Questa proposta fa vedere che lo spigolo d’inforco di una lunetta in “Berceau” o “Ebrafée”, che riscatta una volta in conca absidale rialzata o ribassata, le quali imposte sono al livello di quelle della volta, e di cui la direzione, cioè quella dei loro assi, tende al centro della conca absidale, è una circonferenza di cerchio, in termine d’arte, un pieno centro.
TRATTATO
Lo stesso che lo spigolo d’inforco di una nicchia rialzata o ribassata, o piuttosto ricalcata o appiattita dal suo piano orizzontale, in una volta sferica, con le stesse circostanze di direzione del suo asse al centro di questa volta è un cerchio, ciò che non è raro negli edifici.
TEOREMA XXXV
La sezione derivante dall’incontro delle superfici di una sfera e di uno
Fig. 96 L’intersezione tra due ellissoidi e uno cilindro retto sono due circonferenze comuni tra il cilindro retto e l’ellissoide.
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMO PRIMO PL 8
MATERIA E GEOMETRIA
sferoide, il cui asse non passa per il centro della sfera, è una specie di “Ellipsoidimbre”, cioè, una curva a doppia curvatura, di cui si può mettere in evidenza qualche rapporto costante con l’ellisse.
Sia data una sfera ABRN, penetrata da uno sferoide APBp, il cui asse Pp non passa dal centro C della sfera. Se si suppone un piano passante dal centro e dall’asse dello sferoide, darà per sezione un cerchio nella sfera e un’ellisse nello sferoide, secondo il teorema V la cui intersezione nei punti A e B segnerà che questi punti sono comuni alle due superfici, ma non gli altri punti di queste due curve che sono l’una all’interno della sfera, l’altra al di fuori dello sferoide, in modo che nè l’una nè l’altra di queste sezioni possa essere comune alla sfera e allo sferoide.
A questo punto, se si vuole cercargli qualche rapporto con altre curve piane, bisogna supporre un piano perpendicolare al primo (come abbiamo fatto fino ad ora) passante dai punti comuni A e B, il quale darà due sezioni della stessa specie delle precedenti, cioè un’ellisse AKB nello sferoide, e un cerchio AMB nella sfera, da dove segue evidentemente che la sezione comune di queste due superfici è una curva a doppia curvatura; dato che non può essere nello stesso tempo cerchio e ellisse, e questa curva sta girata dal lato del Polo P dello sferoide, ha delle ordinate al suo asse curvo AYB, sempre minore a quelle dell’ellisse piana formata dai punti comuni A e B nel rapporto delle ordinate dell’asse Pp dello sferoide, che passa l’uno dall’asse sottendente AB, l’altro asse curvo AYB.
[Fig. 101] Si potrebbe considerare lo sferoide come un’infinità di piccoli coni troncati [fig.101] fatti dalla sezione di parecchi piani ee, perpendicolari al suo asse Pp ed è così infatti che si procede per lo più per la pratica del tagli delle pietre; questi coni troncati avrebbero tutti il loro vertice sull’asse Pp, prolungato, ad esempio, in S, e i lati del cono
Se, diverrebbero tangenti allo sferoide.
Si potrebbe allora trovare la curva della sezione dalle analogie di quelle del cono nella sfera come nel Teorema XIV ma per ogni cono avremmo un nuovo vertice S, e proprio perché il numero di questi coni alla superficie dello sferoide è infinito, ci sarebbero tanti vertici quanti punti nell’asse prolungato; in modo che la curva di questa sezione non sia della stessa specie che l’”Ellissoidimbre”, come l’abbiamo definita.
Tuttavia c’è un rapporto, la differenza è che le ordinate all’asse dell’ellisse e quelle all’asse curvo della sezione solida non hanno eccessi o difetti gli uni in confronto agli altri, in ragione aritmetica, come i lati del triangolo, ma in ragione geometrica, come le radici dei quadri delle ordinate delle ellissi piane, fatte dai piani passando da queste ordinate, e l’estremità dell’asse dello sferoide, ciò che dimostreremo in seguito.
Avendo supposto come qui sopra lo sferoide APLp [Fig. 101] che penetra una sfera ABRN e che i punti A e B sono comuni alle loro superfici, sia ABKh l’ellisse fatta dalla sezione di un piano passante da
AB perpendicolarmente a quella che passa dall’asse dello sferoide e il
centro C della sfera. Sia anche AMBm il cerchio dato dalla sezione dello stesso piano nella sfera.
Se dal centro C si tira una perpendicolare CE all’asse Pp, essa lo taglierà nel punto D, dal quale per centro e per raggio DH o DN, metà di HN considerata come corda della sfera, avendo descritto un semicerchio HEN,
incontrerà in x la semiellisse PAp dello sferoide e darà così un punto x comune alle due superfici dal quale conducendo una perpendicolare xy all’asse Pp, avremo xy come ordinata della sezione solida; ma dato che la sezione piana passante da A e B taglia l’asse nel punto g, l’intervallo gy darà la differenza delle profondità delle due sezioni nella sfera e la linea
Fg perpendicolare a Pp darà l’ordinata della sezione circolare della sfera
e Gg quella dell’ellisse nello sferoide; quindi dalla proprietà dell’ellisse
Py x yp : Pg x gp = xy : Gg. Dunque se si conosce la lunghezza delle
ordinate, si troverà la loro distanza e se si conosce la loro distanza, cioè la profondità dell’asse curvo alla sezione piana da AB, si conosceranno le lunghezze delle ordinate e dunque le loro differenze.
Sarà uguale se dal punto P si fa passare un piano dalle ordinate or della sezione solida, e nq dell’ellisse piana, le quali sono qui espresse in forma di prospettiva in confronto al cerchio AMB e dell’ellisse AKB, i quali sono ugualmente rappresentati, perché questi due piani essendo in parte confusi insieme, e avendo il diametro comune AB, sarebbero anche confusi con questo diametro, se non ci aiutasse un po’ l’immaginazione.
Per vedere queste ordinate più distintamente, bisogna considerarle come sopra, in un piano perpendicolare al primo piano PANR e passante dal polo P come PR, allora facendo un semicerchio IQR su IR, corda della sfera, e una semiellisse PvL su PL, come asse maggiore, di cui u è il centro, e su uZ3 media proporzionale tra xu e ut per metà dell’asse minore,
l’intersezione v del semicerchio IQR e della semiellisse PvL darà un punto v della sezione solida, dal quale abbassando una perpendicolare
vo su PR avremo il punto o sull’asse curvo di questa sezione e il punto n sull’asse rettilineo con un’analogia uguale alla precedente Po x oL : Pn x nL = ov : nz4.
COROLLARIO
158. In seguito si possono trovare tanti punti quanto si vuole dall’asse curvo e la loro distanza dall’asse rettilineo su un piano passante dal punto
P perpendicolarmente al piano passante dall’asse Pp dello sferoide e il
centro C della sfera; dato che abbiamo dimostrato nel Teorema V che tutte le sezioni piane dello sferoide, che sono oblique rispetto ai loro assi sono delle ellissi, e che quelle delle sfere sono dei cerchi, avremo sempre all’intersezione di queste due curve un punto comune, che sarà alla circonferenza della sezione solida.
USO
159. Questa proposta fa vedere qual è la curva dell’inforco di una nicchia ricalata o appiattita in una volta sferica, se le imposte non sono a livello,
cioè, che l’una delle due sia al di sopra o al di sotto dell’altro, benché ciascuna sia a livello tra loro, o che le une siano a livello e le altre rampanti; allora la curva dello spigolo che avviene all’incontro delle due
3All’interno della figura 101 originale manca la lettera “Z”.
C C T P PL 8 A F
superfici, è una curva a doppia curvatura dalla quale gli equilibri non si trovano in una linea retta come nel Teorema precedente, e questa curva ha qualche rapporto con quella che abbiamo chiamato “Ellipsoidimbre”, perché queste ordinate al suo asse curvo sono sempre in un rapporto conosciuto con quelle della sezione ellittica o sferoide, tagliato da un piano passante da AB.
La stessa cosa succederebbe se le nicchie, invece di essere ricalate o appiattite orizzontalmente, fossero rialzate o ribassate verticalmente, l’unica differenza che ci può essere è il cambiamento del rapporto delle
ordinate, che hanno, in un caso, un eccesso su quelle dell’ellisse, e nell’altro un difetto, ma sempre in uguale proporzione.
TEOREMA XXXVI
La sezione derivante dall’incontro delle superfici di un cilindro retto e di uno sferoide, il cui asse è perpendicolare a quello del cilindro, è un “Cicloimbre”.
[Fig.99] Sia dato un cilindro ABba, il cui asse mn, prolungato in C e c, è perpendicolare a quello di uno sferoide allungato Pfpg, o appiattito
Pdpe. Avendo supposto questi corpi tagliati da un piano passante dai
loro assi e una seconda volta da un altro piano perpendicolare al primo e passante dai punti A e B, a e b comuni alle due superfici del cilindro e dello sferoide, si riconoscerà che questa seconda sezione sarà un cerchio nel cilindro e una ellisse nello sferoide, la quale sarà uguale a quella
della sezione dell’asse Pp. L’incontro delle due superfici non è dunque nel piano, dato che l’ellisse è fuori dal cilindro, e il cerchio è all’interno dello sferoide; però essa deve passare dai punti A e B o a e b.
Fig. 101 Si può considerare uno sferoide come un’infinità di piccoli tronchi di cono ed è proprio su questo presupposto che si basa la teoria del taglio delle pietre.
Fig. 99 La sezione fatta dall’incontro tra un cilindro retto e uno sferoide, i cui assi sono perpendicolari, è un “cicloimbre”.
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMO PRIMO PL 8
MATERIA E GEOMETRIA
Supponendo un terzo piano perpendicolare al primo, passante dall’asse del cilindro, o parallelamente a questo asse, esso darà un cerchio in ciascuno sferoide, e un parallelogramma nel cilindro. Sia il quarto di uno di questi cilindri dH o gh e il punto X o x, quello dove incontra il lato del cilindro, questo punto sarà comune alle due superfici, dalle quali se si abbassa la perpendicolare XY o xy sull’asse Cc, che lo taglierà in Y o in y, questo punto sarà uno di quelli dell’asse curvo AYB o ayb della sezione solida; ma proprio perché tutte le ordinate a questo asse sono perpendicolari ai lati del cilindro, e che finiscono tutte alla circonferenza, di seguito sono tutte uguali e parallele a quelle della sua base, ciò che è evidente; dunque tutti i diametri retti saranno anche loro paralleli ed uguali a quelli della base del cilindro, come abbiamo dimostrato nello stesso caso nel Teorema XVIII, dunque la sezione solida è un “Cicloimbre”, ciò che bisognava dimostrare.
La differenza che c’è da quello che si fa all’incontro degli sferoidi diversamente messi rispetto all’asse maggiore o minore, è che il “Cicloimbre”, fatto all’incontro delle superfici del cilindro e dello sferoide allungato, si avvicina all’asse maggiore scavando, diciamo, in questo sferoide, e che allo sferoide appiattito, si allontana dall’asse minore avvicinandosi alla superficie, come si vede nella figura 99 con le linee AYB e ayb.
COROLLARIO
160. E’ facile trovare tanti punti quanto si vorrà dall’asse curvo, tirando da un punto qualunque K della linea ab una linea Kl parallela all’asse Cc, e descrivendo su or e mA come raggi degli archi dei cerchi. Se si fa Kt=Ks e tz parallela a Cc come lato del cilindro, essa taglierà l’arco tr in z, da dove si condurrà zq perpendicolare a Ll, la quale darà su or un punto q che sarà quello della curva che si cerca.
Si applicherà qui tutto ciò che abbiamo detto del rapporto sulle profondità della sezione solida nel Teorema XVIII sia considerandole come le frecce delle corde iscritte in diversi cerchi, o come i sinus verses delle ordinate prese come sinus droits.
TEOREMA XXXVII
La sezione derivante dall’incontro delle superfici di un cilindro e di uno sferoide, in cui gli assi non si incontrano, è una specie di Ellissoimbre. E può essere un’ellisse in certi casi.
[Fig.100] Sia dato un cilindro ABba, che incontra obliquamente uno sferoide allungato o appiattito. Avendo supposto un piano passante dall’asse del cilindro, che darà per sezione un parallelogramma in questo corpo, e un’ellisse nello sferoide, di cui le intersezioni a e b, A e B danno dei punti comuni a queste superfici, se si taglia questi corpi con un piano perpendicolare al primo e passante da A e B, a e b, la sezione sarà di due ellissi che possono essere uguali, in questo caso la sezione fatta dall’incontro delle superfici diventa piano; ma come la differenza degli sferoidi può dare un’infinità di ellissi diverse, la sezione
sarà ordinariamente solida a causa dell’ineguaglianza delle ellissi, del cilindro e dello sferoide, ciò che è facile da vedere.
Proprio perché tutte le ordinate di questa sezione devono finire alla
Fig. 100 La sezione fatta dall’inconro di un cilindro e di uno sferoide, i cui assi non si incontrano, è una specie di “ellissimbre”
C C T P PL 8 A F
superficie del cilindro così come a quella dello sferoide, ne consegue che esse devono tutte avere un rapporto d’uguaglianza con quelle dell’ellisse piana, che è la sezione obliqua del cilindro seguendo la linea AB, ciò che abbiamo spiegato a sufficienza nei teoremi IX e X, in modo che non sia necessario spiegare più in dettaglio.
E’ talmente tanto tempo che ripetiamo la stessa dimostrazione, applicata a diverse occorrenze, che io temo che il lettore si trovi offeso per la sfiducia che sembra che si abbia della sua conoscenza, entrando in un così grande dettaglio.
COROLLARIO
Si possono facilmente scorgere i cambiamenti che i cilindri scaleni causerebbero alle sezioni fatte dall’incontro delle superfici dello sferoide; dato che le sezioni oblique, che abbiamo supposto ellittiche, possono essere circolari, e le perpendicolari agli assi delle ellissi.
APPLICAZIONE ALL’USO
Questa proposta e la precedente fanno vedere quale è la curva dello spigolo d’inforco di una botte, che riscatta una volta sferoide rialzata o ribassata o direttamente o obliquamente. Questo caso non è raro nell’architettura, così sono le lunette della volta sferica ribassata della Cappella del San Sacramento della Val de Grace di cui le nascite sono al di sopra di quelle della conca absidale o emisferoide appiattito.