione sulla luminosità della ZAHB di ≈ 0.05 mag.

Si suppone che l’errore introdotto dall’utilizzo della mistura solare invece di una mistura

α-enhanced sia trascurabile perché, come abbiamo verificato, questo non comporta variazioni

significative sul livello della ZAHB.

Si considera trascurabile anche l’errore dovuto all’indeterminazione della massa del progenitore perché, come abbiamo visto nel capitolo 2, per valori ragionevoli la luminosità varia in modo trascurabile con la massa del progenitore, e dunque con l’età assunta per i modelli. Infine dovremmo considerare un fattore di incertezza introdotto dall’utilizzo dei coefficienti di estinzione che sono stimati con una relazione teorica a partire dal valore assunto per l’arrossamento E (B − V ). Ricordiamo infatti che la magnitudine osservata per le stelle è legata alla magnitudine assoluta, calcolata a partire dai modelli, dalla relazione

mSλ,oss = MSλ,0+ DM + ASλ

per cui il risultato del confronto tra l’inviluppo inferiore del ramo orizzontale con la ZAHB teorica dipenderà dal valore assunto per ASλ e dunque per E (B − V ).

Questo errore è stato valutato tenendo conto dell’intervallo di valori ottenuti per l’arrossa- mento (0.015 < E(B − V ) < 0.025) e considerando l’effetto di tale variazione sui coefficienti

ASλ calcolati con la relazione data da Cardelli et al.(1989).

Sommando tutte le incertezze in quadratura per il modulo di distanza intrinseco del nostro ammasso si ottiene:

DM = 14.73 ± 0.12

4.6 Confronto con i risultati di altri autori

In questa sezione descriveremo brevemente i risultati più recenti riportati in letteratura per il modulo di distanza e l’età stimati per M92 confrontandoli con i valori ottenuti in questo studio e discutendone le differenze.

• Mayorga e Sanchez (2008). In questo articolo si utilizza la tecnica del metodo verti- cale per ricavare l’età dell’ammasso, che risulta 16 ± 2 Gyr, e il confronto tra i modelli di ZAHB e le stelle del ramo orizzontale per ricavare il modulo di distanza arrossato che è pari a DM = 14.71 riportato senza errore (per cui il modulo di distanza intrinseco, assumendo E (B − V ) = 0.02, risulta DM = 14.65). Le isocrone utilizzate sono calco- late con il codice evolutivo Victoria − Regina Stellar Models13 _{(Proffitt e Vandenberg,}

1991; Bergbusch e Vandenberg, 1992) per i valori: [Fe/H] = - 2.3, [α/Fe] = 0.3 e Y = 0.235. Si può notare che, mentre il modulo di distanza è in accordo, entro i margini di errore, con il valore ricavato nel nostro studio, l’età stimata per l’ammasso risulta molto maggiore (perfino superiore alle stime attuali dell’età dell’Universo riportate dai

13_{Le tracce evolutive e le isocrone calcolate con questo codice sono reperibili al sito “http://www2.cadc-}

4.6 Confronto con i risultati di altri autori 68

Autore età modulo di distanza intrinseco Nostri valori 11.0 ± 1.5 14.73 ± 0.12

Mayorga e Sanchez (2008) 16 ± 2 14.65 Cho e Lee (2007) ... 14.77 Dotter et al. (2007) 13.5 14.65 Paust et al. (2007) 14.2 ± 1.2 14.60 Del Principe e Piersimoni (2005) 14.62 ± 0.1 14.61 Salaris e Weiss (2002) 12.3 ±0.09 .... Carretta et al. (2000) 14.8 ± 2.5 14.68

Tabella 4.3: Nella tabella sono riportate le stime riportate da diversi autori per il modulo di distanza e l’età di M92. Mentre nel caso dell’età abbiamo riportato anche l’errore sul valore ottenuto (se presente) per il modulo di distanza abbiamo preferito non farlo perché in alcuni casi il valore riportato negli articoli faceva riferimento al modulo di distanza arrossato da cui abbiamo ricavato il valore per il modulo di distanza intrinseco sottraendo il coefficiente di estinzione nella banda fotometrica interessata calcolato assumendo E (B − V ) = 0.2. Per questo motivo all’errore stimato nell’articolo andrebbe aggiunto l’errore dovuto all’incertezza sul coefficiente di arrossamento.

cosmologi). Queste differenze sono attribuibili in parte al diverso valore di Y assunto per l’ammasso. Abbiamo infatti spiegato che un’aumento nel contenuto di elio del- l’ammasso conduce ad un ringiovanimento dell’età stimata (nel nostro caso pari a circa 8%). Le isocrone del Victoria Database sono inoltre calcolate senza tenere conto dei processi diffusivi, implementati invece nei nostri modelli, che provvedono a ringiovanire l’età stimata di circa 1 Gyr. Bisogna inoltre considerare che il codice evolutivo in questione utilizza input fisici diversi rispetto al nostro come ad esempio la meno aggiornata mistura solare di Grevesse (1991), tabelle di opacità diverse ecc.

• Cho e Lee (2007). Utilizzano i modelli citati per l’articolo precedente per stimare il modulo di distanza dal confronto del ramo orizzontale con la ZAHB teorica ricavando un valore diverso da quello di Mayorga per il modulo di distanza arrossato DM = 14.83 ± 0.21 (per cui il modulo di distanza intrinseco, assumendo E (B − V ) = 0.02 risulta essere DM = 14.77), che comunque risulta in buon accordo con il valore rica- vato nel nostro studio. La differenza tra questa stima e il valore per DM riportato da Mayorga e Sanchez (2008) è attribuibile esclusivamente all’errore osservativo nel determinare correttamente il livello della ZAHB e all’errore fotometrico sul campione di stelle utilizzato per il confronto, anche se appare un pò più grande delle stime attuali su queste incertezze.

• Dotter et al. (2007). In questo articolo vi è una descrizione del set di isocrone del Dartmouth Stellar Evolutionary Database 14_{, che che utilizza il codice evolutivo}

Dartmouth Evolutionary Stellar Program (DSEP). Queste isocrone sono utilizzate an-

4.6 Confronto con i risultati di altri autori 69

Figura 4.14: Nell’immagine è riportata un’isocrona generata con il nostro codice evolutivo (in nero) e un isocrona computata con il DSEP (in rosso) entrambe con metallicità Z=0.0001 e mistura solare.

che per eseguire il confronto dei dati osservativi di M92 nel diagramma CM (assumendo [F e/H] = −2.3 , [α/F e] = 0.4 e Y = 0.245) per cui si ricava un modulo di distanza pari a DM = 14.65 e un’età di 13.5 Gyr. Anche in questo caso l’età ottenuta risul- ta maggiore di quella ricavata nel nostro lavoro nonostante le medesime assunzioni su metallicità e valore del contenuto di elio per l’ammasso. Come si può vedere in Figura 4.14, le isocrone del Dartmouth Database risultano molto dissimili dai nostri modelli in particolare per quanto riguarda i valori di temperatura efficace in prossimità del TO. Questo può essere dovuto in parte ai diversi input fisici adottati (EOS, mistura di riferimento, sezioni d’urto), in parte dalla diversa derivazione delle condizioni a contorno atmosferiche15 ed anche dal diverso trattamento dei processi diffusivi negli inviluppi

stellari (nel caso di modelli stellari del DSEP la diffusione viene soppressa nelle regioni più esterne in massa).

• Paust et al. (2007). In questo articolo l’età e il modulo di distanza vengono ricavati dal fit della funzione luminosità dell’ammasso con la LF teorica. Le isocrone utilizzate

15_{Nei nostri modelli utilizziamo una relazione che lega la temperatura alla profondità ottica ed estraiamo}

le condizioni a contorno ad una profondità ottica prefissata mentre il DSEP utilizza modelli di atmosfera per esprimere la pressione in funzione della temperatura efficace e della gravità e calcola le condizioni a contorno nella struttura dove T = Tef f.

4.6 Confronto con i risultati di altri autori 70

per generare la LF sono calcolate con il codice di Dartmouth (vedi Dotter et al., 2007) per i valori di [Fe/H] = -2.17 e [α/Fe] = 0.4. I valore ottenuto per il modulo di distanza intrinseco è pari a DM = 14.60 ± 0.09 mentre per l’età 14.2 ±1.2 Gyr. Le stime riportate, nonostante il diverso valore di [Fe/H] assunto, sono simili ai valori ricavati nell’articolo di Dotter et al. (2007).

• Del Principe e Piersimoni (2005) Il modulo di distanza intrinseco dell’ammasso viene stimato da una relazione teorica tra periodo di pulsazione e luminosità per le RR Lyrae ed è uguale a DM = 14.61 ± 0.03. Una volta stabilito il modulo di distanza, la stima dell’età dell’ammasso è ottenuta mediante il confronto dei dati con le isocrone teoriche del Basti Database (Pietrinferni et al., 2004) e risulta 14.62 ± 0.1 Gyr (as- sumendo [F e/H] = −2.25, [α/F e] = 0.30 e Y = 0.245). La differenza tra la nostra stima dell’età e quella riportata in questo articolo è in gran parte dovuta al fatto che le isocrone utilizzate sono calcolate senza tener conto dei processi diffusivi che ringio- vaniscono l’ammasso di ∼ 1 Gyr e con diverse assunzioni per gli input fisici rispetto ai nostri modelli, come ad esempio le tabelle di equazione di stato diverse. In Figura 4.15 è riportato il confronto tra un’isocrona del Basti Database e una nostra isocrona teorica di stessa età. Si osserva che la morfologia è molto diversa e in particolare la ZAHB ripresa da Basti Database è più luminosa di ≈ 0.06 mag (per il Basti database

V(HB) = 0.38±0.02 mag mentre per il nostro modello di ZAHB V (HB) = 0.44±0.02

mag) rispetto ai nostri modelli, in accordo con i risultati di Castellani e Degl’Innocen- ti (1999) che prevedono appunto uno “shift” di questo ordine nel livello della ZAHB qualora non si considerino effetti diffusivi. Per completezza abbiamo stimato l’età di M92 con il metodo verticale utilizzando i modelli del Basti Database ed abbiamo trova- to valore di ∼ 13 ÷ 14 Gyr. Aggiungiamo brevemente che se si confronta il Basti Database con il Darthmouth Database, nonostante gli input fisici utilizzati dai codici siano diversi (per quanto riguarda mixing lenght, EOS, sedimentazione gravitazionale, ecc.), si ottiene buon accordo tra le isocrone (e abbiamo verificato che in entrambi i casi il miglior accordo con i dati a nostra disposizione si ottiene per un’isocrona di età pari a 13.5 Gyr). Anche se nel diagramma H-R le isocrone del DSEP sono leggermente più calde e luminose delle altre in prossimità del turn off e del ramo delle subgiganti questo non risulta molto evidente nel CMD a causa delle differenze nelle trasformazioni di colore adottate che mascherano queste diversità (Dotter et al., 2007).

• Salaris e Weiss (2002). In questo articolo viene determinata l’età per un campione di 55 ammassi globulari tra cui M92. Gli autori procedono dividendo gli ammassi in gruppi di metallicità simile e stimando l’età con il metodo verticale per un ammasso globulare di riferimento per ogni gruppo di cui determinano anche il modulo di distanza mediante il confronto del ramo orizzontale con i modelli di ZAHB. I modelli teorici utilizzati sono descritti in Weiss e Salaris (1999) e assumono [α/Fe] = 0.4, Y = 0.23 e 4Y/4Z = 3. Questa procedura serve per calibrare la differenza in colore tra il TO e la base del RGB degli ammassi in funzione di età e metallicità. L’età degli ammassi restanti viene ricavata in modo differenziale valutando appunto le differenze nell’estensione del ramo delle subgiganti rispetto agli ammassi di riferimento. Questo modo per determinare

4.6 Confronto con i risultati di altri autori 71

Figura 4.15: Nell’immagine sono riportati la ZAHB e un’isocrona di 12 Gyr (calcolati per Z = 0.0001 e mistura solare) del Basti Database (in nero) e calcolati con il nostro codice evolutivo (in rosso).

l’età, detto anche “metodo orizzontale”, può essere utilizzato anche nel caso di ammassi per cui risulta problematico stabilire il livello del HB. E’ tuttavia più incerto del metodo verticale perché le proprietà differenziali in colore tra TO e RGB, oltre a dipendere dalla metallicità, sono soggette alle incertezze correnti nel trattamento della convezione nei modelli e delle trasformazioni di colore. Aggiungiamo comunque che la distribuzione di età degli ammassi rispetto all’età assoluta degli ammassi di riferimento viene ricavata in maniera differenziale per cui dovrebbe essere affetta solo in minima parte da tali incertezze. Il valore dell’età stimata per M92 è di 12.3 ± 0.09 Gyr che risulta in accordo entro i margini di errore con il valore ricavato nel nostro studio.

• Carretta et al. (2000). Ricavano il modulo di distanza e l’età con un ulteriore metodo che consiste nel confronto delle subnane dell’ammasso con subnane di campo di distan- za conosciuta mediante misure di parallasse del catalogo di Hipparcos. Senza entrare nei dettagli, questa tecnica consiste nel ricostruire una sequenza principale empirica con stelle di campo di metallicità simile a quella dell’ammasso studiato con cui si va poi a eseguire il confronto della sequenza principale dell’ammasso stesso nel diagram-

4.6 Confronto con i risultati di altri autori 72

ma colore-magnitudine. Tale metodo dipende dall’accuratezza di magnitudini, colori, arrossamento e metallicità assunti sia per le stelle dell’ammasso in questione, sia per le subnane di campo utilizzate, oltre alla corretta valutazione dello stato evoluzionario di queste ultime. Nel caso di M92 inoltre la procedura è complicata dal fatto che non si hanno misure di parallasse per stelle di metallicità simile alle stelle dell’ammasso per cui occorre fare ricorso ad una relazione colore-metallicità per traslare la sequenza principale empirica utilizzata per il confronto nel grafico CM. Questo fa sì che la determinazione dell’età di M92 risulti più incerta rispetto ad altri ammassi studiati con questo metodo. Il valore ottenuto per il modulo di distanza arrossato è pari a DM = 14.74 ± 0.07 (per cui il modulo di distanza intrinseco risulta pari a

DM = 14.68 ± 0.07) che risulta in accordo, entro i margini di errore, con il valore rica-

vato nel nostro studio mentre il valore dell’età è 14.8 ± 2.5 Gyr che differisce dal valore medio ricavato per tutti gli altri ammassi di età avanzata studiati in questo lavoro (12.3 Gyr).

Come si può notare dai valori riportati in Tabella 4.3, le differenze tra le stime dell’età di M92 riscontrate tra vari autori risultano maggiori delle incertezze stimate per i vari fattori che influenzano la determinazione dell’età per gli ammassi globulari. Questo può essere dovuto a varie cause. Per prima cosa è necessario precisare che l’incertezza totale stimata con il nostro lavoro si riferisce all’utilizzo del metodo verticale mentre alcuni autori che abbiamo citato stimano l’età di M92 con altre procedure. Inoltre le stime calcolate nel nostro studio sugli errori dovuti agli input fisici si basano sulle attuali incertezze di input fisici aggiornati mentre alcuni autori utilizzano input fisici non aggiornati. Infine le nostre stime si basano sull’ipotesi di errore fotometrico trascurabile che nel nostro caso è giustificata dall’utilizzo di dati fotometrici molto accurati ed adeguatamente selezionati. Molti autori, che fanno riferimento a campioni di dati osservativi meno recenti, non tengono conto di questa ulteriore fonte di incertezza.

Mentre il modulo di distanza ottenuto con nostro studio concorda, entro il margine di errore, con il valore medio per la distanza dell’ammasso ricavato dagli studi riportati in Tabella 4.3 la nostra valutazione dell’età è significativamente minore rispetto alle altre. Bisogna comunque precisare che molti valori riportati negli articoli citati non sono compatibili con i risultati ddl Microwave Anisotropy Probe per l’età dell’universo di 13.7 ± 0.2 Gyr (Spergel et al., 2003) e che il valore ottenuto con il nostro studio è in accordo entro il margine di errore con l’età media degli ammassi globulari: 12.6 ± 1.2 Gyr, ricavata dalla luminosità del turn off in Krauss e Chaboyer (2003).

Capitolo 5

Funzione di luminosità (LF) e “RGB

bump”

I dati osservativi ci forniscono non solo la posizione delle stelle nel diagramma CM ma anche il numero di stelle che popolano l’isocrona teorica per un dato intervallo di magnitudine e colore, ovvero la “funzione di luminosità” dell’ammasso (LF = Luminosity Function). Dal confronto di questi dati con le funzioni di luminosità teoriche è possibile verificare l’accuratezza dei modelli evolutivi almeno per quanto riguarda la corretta riproduzione dei tempi scala dell’evoluzione stellare.

Abbiamo già accennato in precedenza che, per una data composizione chimica, un’isocrona rappresenta l’insieme dei punti rappresentativi, ad una data età dell’ammasso, di stelle di masse diverse che evolvono lungo la propria traccia evolutiva. Si può dunque definire una vari- abile S = (Tef f(M, t) , L (M, t)) che rappresenta la posizione curvilinea lungo una generica

isocrona.

Nelle fasi evolutive successive al turn off la velocità evolutiva aumenta notevolmente per cui è lecito confondere l’isocrona con la traccia della massa che si trova al TO di una data isocrona. Questa affermazione è giustificabile dalla relazione per la variazione di massa lungo un’isocrona che segue dalla definizione di S:

∂M ∂S ! t = − ∂M ∂t ! S ∂t ∂S ! M (5.1) dove (∂M/∂S)t è la variazione in massa lungo un’isocrona di età fissata, (∂M/∂t)S è la

variazione della massa che si trova in una posizione S in funzione dell’età dell’isocrona e (∂S/∂t)M è la velocità evolutiva di una stella di massa M in fase S. Si osserva infatti che al

crescere delle velocità evolutive la variazione di massa lungo l’isocrona tende a zero.

∂S ∂t ! M → ∞ ∂M ∂S ! t →0 (5.2)

Se indichiamo con dN è il numero di stelle che popolano l’ammasso in un intervallo di ascissa curvilinea dS, il valore osservato per Φ = dN/dS, nel caso di fasi evolutive avanzate, è correlabile alle proprietà evolutive delle singole stelle dal momento che:

74 Φ (S, to) = Ψ (M) ∂M ∂S ! t = −Ψ (M) ∂M ∂t ! S ∂t ∂S ! M (5.3) avendo indicato con Ψ (M) = dN/dM la distribuzione di masse propria dell’ammasso (IMF). Per fasi evolutive avanzate infatti possiamo porre Ψ (M) ∼ cost e (∂M/∂t)S ∼ cost. Sotto

tali condizioni il numero di stelle in una data fase evolutiva risulta proporzionale al tempo speso dalle stelle evolventi (di massa M) lungo la loro traccia in tale fase. Riprenderemo questo concetto nel prossimo capitolo quando confronteremo i tempi evolutivi delle stelle nelle fasi avanzate.

Dalla formula 5.3 si può facilmente dedurre che la LF di un ammasso sotto la magnitudine del TO è il riflesso delle IMF dell’ammasso, modulata dagli effetti di segregazione dinamica di massa, mentre sopra al TO rivela il progredire della shell che brucia idrogeno attraverso le stelle in fase di gigante rossa e può portare informazioni sulla struttura e composizione interna delle stelle in tale fase e in particolare sull’efficienza della convezione. Questo per- ché la stratificazione dell’idrogeno, incontrata dalla sottile shell di combustione, incide sui tempi evolutivi delle singole stelle e dunque sui conteggi delle stelle in RGB. La convezione superficiale produce inoltre un fenomeno osservabile nel grafico CM e nella LF dell’ammasso. Come abbiamo accennato in precedenza (per maggiori informazioni vedi Appendice B) in fase di gigante rossa le stelle subiscono il primo “dredge up” durante il quale l’inviluppo convettivo raggiunge la sua massima estensione in massa (Mconv/MT OT ∼0.3) raggiungendo

strati parzialmente elaborati dalle reazioni nucleari nel corso della combustione centrale di idrogeno che, a causa della bassa dipendenza della catena pp dalla temperatura, hanno inter- essato una vasta porzione della struttura. Oltre a modificare l’abbondanza superficiale degli elementi secondari1 e dell’elio, che può essere osservata spettroscopicamente, il dredge up

produce un picco caratteristico nella LF delle stelle in RGB. Infatti quando la shell di combustione dell’idrogeno, avanzando verso l’esterno della struttura, incontra la discontinuità in composizione chimica lasciata dall’inviluppo convettivo subito dopo il primo dredge up, la sua efficienza ne è affetta. L’improvviso aumento del carburante disponibile e la variazione nelle abbondanze degli elementi secondari provocano una diminuzione della luminosità della stella. Dopo un certo tempo gli elementi secondari tornano all’equilibrio e la luminosità ricomincia ad aumentare. Come conseguenza la stella attraversa lo stesso intervallo di lumi- nosità tre volte per cui vi sarà un tratto del ramo delle giganti nel quale le stelle spendono un tempo relativamente lungo, rispetto ai tempi con cui vengono percorsi altri tratti del ramo, che corrisponderà ad un’anomala abbondanza di stelle a cui si dà il nome di “Red Giant

Branch Bump” (RGB bump). In Figura 5.1 sono mostrati gli andamenti della luminosità in

funzione della temperatura efficace e della massa evolvente in prossimità del RGB bump per un’isocrona di 11 Gyr.

Il bump genera dunque un picco nella funzione di luminosità dell’ammasso e, poiché il profilo di abbondanza di H è diverso prima e dopo la discontinuità, il tasso di avanzamento della shell cambia causando una variazione nella pendenza della LF prima e dopo il picco.

1_{Per elementi secondari si intendono gli elementi che sono contemporaneamente prodotti e distrutti in}

una serie di reazioni. Nel caso specifico si tratta degli elementi che fungono da catalizzatori del ciclo CNO le cui abbondanze raggiungono i valori di equilibrio.

Figura 5.1: Nell’immagine in alto è mostrata un’isocrona di 11 Gyr in prossimità del RGB bump nel diagramma di HR. Nell’immagine in basso abbiamo riportato l’andamento della luminosità della medesima isocrona in funzione della massa evolvente.

5.1 Riproduzione del RGB bump teorico 76

5.1 Riproduzione del RGB bump teorico

Come è mostrato in Figura 5.2 la magnitudine apparente del RGB bump di M92, ricavata mediante conteggi stellari ottenuti dai dati osservativi nel diagramma CM, risulta V (bump) =

−14.62 mag (Bono, conversazione privata), in pieno accordo con il valore riportato da altri

autori tra i quali, ad esempio, Cho e Lee (2007) e Ferraro et al. (1999).

Figura 5.2: Funzione di luminosità di M92 in prossimità del RGB bump. I conteggi stellari (N?) sono normalizzati rispetto al numero di stelle nel RGB bump. L’immagine è stata

ripresa da Di Cecco et al. (2010).

Per riprodurre la funzione di luminosità sintetica dell’ammasso, e in particolare la posizione del bump, abbiamo utilizzato un codice che popola un’isocrona data, per cui si conosce

Nel documento Fasi evolutive avanzate in stelle di ammasso globulare (pagine 67-78)