La curva indicata con linea continua rappresenta l’ intersezione dei due coni, l’altra, tratteggiata, la sezione del cono grande con un piano perp per sA.

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NOTA

Bisogna notare che, benché il piano che faremmo passare dalla linea

SE perpendicolarmente a quello dei triangoli per gli assi sC, Sc, debba

fare un’iperbole nel cono AsB la sezione non sarà per questo un iperboloidimbre; perché i lati As e aS essendo divergenti verso S, sono convergenti verso L; così che prolungando questi lati, si torna sempre al primo caso dell’Ellissoidimbre.

TEOREMA XXXI

La sezione fatta con l’incontro delle superfici dei due coni, di cui gli assi si intersecano perpendicolarmente oppure obliquamente di modo che i lati prolungati dell’uno o dell’altro, non si incontrano al di sopra o al di sotto del vertice di uno di loro, è un Elissodimbre.

La dimostrazione di questa proposizione è talmente simile a quella della precedente, che ci siamo accontentati di mettere qui la figura (87,88) per il caso in cui gli assi si intersecano perpendicolarmente; o nel caso in cui si intersecano obliquamente; tagliando i coni, che si intersecano come si è fatto prima, per piani tangenti ai coni che sono penetrati; come abbiamo fatto prima, sarà ben facile vedere i rapporti tra “ordinate”

Fig 87. Intersezione di due coni i cui assi si incontrano formando un angolo retto

della sezione solida e quella della sezione piana, e perché seguendo le ondizioni del teorema, queste sezioni piane non possono che essere Ellissi se i coni sono Retti, o cerchi se sono scaleni; ne segue che la sezione solida sarà un Ellissoidimbre, o specie di cicloimbre allargato o ristretto, cioè una curva, di cui le ordinate hanno un eccesso o un difetto su quelle del cerchio.

Non abbiamo niente da aggiungere a quello che abbiamo detto delle sezioni opposte; sono qui come altrove, le stesse, disposte in senso contrario riguardo al vertice, e sempre una più piccola dell’altra. Vedremo nel teorema seguente, la ragione per la quale facciamo eccezione nei dati, del caso in cui i lati prolungati si incontrano (Rif. fig. 87 e 88).

TEOREMA XXXII

La sezione fatta dall’incontro delle superfici di due coni, di cui gli Assi si intersecano obliquamente, e di cui un lato di uno dei triangoli per l’Asse incontra i due dell’altro triangolo, che è nello stesso Piano, oppure uno dei lati essendo prolungato al di sopra del suo Vertice, è un Iperboloimbre in uno e l’altro cono.

Siano i triangoli BSA e DEF le sezioni di un piano passando dai due assi

CS e gE, dei coni che lo intersecano in una posizione rispettiva, ove il lato DE incontra i due triangoli BSA, l’ uno SA che interseca naturalmente

Fig 88. Intersezione di due coni i cui assi si incontrano obliquamrnte.

in H, l’altro BS in y, poiché è prolungato al di là del punto S in y; oppure,

dove il lato SA del triangolo BSA incontra i due DE, EF del triangolo DEF, da sapersi DE in H, e FE prolungato in X.

MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOPRIMO PL 7 DI AMEDEO FREZIER

Se supponiamo dei piani perpendicolari a quello che passa dagli assi e Eg, e che intersecano i coni, l’uno in HA, l’altro in HD, le

sezioni che faranno saranno delle iperbole, di cui HA e HD saranno gli assi, e HX, HY, gli assi determinati, e gli stessi piani che intersecano un cono saranno tangenti dell’altro. Sia una metà di queste iperbole la curva HrR, sulla quale avendo preso il punto r, a piacere, porteremo l’ordinata ro all’asse HD, e dallo stesso punto r e il vertice S la linea Srz, questa linea incontrerà la superficie dell’altro cono DEF in qualche punto z, che sarà la circonferenza della Curva della sezione solida, che passerà dal punto H, comune alle due superfici, e dal punto z, comune anche esso a loro, poiché è l’incontro del cono BSA con la superficie dell’altro DEF; ora perché la linea Srz, inizia dallo stesso punto S, come la linea SA, queste linee si aprono e sono divergenti, di modo che si può supporre come nei teorema precedenti una linea parallela a SA, e portata dal punto r, fino all’incontro della linea zx, cosa non eseguita nitidamente nella figura per evitare la confusione delle linee, rappresentiamo bene nella fig. 90 posta accanto in cui hx rappresenta HD, e avremo dei triangoli simili sor, rqz; quindi So oppure Eo : or : : rq : qz; di conseguenza la curva che passerà da hz, sulla superficie dei coni, sarà un iperboloide, che andava dimostrato.

Uguale sarà per l’altro cono, e questa sezione comune varierà seguendo la differenza delle grandezze rispettive dei due coni.

Fig 91. Le sezioni delle superfici di coni generate da piani passanti dalla loro imtersezione (come spiegato nel testo).

dove il lato SA del triangolo BSA incontra i due DE, EF del triangolo

DEF, da sapersi DE in H, e FE prolungato in X.

Se supponiamo dei piani perpendicolari a quello che passa dagli assi e Eg, e che intersecano i coni, l’uno in HA, l’altro in HD, le sezioni

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l’asse prolungato; ora se si prende nel contorno di queste curve differenti

un punto r, da questo e dal vertice si porta una linea Srz, che incontra la superficie dell’altro cono in z, la curva, che passerà da H e z, sarà quella dell’intersezione dei due solidi; ma dallo stesso punto z portando al vertice E una linea zE, questa linea che sarà un lato del cono DEf passerà alla circonferenza dell’iperbole, di cui HI è l’asse e la sua coordinata; cioè la perpendicolare portata dal punto z al piano passando dagli assi, avrà un rapporto di eccesso o di difetto con questa iperbole, che sarà proporzionato alla profondità della sezione solida, cioè alla distanza del piano dell’iperbole, misurata in un piano passando dalle coordinate corrispondenti e il vertice del cono; quindi questa sezione sarà una paraboloide, considerata come stando nel cono DEF, e un’iperboloidimbre considerata nel cono BSA, ciò che andava dimostrato.

Fig 92. Sezionifatte dall’ incontro di due coni con due lati paralleli e di cui gli assi si intersecano obliquzmente.