Applicazione d’uso
W) condotta dagli angoli di incontro dei loro lati KB, LE e BN, EM, e
perpendicolarmente al piano passante per gli assi aC e CP sarà un’ ellisse uguale in ciascun cilindro, poiché l’asse BE dell’Elisse è comune ai due, e l’asse coniugato xX è suppostopure uguale e similmente impostato; dunque la sezione sarà un’Ellisse comune ai due cilindri; poiché essa è equivalente a due uguali, come si doveva dimostrare.
Fig. 58 I due ellissi AD e BE sono formati dall’incrocio dei due cilindri ineguali ma di ugual diametro.
120. Lo stesso sarà di sezioni di cilindri ineguali, aventi un diametro uguale, quando al posto di incontrarsi semplicemente per la loro estremità, si incrociano come nella figura 58 e si penetrano reciprocamente; poiché la sezione EB sarà comune ai quattro cilindri LEBK, gEBf, hBEi, nBEm, e la sezione AD sarà comune ai quattro cilindri hDAi, LDAK e fADg,
mADn, che confinano gli uni con gli altri come nel caso precedente; dunque BE e AD sono due Ellissi. Ma se i cilindri sono ineguali, e che essi non abbiano un diametro uguale e similmente impostato, la loro sezione comune non sarà più una figura piana come dimostreremo nel teorema successivo.
Applicazione d’uso
121. Questa proposizione è fra le più necessarie per la conoscenza delle curve degli spigoli delle volte più comuni, che sono le volte a botte; essa fa vedere che quando sono della stessa altezza, qualunque sia la loro larghezza, la loro trinca di unione, è sempre un’ellisse, sia che essi vadano a finire l’uno sull’altro, perpendicolarmente o obliquamente, e allora l’angolo d’incontro è metà rientrante verso l’angolo saliente dei loro lati come da C a B, ciò che viene allora chiamato parte di volta in
Arco di Chiostro e metà salente verso l’anglo rientrante dei lati, come da
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MATERIA E GEOMETRIA
botti si incrocino, e allora sono tuttisalientie formano ciò che viene chiamata propriamente Volta a crociera.
Questa osservazione è necessaria per fare conoscere la falsità del tratto della trinca rialzata delle volte di arresto, Berlongues nel libro della Coupe des Bois di Sr. Blanchard, che fa in terzo punto non solo nella figura della tavola 17, ma anche nel discorso, poiché dice pag. 68 che le loro elevazioni …. tendono al centro supposto 18 della tavola 27.
T E O R E M A X V I I I
La sezione fatta dall’incontro delle superfici di due cilindri retti ineguali, i cui assi si tagliano perpendicolarmente, è un Cicloimbre.
Fig. 59 L’incontro dei due cilindri, retti e ineguali, forma la figura non piana KQLR detta Cicloimbre.
Sia il Cilindro ABED, il cui asse FG è perpendicolare all’asse CO d’un altro cilindro più piccolo HILK, e la cui base è il cerchio HMIN, avendo supposto un piano che passa per i due assi, se se ne suppongono altri a lui perpendicolari e all’asse FG, questi piani che saranno paralleli tra loro formeranno due sezioni diverse ognuno, cioè un parallelogramma
MNQR, nel cilindro superiore HILK, che essi taglieranno per l’asse,
o parallelamente al suo asse, e un cerchio QSRT nel cilindro inferiore
ABED, che essi taglieranno perpendicolarmente al suo asse, le quali
due sezioni si incontreranno in due punti opposti RQ, rq, che saranno di conseguenza comuni alla superficie dei due cilindri, e alla circonferenza della curva, che è formata dall’intersezione delle due superfici, cosi come i punti K e L, che sono all’intersezione dei due parallelogrammi, formati dalla sezione del primo piano, passante per i due assi dei cilindri; in modo che questa curva passerà necessariamente per i punti KRrL da un lato, e KQqL dall’altro, e se si uniscono i punti opposti con le linee QR, qr, queste linee saranno perpendicolari al piano passante per i due assi dei cilindri, che li taglia in due ugualmente ai punti P e p per i quali passa l’asse curvo della sezione solida KPpL; dunque è facile vedere che queste ordinate sono parallele e uguali a quelle della base del cilindro MN, mn; poiché questa base HMIN è perpendicolare al piano passante per gli assi, come pure QR e qr, che esse sono entro stesse parallele QM, RN o
qm, rn che sono i lati del cilindro,essendo nello stesso piano MR, o mr,
passante per l’asse OP, o parallelamente a quest’asse, e se resta qualche dubbio sull’uguaglianza dei lati MQ, NR; per stabilire il parallelismo di MN e QR, non c’è che da richiamarsi all’articolo 39, dove si è fatto vedere che MN essendo parallela alla tangente del cerchi QSR per S, e i punti M e N essenti ugualmente distanti dal punto O, che è nel diametro
TS prolungato, le parallele a questo diametro MQ e NR, terminate alla
circonferenza del cerchio, saranno uguali fra loro; dunque le ordinate QR e qr sono uguali alle corrispondenti della base del cilindro negli stessi piani MN e mn. Si proverà la stessa cosa di tutte le ordinate possibili. Dunque la sezione concava KLRQ è quella che noi abbiamo chiamato un
Cicloimbre dalla prima definizione, come si voleva dimostrare.
Non è necessario aggiungere che le ordinate di questa sezione solida non sono in uno stesso piano, poiché è evidente che esse si allontanano da quello che passerà per l’asse che sottende KL, via via che esse si allontanano da questi due punti, fino a metà QR, che risponde al diametro
MN, perpendicolare al piano passante per gli assi dei cilindri; dunque
è facile mostrare per quale ragione esse si allontanano o si avvicinano all’asse che sottende KL; poiché tutte le sezioni fatte nel cilindro AE, dai piani passanti per le ordinate della base HMIN al diametro HI, parallelamente all’asse OP, sono dei cerchi uguali a quello della base
AB; segue che le ordinate della sezione solida, che sono uguali a quella
della base HMIN, sono tante corde inscritte in un cerchio uguale alla base del cilindro AE, che è stato messo in seguito in ad dalle linee tratteggiate
PP2, pp2 p2; in modo che la profondità di queste corde nel cerchio è
misurata dalla lunghezza delle loro flechesa P2, ap2 uguali a SP, sp,
che fanno vedere di quanto la curva si allontani dal piano, che passerà per l’asse KL che sottende l’asse curva KPpL, a mano a mano che essa si avvicina alla metà di questi due punti comuni KL; in modo che esse aumentano continuamente in lunghezza in ragione di quella delleordinate della base HMIN, e di profondità nel rapporto delle flechesdelle doppie ordinate, inscritte nella base del cilindro AE; o se si vogliono prendere le ordinate per dei seni dritti, la loro profondità sarà misurata da dei seni rovesci, ciò che mostra evidentemente che tutte le doppie ordinate prese insieme, formano una superficie curva, a modo di tegola curva, più o meno profonda secondo la grandezza relativa dei due cilindri, che si penetrano perpendicolarmente; in modo che se essi sono uguali, la sezione è la più profonda possibile; poiché allora la più grande ordinata del mezzo, che noi chiamiamo asse retta, passerà per l’asse del cilindro
AE, cioè, per il centro C2 del cerchio aR2dQ2, e allora la sezione cambia
di natura, e diviene piana come al teorema precedente, dividendosi in due parti, che formano un angolo rientrante KCL.
122. Resta da dimostrare che tutti i diametri di questa sezione solida sono uguali, cioè, tutte le linee, che, passanti per l’asse di profondità
SP, sono terminate nella circonferenza della curva. In primo luogo è
chiaro che l’asse che sottende KL == HI è pure uguale all’asse retto QR == MN == HI; poiché questi sono i diametri dello stesso cerchio HMIN. Lo stesso sarà dei diametri WV e Uu che saranno entro stesse parallele
WU e Vu, e di una stessa profondità al di sotto di KL, ma tutti fuori della
superficie concava, formata dalle ordinate, che formano la circonferenza della sezione; poiché essi tagliano l’asse SP, al di sotto del centro P, per esempio, in x. Dunque per la prima definizione la sezione sarà un Cicloimbre, come si voleva dimostrare.
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C o r o l l a r i o I.
123. Non soltanto le orinate al piano passante per KPL, nel quale è l’asse curvo, sono uguali alle corrispondenti ordinate al diametro HI, ma ancora quelle che saranno perpendicolari al piano passante per QSR, nel quale è l’asse retto, saranno uguali alle paralleli all’asse HI, corrispondenti in un piano parallelo all’asse OP le quali racchiuderanno una porzione cilindrica, terminata dalla curva KRLQ.
Quando abbiamo detto che tutti i diametri del Cicloimbre sono uguali, noi non abbiamo inteso parlare che delle linee rette, condotte da un punto della curva al suo posto passanti per l’asse di profondità SP; poiché se si vogliono chiamare diametri le linee curve, che passano alla superficie del cilindro per il punto S, e i punti opposti della circonferenza del Cicloimbre, ci si accorge bene che dei tali diametri saranno tutti ineguali in lunghezza e in curvatura, il più grande è l’arco del cerchio QSR, il cui asse retto QR è la curva, e le altre saranno delle porzioni d’ellisse, sempre meno concave a mano a mano che esse si allontaneranno da questo arco di cerchio, e che esse avvicineranno l’asse sottendente KL, dove l’arco ellittico si trasforma in linea retta, nella supposizione che esse passino tutte per la metà S; e poiché tutti questi archi inegualmente curvi , avranno per corda dei diametri retti, uguali fra loro; segue che queste curve saranno tutte ineguali in lunghezza sviluppata, cioè, rettificata.
Co r o l l a r i o I I
124. Da cui segue che il cicloimbre, considerato come una porzione della superficie del cilindro, esteso in superficie piana, sarà un ovale, il grand’asse del quale sarà QSR, e il piccolo KL.
Co r o l l a r i o I I I
125. Segue ancora che più il cilindro HL sarà piccolo a confronto del cilindro AE, meno la sezione solida sarà concava; e al contrario, più il cilindro HL sarà grande a confronto del cilindro AE, più essa sarà concava, sia che la si consideri come porzione della superficie del cilindro, o come un’altra superficie formata da una serie di ordinate all’asse curvo KPL; in modo che in caso di uguaglianza, come abbiamo detto, la sezione solida diventa uguale a due metà di sezioni piane ellittiche, che si incontrano al diametro passante per l’asse FG; poiché allora i lati MQ, NR del cilindro
HL divengono tangenti al cilindro AE, e di conseguenza non lo tagliano
che in un punto ognuno, che è all’estremità del diametro del cilindro AE; di modo che la profondità sarà SC, che non può essere più grande; poiché nel caso in cui il cilindro HL divenisse ancora più grande, non sarà più lui che penetrerà, ma sarà penetrato dal cilindro AE.
Si fa notare anche che nel caso di uguaglianza dei cilindri, i piani dei semi-ellissi, che si incontrano in C, si tagliano ad angolo retto; poiché i raggi KS, SL e SC sono uguali, gli angoli immaginati in KCS e LCS sono di 45 gradi; dunque KCL sarà di 90 cioè retto.
Co r o l l a r i o I V
126. Di ciò che abbiamo detto che la profondità del cicloimbre nel cilindro, era misurata dalle fleches delle corde uguali alle ordinate al
suo asse curvo, inscritte nella base del cilindro, ne deriva un modo molto facile di trovare tanti punti quanti si vorranno del suo asse curvo; poiché avendo fatto un cerchio aR2dQ2, e avendo a lui condotto per il punto a
una tangente taT, perpendicolare al diametro ad, si porteranno su questa tangente le ordinate PR, e pr in aT e at, e per i punti T e 2 si condurranno
TR2, 2r2 parallele al diametro ad, che taglieranno la circonferenza del
cerchio ai punti R2 r2, per i quali conducendo delle parallele alla tangente aT, si avranno sul diametro ad, che esse taglieranno, le fleches aP2, ap2,
che sono le profondità dei punti dell’asse curvo, che corrispondono alle ordinate MN, mn della base del cilindro HL, uguali a quelle del cicloimbre.
Se si volessero trovare queste profondità con dei calcoli, ci si servirà dello stesso metodo che si è dato in precedenza al Teorema IX per trovare quella dell’Ellipsimbre, con questa differenza che essa è più facile in questo caso qui, perché tutte le ordinate si inscrivono in uno stesso cerchio, e che per l’Ellipsimbre di questo Teorema esse devono tutte essere inscritte in dei cerchi ineguali.
E’ inutile far notare che i cicloimbres opposti sono uguali nell’immersione di un cilindro in un altro, come nella sua emersione; questa verità si fa sentire dal parallelismo dei lati dell’uno e dell’altro di questi solidi.
Applicazione d’uso
127. Non c’è niente di più comune nelle volte che la curva di cui parliamo, si vedono quasi ovunque le volte a botte in piena trinca, fori di lunette rette, pure in piena trinca, le imposte delle quali sono alla stessa altezza delle origini della volta, come sarebbero quelle della navata del Val de Grace, se le vetrate fossero perfettamente in semicerchio. Si conosce dunque da questa proposizione, che la curva dello spigolo della loro biforcazione è un cicloimbre. Questa curva non è meno comune nell’architettura militare; poiché gli spiragli circolari dei sotterranei a botte di livello e in piena trinca, e posti a piombo sulla chiave, sono dei cilindri che ne penetrano degli altri perpendicolarmente sul loro asse, tali sono ancora i pozzi delle cisterne, posti a metà delle volte, come a Phalsbourg.
T E O R E M A X I X
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MATERIA E GEOMETRIA
cui assi si tagliano obliquamente, e che si penetrano in modo che l’uno entri nell’altro di tutta la sua circonferenza, è un Elipsimbre.
Fig. 60 I due cilindri ineguali si tagliano obliquamente formando la figura non piana
KQLR detta Ellipsimbre.
La dimostrazione di questa proposizione è talmente simile a quella della precedente, che ci si può accorgere alla sola ispezione della figura 60. Sia abed un cilindro retto, il cui asse è fg, penetrato da un altro cilindro
hikl più piccolo, cioè, di un diametro minore, di cui l’asse xX, taglia
l’asse fg obliquamente in C. Avendo supposto come nella proposizione precedente un piano che passa per gli assi di queste linee, esso formerà per sezione due parallelogrammi, le cui intersezioni dei lati, che si taglieranno in K,L,Vu daranno i punti K e L, comuni alle due superfici. Se si suppongono altri piani perpendicolari a questo che passano per l’asse
xX, o parallelamente a questo asse come my; questi piani formeranno due
sezioni differenti, cioè un parallelogramma MY o my, nel cilindro hl, e una ellisse SRT, o srt nel cilindro ad, di cui le intersezioni R e r saranno comuni alla superficie dei due cilindri, cosa che è evidente. Se infine si suppone un altro piano, pure perpendicolare al primo, ma passante per
KL, o parallelamente ad ab per hI, questo piano formerà per sezione nel
cilindro hL una ellisse hMIN, di cui tutte le ordinate all’asse hI come
NO, no saranno uguali a tutte le ordinate RP, rp della sezione solida, per
le stesse ragioni, che abbiamo spiegato bene a lungo nella proposizione precedente; poiché la linea MN è, (per la supposizione) perpendicolare a
OC, poiché essa è l’intersezione di due piani hNIM, ONYX perpendicolari
a un terzo hILK, essa sarà parallela alla tangente, che passerà per il punto
S; dunque NR e MQ, che sono parallele, essendo i lati del cilindro,
e ugualmente lontane dal diametro dell’ellisse SRT prolungato in O, taglieranno questa ellisse a delle distanze uguali da N e M; dunque RQ sarà parallela a NM, essa sarà pure a lui uguale, poiché essa è entro le
stesse parallele NY, MZ. Si dimostra la stessa cosa dell’ordinata rq, dunque tutte le ordinate all’asse curvo KPL, della sezione passante per
KRrL, sono uguali a quelle dell’ellisse piana hMIN, corrispondenti nei
piani paralleli tra loro, e all’asse xX del cilindro hl; dunque tutte queste ordinate PR, pr non sono in uno stesso piano, poiché esse si allontanano e si avvicinano all’asse che sottende KL, al quale esse vanno a terminare a zero ai punti K e L; dunque la loro somma forma una superficie curva, come quella del Teorema IX il cui contorno è un Ellipsimbre seguente la nostra definizione, come si voleva dimostrare.
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128. Si devono tirare le stesse conclusioni da questo Teorema che dal precedente. I.° Che più il cilindro hiLK sarà grande in rapporto al cilindro abde, la sezione KRLQ, sarà più profonda; di modo che se i due cilindri divenissero uguali, essa cambierà di natura, da sezione solida che era, essa diventerà una sezione piana, composta da due ellissi, che si incontrano al diametro del cilindro ad passante per l’asse fg, al punto
C e perpendicolarmente al piano ad, o sarà l’intersezione dei piani dei
due semi-ellissi, ciò che ricade nel caso del Teorema XVII e della figura 58 in cui due cilindri ineguali hanno un diametro comune o similmente impostato, rispetto al piano passante per gli assi dei cilindri.
E al contrario più il cilindro hl sarà piccolo rispetto all’altro ad, meno la sezione sarà profonda; poiché le profondità dell’asse curvo sono determinate dalle fleches, le cui ordinate della sezione sono le corde inscritte in una ellissi comune, che ha per grand’asse la sezione obliqua
ST, più le ordinate saranno piccole, meno esse entreranno nell’ellisse,
dove le corde più piccole sono sempre le più lontane dal centro, lo stesso che si è detto del cerchio.
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129. Osserveremo pure come al Teorema X, che la più grande profondità dell’Ellipsimbre, non è a metà dei punti K e L; poiché l’asse retto corrispondente al piccolo asse MN dell’ellisse hMIN è più vicino a L che a K, l’angolo KSP essendo più grande dell’angolo LSP, da cui segue che le ordinate all’asse curvo KPL, che sono in numero uguale a quelle dell’ellisse piana hMIN all’asse hI, saranno più strette da un lato che dall’altro, cioè da P a L che da P a K.
130. Il metodo per trovare le profondità della sezione, cioè, i punti del suo asse curvo KPL è esattamente lo stesso di quello del Teorema precedente; la sola differenza è che si inscrivono qui in una ellisse, che è la sezione obliqua del cilindro, le ordinate che si inscrivevano nel cerchio della base.
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Fig. 61 Le linee 1R e 2r sono le profondità dei punti dell’asse curvo corrispondente ai punti O e o dell’asse hI dell’ellisse hMIN della figura 60.
Se si fa l’ellisse SDTB (Fig. 61) uguale alla sezione obliqua, che ha per grand’asse ST, o St della fig. 60 e il piccolo asse BD uguale al diametro
bd della base del cilindro ad, (fig.60) segue che si faccia la linea SH,
perpendicolare su ST grand’asse, S1 ==PR e S2 ==pr,
che infine si conduca per i punti 1 e 2 , i segni 1R, 2r, parallele all’asse
ST, che incontreranno l’ellisse SRB ai punti R e r , queste linee 1R, 2r,
o le loro uguali Sp, SP, sono le profondità dei punti dell’asse curvo, corrispondente ai punti O e o dell’asse hI dell’ellisse hMIN.
Fig. 62 Le ascisse dell’asse SP dell’ellisse SRTQ stanno a quelle dell’asse hI dell’ellisse
hMIN come queste a quelle del cerchio.
Nel Cicloimbre abbiamo trovato che queste linee SP, Sp essendo i seni inversi dei seni dritti RP, rp, sono delle ascisse del diametro ST, le quali sono ancora per la stessa ragione che questi seni inversi ; poiché se si fa l’angolo LSC (fig.62) uguale all’angolo LSC, della Fig. 60 e Si
perpendicolare su SC, e che si prendano su SC le parti SP e Sp uguali