diminuzione della massa del nucleo convettivo e sopra di esso verrà lasciata una regione dalla composizione chimica arricchita. Nell’evoluzione successiva il nucleo crescerà di nuovo e l’andamento sarà ciclico. Il comportamento del nucleo convettivo in questo caso simula il nostro modello per cui sembra lecito trattare la semiconvezione come overshooting perché alla fine i risultati ottenuti sono gli stessi.
Questa modellizzazione ha però il difetto che la massa finale del nucleo convettivo dipende fortemente dal valore attribuito al parametro libero (Dorman e Rood, 1993) per cui l’accordo dei risultati è valido solo a causa del valore assunto per Fov. Inoltre il tentativo di ovviare
al problema del trattamento istantaneo della convezione negli interni stellari è abbastanza inutile perché i tempi di mescolamento convettivo sono sicuramente inferiori rispetto ai passi temporali che possono essere di fatto utilizzati nei codici evolutivi per cui si può generalmente assumere un mescolamento istantaneo.
6.3
Fase di esaurimento dell’elio centrale
La fase di esaurimento dell’elio centrale (approssimativamente verso Yc≤0.10) è più compli-
cata rispetto alla precedente evoluzione a causa dell’apparizione di alcune instabilità al bordo esterno del nucleo convettivo nei modelli teorici calcolati dai codici evolutivi (vedi ad esempio Sweigart e Demarque, 1973; Caloi e Mazzitelli, 1993; Caputo et al., 1989). Queste instabil- ità, che prendono il nome di breathing pulses (BP), appaiono sia in modelli che adottano lo schema semiconvettivo che in quelli con overshooting meccanico mentre nei modelli con over- shooting dipendente dal tempo si osservano contrazioni ed espansioni del nucleo convettivo durante quasi tutta l’evoluzione.
Nonostante i BP siano stati ampiamente studiati nel corso degli anni in letteratura non è ancora chiaro se si tratti di un fenomeno reale o di un artefatto dovuto alle procedure di calcolo numerico visto che in passato alcuni autori non ne riscontravano l’esistenza con gli stessi codici evolutivi (Caputo et al., 1978). L’unica certezza raggiunta è che perturbazioni di composizione di sufficiente ampiezza, siano queste reali o artificiali, possono condurre ad un mescolamento convettivo che si autoalimenta.
La spiegazione fisica spesso invocata (vedi Castellani et al., 1985; Castellani, 1985) per motivare l’esistenza dei pulsi è una sorta di “instabilità di opacità” dovuta al fatto che quando
Yc . 0.2 le catture di particelle α da parte di nuclei di12C tendono a superare la produzione
di carbonio da parte della reazione 3α per cui l’abbondanza di 16
O aumenta notevolmente
mentre la velocità di distruzione di elio rallenta. La trasformazione del carbonio in ossigeno innalza ulteriormente l’opacità della materia forzando la semiconvezione verso regioni più esterne in massa e arricchendo il nucleo di materiale ricco di elio. Al diminuire di Yc la
situazione diventa sempre più critica perché un modesto arricchimento di elio si traduce in una considerevole variazione percentuale nell’abbondanza di tale elemento all’interno del nucleo. In questa fase un piccolo aumento di elio provoca dunque un significante incremento della produzione di energia nucleare che tenderà a far crescere il gradiente radiativo contrastando il meccanismo di stabilizzazione legato all’opacità. Ad un certo punto l’effetto del flusso inizia a prevalere innalzando il gradiente radiativo in tutto il nucleo e causando una rapida crescita
6.3 Fase di esaurimento dell’elio centrale 138
della regione convettiva. Questa rapida espansione causa il mescolamento di mesh sempre più massivi che finiscono per diminuire di nuovo il valore del gradiente e l’estensione in massa del nucleo stesso.
In genere nei modelli si riscontra le presenza di tre pulsi principali4 prima del completo
esaurimento dell’elio centrale che hanno l’effetto di prolungare ulteriormente il tempo di vita in fase di HB (Castellani et al., 1985).
L’ipotesi però che sia il flusso nucleare a guidare l’estendersi del pulso del nucleo convettivo è stata contestata da Caloi e Mazzitelli (1993) secondo i quali, anche se il meccanismo di innesco dell’instabilità è probabilmente dovuto ad un meccanismo di opacità, l’instabilità prosegue alimentata non dal flusso di energia nucleare bensì dall’energia termica del materiale che viene mescolato nel nucleo.
Questa considerazione deriva dal confronto del tempo termico del nucleo convettivo rispet- to al tempo scala di propagazione del pulso (∼ 104 yr).
Il tempo termico (calcolato in anni) al bordo del nucleo convettivo
τth ∼
2 × 107M2
LR
(dove L, M e R sono dati in unità solari) è pari a circa 106yr (Caloi e Mazzitelli, 1993).
Il tempo scala di espansione del nucleo convettivo τc nel caso di instabilità di questo
genere può divenire dell’ordine di τth o anche inferiore. Mentre la composizione chimica,
modificata dai processi di convezione, e il tasso di produzione di energia nucleare centrale sono ricalcolati ad ogni integrazione della struttura, e dunque dopo un intervallo di tempo pari al passo temporale, l’aggiustamento del profilo di luminosità interna delle strutture avviene in tempi scala dell’ordine del tempo termico. Questo implica che la crescita del pulso convettivo, ovvero della rapida espansione del nucleo, avviene quando l’energia nucleare prodotta nelle regioni centrali della stella, incrementata dall’afflusso di elio fresco, non ha ancora raggiunto il bordo del nucleo convettivo. Tale comportamento è stato confermato con modelli stellari calcolati con passi temporali molto brevi in cui si osserva che i BP crescono prima che il flusso centrale di energia nucleare, aumentato dal precedente mescolamento, raggiunga il bordo del nucleo (Caloi e Mazzitelli, 1993).
Ad ulteriore conferma abbiamo calcolato una traccia di ramo orizzontale per una strut- tura stellare di 0.70 M e abbiamo riportato gli andamenti temporali delle varie quantità di
interesse al sopraggiungere delle instabilità. Nell’immagine in alto in Figura 6.6 sono mostrati gli andamenti dell’abbondanza centrale di elio Yc, della massa del nucleo convettivo Mcc e
della luminosità prodotta dalla reazione 3α.
Come si può notare in figura, la crescita del nucleo convettivo avviene in tempi scala inferiori al tempo termico, e corrispondentemente si verifica un aumento dell’abbondanza centrale di elio e della luminosità centrale. Risulta dunque evidente che non può essere il flusso nucleare a guidare l’avanzata del pulso dal momento che questo ha bisogno di un tempo pari al tempo termico per raggiungere il bordo convettivo.
Dall’immagine si può osservare come il nucleo subisca una rapida espansione a cui fa seguito un’improvvisa diminuzione dell’estensione fino a valori inferiori rispetto a quelli della
6.3 Fase di esaurimento dell’elio centrale 139
Figura 6.6: Nell’immagine è mostrato l’andamento temporale della luminosità centrale (in verde), dell’abbondanza di elio centrale (in nero) e della massa del nucleo convettivo (in rosso) durante la fase finale di ramo orizzontale per una stella di massa M = 0.70 M .
precedente evoluzione. Questo andamento si spiega con il fatto che l’avanzata del nucleo conduce al mescolamento di mesh sempre più massivi che nella fase finale modificano le condizioni centrali in modo tale da far retrocedere la posizione del minimo. Questo è suppor- tato dal fatto che l’aumento dell’abbondanza di elio centrale, e la conseguente diminuzione dell’opacità della regione, è legata alla diminuzione nell’estensione del nucleo.
A seguito dell’instabilità si osserva una nuova crescita su tempi scala maggiori rispetto al tempo termico che può essere in questo caso alimentata dal flusso nucleare fino a raggiungere le condizioni antecedenti al pulso dopo di che si assiste ad una nuova instabilità e il processo si ripropone.
Resta da capire cosa alimenti l’espansione durante il pulso stesso dal momento che Caloi e Mazzitelli (1993) hanno dimostrato che l’avanzamento del bordo convettivo non è dovuto all’aumento del flusso nucleare.
Una delle ipotesi proposte (Caloi e Mazzitelli, 1993) è che la crescita del pulso sia autoalimentata da un’instabilità termica.
Il tasso di energia termica liberata può essere scritto in questa forma:
th= −T dS dt = −Cp dT dt + %TP ρ2 dP dt − T ∂S ∂Y dY dt − T ∂S ∂C dC dt (6.9)
6.3 Fase di esaurimento dell’elio centrale 140
In questa equazione Cp è il calore specifico a pressione costante e ρT è la derivata della
densità a temperatura costante. Il diversi termini nell’equazione rappresentano rispettiva- mente il calore aggiunto al sistema innalzando la sua temperatura, il lavoro fatto dal sistema in espansione adiabatica e i cambiamenti di entropia risultanti dall’evoluzione chimica. Il primo termine è sempre negativo dal momento che i cambiamenti in temperatura sono con- trollati dall’evoluzione nucleare. Il secondo termine è positivo se la regione in questione si contrae e viceversa. Le derivate parziali degli ultimi due termini sono approssimativamente costanti e questi contributi all’energia termica sono normalmente positivi.
Nelle integrazioni delle strutture stellari il contributo dell’energia termica (o gravitazionale)
εthin ogni mesh della stella è calcolato valutando dT/dt e dP/dt come le variazioni della pres-
sione e della temperatura nel mesh tra due modelli successivi divise per il passo temporale del programma.
E’ stato verificato con simulazioni numeriche che il tasso di generazione dell’energia ter- mica del gas stellare è leggermente maggiore nelle regioni subito esterne al bordo convettivo rispetto alle regioni interne. Dal momento che nei modelli stellari si ignorano altre forme di generazione di energia (ad esempio convettiva o cinetica) il profilo di luminosità in prossim- ità del bordo del nucleo convettivo è dovuto solamente al contributo dell’energia termica rilasciata.
Durante l’espansione del nucleo convettivo la convezione arricchisce la regione centrale di materia a maggiore luminosità termica e gradiente radiativo. Se la crescita della convezione fosse lenta la struttura avrebbe il tempo di rilassarsi termicamente. In questa fase però le quantità fisiche in gioco cambiano molto velocemente per cui i passi temporali necessari a seguire l’evoluzione del sistema, solitamente utilizzati nei codici stellari, sono di gran lunga inferiori al tempo termico. Quindi la struttura viene ricalcolata dopo un passo temporale molto breve che corrisponde di fatto a far espandere la struttura in un tempo scala minore del tempo termico. Per questo motivo la struttura stellare non ha il tempo di riassestarsi e il gradiente radiativo al bordo del nucleo si trova ad essere maggiore di quello che aveva la struttura nel caso di situazione stabile per cui la crescita del nucleo si autoalimenta.
Quindi, secondo questa interpretazione del fenomeno, i BP si innescherebbero a causa di una instabilità di opacità che comporterebbe una modifica significativa nelle dimensioni del nucleo, a cui farebbe seguito una instabilità termica che autoalimenta tale espansione.
Nell’articolo di Caloi e Mazzitelli (1993) si giunge comunque alla conclusione che l’avven- to di una instabilità di opacità è dovuto alla finitezza del mesh zoning nelle integrazioni numeriche della struttura poiché questo influenza il momento in cui si osservano i pulsi nelle tracce evolutive. Mescolando materia a tassi infinitesimali si suppone che anche il gradiente radiativo si riaggiusti in modo da non causare modifiche improvvise nella massa del nucleo centrale.
Se si segue infatti, da un punto di vista teorico, l’andamento nel tempo delle varie quantità che determinano l’instaurarsi di una instabilità convettiva al bordo del nucleo, quali opacità e produzione nucleare, non si trovano evidenze che giustifichino l’esistenza dei BP.
Consideriamo ad esempio la dipendenza dell’opacità dai cambiamenti in composizione e nelle variabili fisiche della struttura ad un dato punto in un sistema di riferimento lagrangiano (vedi Dorman e Rood, 1993). L’opacità nei nuclei di stelle in fase di ramo orizzontale è dom-
6.3 Fase di esaurimento dell’elio centrale 141
inata principalmente dallo scattering elettronico, che è indipendente dalla composizione del nucleo stesso, e dall’assorbimento free-free. Se assumiamo che le varie componenti dell’opacità media di Rosseland siano in buona approssimazione addittive possiamo scrivere
κ= κf f(P, T, X) + κee(P, T )
dove con κf f e κee si indicano i contributi all’opacità da parte dell’assorbimento free-free e
dello scattering elettronico rispettivamente mentre X rappresenta il vettore delle abbondanze degli elementi chimici. L’opacità free-free può essere espressa mediante la formula di Kramer modellizzando il gas stellare del nucleo convettivo come una mistura con Y + O + C = 1.
κf f '3.68 × 1022X i XiZi2 Ai ρT−72 =⇒ κf f ∝(4 − 3Y − C)ρT− 7 2
Se indichiamo le derivate dell’opacità rispetto a pressione e temperatura come
κp = ∂logκ ∂logP ! T ,X , κT = ∂logκ ∂logT ! P,X ,
possiamo derivare la seguente espressione che descrive l’andamento dell’opacità nel tempo (vedi Dorman e Rood, 1993).
dlog κ(M) dt = −3 ˙Y − ˙C 4 − 3Y − C ! + κP ∇rad + κ T ˙T T
Durante tutta la fase di ramo orizzontale la progressiva diminuzione dei reagenti aumenta monotonicamente la temperatura nella regione del nucleo e, dal momento che i tempi scala nucleari diminuiscono all’aumentare della temperatura, segue che l’aumento della temper- atura è molto maggiore nella fase di esaurimento dell’elio. La dipendenza dell’opacità dalla temperatura è maggiore rispetto alla dipendenza dalla pressione e il coefficiente che moltiplica
˙T nell’espressione risulta sempre negativo nel nucleo convettivo.
Nel termine che dipende dalla composizione ci sono invece due effetti opposti. La com- bustione nucleare aumenta la frazione di materiale a maggiore opacità nel nucleo mentre il mescolamento convettivo tende a portare fuori questo materiale processato nuclearmente. Durante la prima fase di ramo orizzontale il termine di composizione domina e l’opacità aumenta. Nell’ultima parte dell’evoluzione però, quando la combustione di elio inizia a pro- durre ossigeno, sia ˙Y che ˙C sono negativi per cui il primo termine nell’equazione diviene positivo. Quando Yc → 0 la composizione chimica del nucleo diviene approssimativamente
costante e le derivate di Y e C tendono a zero. Per questo motivo nell’ultima fase di ramo orizzontale si avrà che nel nucleo convettivo dκ(t, M) < 0 (dove M e t sono le coordinate in massa e in tempo), ovvero una diminuzione dell’opacità con il tempo. Ne segue che durante l’evoluzione dovrà esistere un massimo locale nell’opacità prima che l’elio centrale sia del tutto esaurito. E’ importante considerare che il bilancio dei termini nell’equazione dipende dal grado di mescolamento assunto. Nel caso di modelli semiconvettivi è stato verificato che
6.3 Fase di esaurimento dell’elio centrale 142
la derivata temporale dell’opacità ˙κ ' 0 quando Yc∼0.2 ed è negativa ma sempre prossima
a zero per Yc<0.1 (Dorman e Rood, 1993).
Quello che contraddistingue l’ultima fase è dunque un rapido aumento della temperatura centrale che assicura la costanza dell’opacità (κ(M) 'costante). Circa nello stesso momento in cui l’opacità cambia andamento anche la produzione di energia nucleare cessa di aumentare (Dorman e Rood, 1993), come si può verificare dall’andamento della luminosità 3α riportato in Figura 6.6. L’efficienza delle reazioni è infatti determinata da due effetti contrapposti, ovvero la dipendenza dalla temperatura e dalla quantità di combustibile disponibile, che possono compensarsi.
Come abbiamo spiegato in precedenza, per avere instabilità convettiva il gradiente radia- tivo deve crescere oltre la condizione di instabilità per cui, in condizioni di opacità costante, il flusso energetico del nucleo deve aumentare con la temperatura mentre in questo caso accade l’esatto contrario. L’andamento che ne consegue è una diminuzione del gradiente radiativo che comporta uno spostamento del minimo in regioni più interne in massa e di conseguenza una contrazione del nucleo convettivo. La zona di semiconvezione, non essendo più alimen- tata chimicamente dal nucleo centrale, diverrà marginalmente radiativa e cesserà di crescere in massa.
Se questo andamento, che rappresenta la conseguenza logica della teoria della semicon- vezione canonica, rispecchia di fatto il comportamento delle stelle in fase di ramo orizzontale non dovremmo osservare instabilità del bordo convettivo causate da improvvisi cambiamenti di composizione ed opacità.
Nel caso di modellizzazioni stellari però la composizione chimica e le variabili fisiche della regione convettiva non sono precisamente determinate essendo strettamente collegate al mesh zoning e al passo temporale assunto dal codice evolutivo. Il trattamento della convezione adottato prevede che minime deviazioni dalla condizione di stabilità al bordo convettivo inneschino la convezione dal momento che, nelle condizioni fisiche caratteristiche degli interni stellari di HB, piccole superadiabaticità sono in grado di trasportare l’intero flusso. Queste deviazioni dalla stabilità possono in principio innescarsi a causa di rumore numerico dal momento che negli ultimi stadi evolutivi ci sono molti fattori che rendono più difficile l’interpolazione della struttura stellare.
Nelle ultime fasi, ad esempio, il minimo del gradiente si allarga ed occupa una zona molto ampia della struttura per cui risulta più difficile stabilire con esattezza l’estensione della regione convettiva. L’ampiezza della regione convettiva influenza del resto il valore dell’opacità e al tempo stesso piccoli cambiamenti nel valore dell’opacità possono dare luogo a grandi modifiche nell’estensione della regione di mescolamento.
Anche la temperatura aumenta molto velocemente per cui, se si sottostima la temperatura tra un passo temporale e l’altro del modello ne seguirà una sovrastima dell’opacità, del gradiente radiativo e della massa del nucleo convettivo. Tutte queste complicazioni possono dare luogo ad una crescita improvvisa del nucleo convettivo e ad una modifica sostanziale della sua composizione chimica e dell’opacità interna che causa il fenomeno dei BP.
Alcuni autori (vedi ad esempio Dorman e Rood, 1993) riportano che, nei modelli calco- lati, l’insorgenza dei BP o la mancata convergenza dei modelli stellari seguiva sempre ad una sovrastima della massa dei nuclei convettivi causata da rumore numerico. Anche nel caso