indotta 132
stimato per gli ammassi globulari mediante il parametro R3 ed i risultati cosmologici più
recenti per quanto concerne il quantitativo di elio primordiale dell’universo (Cassisi et al., 2003).
Quello che abbiamo descritto in questa sezione è il comportamento del gas stellare riscon- trato nei modelli teorici calcolati con codici evolutivi modificati per riprodurre il meccanismo di autotrascinamento del nucleo e della shell convettiva al fine di verificare la condizione di stabilità. Per completezza notiamo che alcuni autori (Caloi e Mazzitelli, 1993) sostengono che la comparsa di una regione di semiconvezione sia un prodotto artificiale delle modellizzazioni causato dal trattamento della convezione come un meccanismo locale e isotropico. Vedremo che è possibile riprodurre un aumento progressivo della massa del nucleo con altri tipi di modellizzazione che non comportano la presenza di regioni semiconvettive e che sono in gra- do di riprodurre anch’essi tempi evolutivi praticamente equivalenti ai modelli che prevedono semiconvezione.
6.2
Modellizzazione dell’autotrascinamento del nucleo
e della semiconvezione indotta
Il problema dell’ammontare del mescolamento convettivo attorno al nucleo, in stelle che bruciano He, è estremamente importante per determinare molti parametri evolutivi quali ad esempio la composizione chimica finale, i tempi di vita caratteristici di questa fase e la grandezza del nucleo di C/O alla fine della combustione centrale di He. La struttura stellare al termine della fase di ramo orizzontale, che dipende dal grado di mescolamento assunto, influenzerà poi tutte le fasi evolutive successive. Ad esempio la grandezza del nucleo di C/O all’esaurimento dell’elio centrale determina i tempi di vita della successiva fase di AGB e la massa limite per l’innesco del carbonio quiescente nelle fasi più avanzate.
I valori teorici ottenuti per i modelli di HB devono essere dunque confrontati con gli osservabili stellari disponibili per verificarne la correttezza e per scegliere lo scenario di mescolamento più probabile.
I conteggi stellari negli ammassi globulari ci forniscono stime per il tempo evolutivo in fase di ramo orizzontale mentre i dati sismologici delle nane bianche ci forniscono indicazioni sulla composizione chimica e l’estensione del nucleo di C/O al termine della combustione di ramo orizzontale. Il confronto dei modelli teorici con questi due osservabili stellari rappresenta un test di controllo per la bontà del meccanismo di mescolamento implementato nel codice evolutivo in uso.
Nel prossimo paragrafo descriverò le principali modellizzazioni implementate nei diversi codici evolutivi per riprodurre la struttura interna di una stella in fase di ramo orizzontale.
3Il parametro R è definito come il rapporto tra i tempi di vita in fase di HB e in fase di RGB (per
luminosità superiori a quella del HB) che dovrebbe corrispondere al rapporto dei conteggi stellari osservato negli ammassi globulari per le fasi evolutive corrispondenti.
6.2 Modellizzazione dell’autotrascinamento del nucleo e della semiconvezione
indotta 133
6.2.1
Modelli classici
Nel caso di modelli classici (Iben e Rood, 1970) l’estensione del nucleo convettivo è determi- nata dalla condizione che ∇rad > ∇ad, ovvero dall’usuale criterio di Schwarzschild applicato
in modo formale, e non vengono implementati algoritmi che tengano di conto del fenomeno di autotrascinamento del nucleo e dell’eventuale presenza di regioni semiconvettive. Anche se questi modelli non sono molto credibili dal punto di vista fisico vengono ancora utilizzati da qualche autore. Il criterio di Schwarzschild in questa fase evolutiva provvede quindi a fornire solo la massa minima del nucleo convettivo ed i tempi di vita in fase di ramo orizzon- tale ottenuti con questa modellizzazione risultano inferiori a quelli richiesti per riprodurre i conteggi stellari osservati negli ammassi globulari. L’abbondanza centrale di ossigeno nel nucleo al termine dell’evoluzione di ramo orizzontale è inoltre inferiore a quella ricavata dai dati sismologici per le nane bianche (Straniero et al., 2003 e referenze citate).
6.2.2
Modelli semiconvettivi
Per modelli semiconvettivi si intendono modelli calcolati utilizzando i risultati teorici de- scritti nelle sezioni precedenti. Abbiamo spiegato che le strutture stellari ritenute fisicamente sostenibili sono caratterizzate da un nucleo convettivo, definito dalla condizione che al bordo
∇rad = ∇ad, e al di fuori di esso dall’eventuale presenza di una regione di semiconvezione il
cui bordo esterno deve essere incrementato per mantenere la condizione di stabilità in tutta la regione interessata.
L’algoritmo implementato nel nostro codice evolutivo per simulare un autotrascinamento del nucleo e la conseguente semiconvezione agisce a grandi linee nel modo seguente. A partire dal centro della stella vengono mescolati al nucleo ad uno ad uno i mesh che si trovano subito adiacenti ad esso andando a modificare ogni volta la composizione chimica di tutta la regione convettiva. Il mescolamento convettivo è istantaneo e completo e la procedura è iterata sino a che non si ottiene neutralità convettiva al bordo del nucleo. La condizione di neutralità convettiva è determinata stimando il valore del gradiente radiativo ed adiabatico tra due mesh consecutivi. In pratica a seguito di ogni mescolamento di un mesh, con la conseguente variazione della composizione chimica in tutta la regione, vengono calcolate le quantità fisiche medie tra due mesh consecutivi e con esse si valuta il valore del gradiente radiativo e del gradiente adiabatico tra di essi, controllando ogni volta il verificarsi o meno della condizione di instabilità. Nel momento in cui si ottiene ∇rad = ∇ad tra due mesh si fissa l’estensione
del nucleo convettivo fino al secondo mesh interessato. Una volta determinata la struttura interna del modello stellare si evolve la struttura chimicamente e si procede nuovamente alla determinazione della regione convettiva.
Nel caso di occorrenza del minimo del gradiente radiativo all’interno del nucleo convet- tivo, se in quel punto si verifica la condizione ∇rad = ∇ad, questa procedura ha l’effetto di
reimpostare la grandezza del nucleo convettivo sino al punto di minimo.
Per la modellizzazione della regione semiconvettiva esterna ad esso vi è un ulteriore pro- cedura che controlla la presenza di regioni all’interno della struttura in cui il criterio di stabilità convettiva non è verificato e che ne estende il bordo esterno utilizzando un ulteriore
6.2 Modellizzazione dell’autotrascinamento del nucleo e della semiconvezione
indotta 134
Figura 6.4: Dipendenza temporale dell’estensione del nucleo convettivo e della regione di semiconvezione durante l’evoluzione di ramo orizzontale di una stella di massa M = 0.68 M .
Immagine ripresa da Sweigart (1990).
algoritmo. In pratica, a partire dal primo mesh instabile per convezione vengono aggiunti e mescolati ad uno ad uno mesh esterni in massa fino a che non si ottiene neutralità convettiva (∇rad = ∇ad) nel primo mesh in questione. Fatto questo si applica la medesima procedura
al mesh successivo fino a rendere radiativi tutti i mesh della regione interessata. Alla fine di questa procedura i mescolamenti parziali interessano una regione abbastanza ampia subito esterna al nucleo convettivo che presenta un gradiente in composizione chimica. In Figura 6.4 è mostrato l’andamento temporale atteso per la massa del nucleo convettivo e per l’estensione della regione di semiconvezione dei modelli calcolati utilizzando questa procedura.
Come si può facilmente intuire, l’accuratezza di questo metodo dipende dal quantitativo di massa contenuto in ogni mesh stellare (cioè del mesh zoning) che viene calcolato dal codice ad ogni integrazione della struttura in modo da mantenere le differenze delle quantità fisiche di interesse tra un mesh e l’altro all’interno di valori predetreminati. L’entità delle differenze permesse è impostata nel codice ab initio e può essere modificata per ottenere un numero maggiore di mesh. Diminuendo la massa contenuta in ogni mesh si ottengono determinazioni più precise del bordo del nucleo e della regione di semiconvezione. Nell’articolo di Castellani et al. (1985) si stima che un mesh zoning dell’ordine di 4M/M ' 0.01 (frazione in massa del mesh) sia sufficientemente accurato per modellizzare tale processo.
6.2.3
Modelli con overshooting
Uno scenario alternativo consiste nell’implementare nel codice evolutivo un meccanismo di overshooting meccanico che si traduce in un’ulteriore estensione del mescolamento convettivo
6.2 Modellizzazione dell’autotrascinamento del nucleo e della semiconvezione
indotta 135
oltre il punto in cui è verificata la condizione di instabilità. Ad ogni iterazione del model- lo il mescolamento è in questo caso istantaneo e completo non solo nel nucleo ma anche in una regione esterna relativamente ampia il cui spessore è valutato con argomentazioni fisiche. Solitamente l’estensione della regione di overshooting l viene espressa in termini della lunghezza scala della pressione Hp e viene valutata mediante la stima delle velocità degli
elementi convettivi e dei tempi scala dei mescolamenti.
I modelli ottenuti in questo caso presentano dei nuclei convettivi che crescono in massa durante tutta la fase di HB e l’eventuale presenza di shell instabili si verifica generalmente solo in tarda evoluzione (Caloi e Mazzitelli, 1993). All’inizio della combustione l’overshoot- ing meccanico può infatti portare la discontinuità del gradiente radiativo sotto il livello del gradiente adiabatico così che il bordo del nucleo convettivo rimane stabile (Straniero et al., 2003). Naturalmente questo comportamento può variare a seconda del valore assunto per l. Mano a mano che la combustione continua si può eventualmente formare una shell convettiva con un bordo esterno instabile per cui una qualche forma di overshooting o di semiconvezione è necessaria per ristorare la neutralità convettiva nella regione. Anche la comparsa o meno di questa shell dipende dalla lunghezza caratteristica della regione di overshooting (che non si verifica per valori di l ' Hp, vedi Straniero et al., 2003). Tale inconsistenza può essere elusa
applicando un moderato overshooting anche alla shell convettiva. In questo caso comunque le regioni semiconvettive interessano porzioni meno ampie della struttura (Caloi e Mazzitelli, 1993) rispetto ai modelli semiconvettivi .
Le modellizzazioni con overshooting meccanico sono state spesso criticate nel corso degli anni (vedi Renzini, 1987) per via del fatto che, essendo la grandezza del nucleo convettivo dell’ordine di Hp, risulta difficile considerare credibili overshooting meccanici di lunghezza
scala dello stesso ordine. E’ stato infatti dimostrato che solo per valori l < 0.1 Hp si ottendono
risultati numerici simili a quelli dei modelli semiconvettivi e in accordo con i dati osservativi almeno per quanto riguarda i tempi di vita di ramo orizzontale (Caoli e Mazzitelli, 1990; Caoli e Mazzitelli, 1993). Utilizzando infatti valori maggiori per il parametro di overshooting i tempi di vita di HB cambiano in modo non sistematico.
Accenniamo brevemente al fatto che anche l’utilizzo di questa modellizzazione non pre- viene l’insorgere di instabilità nelle fasi finali dell’evoluzione.
6.2.4
Modelli con overshooting dipendente dal tempo
I modelli descritti fino a questo momento assumono un meccanismo di mescolamento istanta- neo nel nucleo convettivo e eventualmente nella regione di overshooting o di semiconvezione. Esistono tuttavia modellizzazioni che prevedono meccanismi di mescolamento dipendenti dal tempo mediante la valutazione delle velocità di propagazione degli elementi convettivi. In questo paragrafo descriverò a titolo di esempio la modellizzazione adottata da Sweigart (1990) discutendo brevemente le differenze ottenute rispetto ai modelli semiconvettivi.
Nella sua trattazione Sweigart parametrizza la velocità di propagazione del nucleo con- vettivo come:
vc= Fov
∇rad− ∇ad
6.2 Modellizzazione dell’autotrascinamento del nucleo e della semiconvezione
indotta 136
Tale risultato deriva dalla considerazione che la velocità degli elementi convettivi è ampli- ficata dalla superadiabaticità (∇rad− ∇ad) mentre la forza di richiamo è la forza di Archimede
che è proporzionale alla differenza del peso molecolare medio tra l’interno e l’esterno del nu- cleo convettivo (µi− µe). Fov è un parametro libero che viene impostato a priori e che si
stima dell’ordine di ∼ 10−5. Questa espressione è molto simile all’equazione 6.6 ricavata da
Castellani et al. (1971a) per determinare l’efficienza del meccanismo di autotrascinamento del nucleo convettivo e il valore attribuito da Sweigart a Fov deriva appunto da una stima
per l’equazione 6.6 ottenuta inserendo valori tipici stellari. Non ci stupisce molto dunque che i risultati ottenuti con questa trattazione siano molto simili a quelli ricavati per i modelli semiconvettivi.
Figura 6.5: Dipendenza temporale della massa Mrdel nucleo convettivo durante l’evoluzione
di ramo orizzontale dalla ZAHB sino all’esaurimento dell’elio centrale nel caso di trattamento della convezione con overshooting dipendente dal tempo. L’evoluzione è calcolata assumendo un parametro di overshooting Fov = 10−5. Immagine ripresa da Sweigart (1990).
Come si può vedere dalla Figura 6.5 con questa modellizzazione la struttura stellare è sottoposta ad una serie di instabilità del nucleo convettivo molto simili ai BP che talvolta vengono riscontrati alla fine dell’evoluzione per modelli semiconvettivi o con overshooting meccanico. Queste instabilità iniziano nel momento in cui, nei modelli canonici, aveva luogo la semiconvezione. L’estensione dei pulsi fa si che la regione in cui avviene il mescolamento convettivo alla fine della fase di HB sia di fatto la stessa che nel caso di semiconvezione e anche la composizione chimica finale risulta molto simile.
Il comportamento riscontrato in figura è dovuto al fatto che, dopo che il nucleo di elio ha superato la regione in massa dove si avrebbe il minimo del gradiente, che corrisponde appunto al momento del disaccoppiamento tra nucleo e regione semiconvettiva nel nostro modello, se il suo cammino è sufficientemente rapido, il materiale mescolato renderà la regione in cui avviene il minimo stabile dal punto di vista convettivo. Questo provocherà una rapida