un’ellissoide.
Fig. 37. Caso di intersezione tra una sfera e un cilindro scaleno.Le sezioni che ne risultano sono cerchi e non ellissoidi.
Fig. 42
Sia data la sfera BVbp di cui il centro sia C, penetrata dal cilindro YLND, che non entri se non in parte della sua circonferenza nella sfera, in modo tale che la parte RP del suo diametro RT (il quale essendo prolungato passi per il centro della sfera) ne resti al di fuori.
Avendo ipotizzato come nei teoremi precedenti un piano che passi per il centro C e l’asse Mm del cilindro, la cui sezione sarà un parallelogramma
YLND, e quella nella sfera un cerchio maggiore BVbp, si riconoscerà
che i punti B e b sono comuni alle due superfici del cilindro e della sfera; dato che sono l’incontro del lato del cilindro e del cerchio maggiore della sfera e che il punto P, che è comune ai due diametri RT del cilindro e PV della sfera, non lo è alle superfici, dato che è nel cilindro della profondità
RP, che è la minore, sarà del tutto al di fuori della sfera essendo una
tangente; dunque non potrà essere comune alle due sezioni, che saranno fatte attraversare un piano perpendicolare al primo e saranno fatte passare attraverso RV, il piano del quale ne produrrà due circolari, vale a dire
RST nel cilindro e PBV nella sfera, che bisogna immaginare nell’aria
e non come rappresentato nella figura, sul piano passante per l’asse del cilindro e il centro della sfera; ma dato che l’intersezione dei due cerchi
RST del cilindro PSV della sfera avviene in S, ne conse
gue che questo punto è alla circonferenza delle due superfici da dove, avendo tracciato l’ordinata Sq al diametro RT, si vede che la sua parte
PT è comune a questi due corpi, vale a dire RT e PV.
A questo punto se il cilindro fosse stato scaleno e la sezione attraverso q e B, vale a dire EqB, fosse stata un cerchio, avrebbe avuto per suo uguale e opposto FqB, ai quali qS sarebbe stata un’ordinata comune alle due sezioni dei piani, tagliante il cilindro attraverso EB e Fb e ai due cerchi
eB e fb, in modo tale che questi due piani sarebbero stati nella sfera.
E’ evidente che sebbene della stessa specie queste due sezioni piane non avrebbero potuto essere comuni alle due superfici, dato che sono due cerchi dai diametri differenti che si toccano ai punti Beb, di cui il più piccolo, che ha per diametro eB, sarebbe stato interamente nel cilindro e che il grande EB sarebbe stato in tutta la sua circonferenza fuori dalla sfera.
La differenza sarebbe più grande se il cilindro fosse retto; perchè la sezione EB nel cilindro è un’ellisse e eB nella sfera un cerchio fatto attraverso lo stesso piano perpendicolare a quello che passa per l’asse del cilindro e della sfera; vale lo stesso per la sezione fatta per il piano
Fb, passante per q e b, l’ordinata comune qs taglierà una parte di queste
sezioni piane, da q verso e, e dalla stesso punto q verso F, tanto dell’ellisse quanto del cerchio fatto per ciascun piano tagliante i due corpi, che è al di fuori della sfera; ma perchè la sezione comune alle loro superfici non può essere un cerchio o un’ellisse, ne consegue che questa non può essere nel piano EB ne in Fb, sebbene vi abbia un punto B o b; dunque questa se ne allontanerà nel curvarsi verso la circonferenza del cerchio della sfera, tanto che le ordinate all’asse curvo quB divengono comuni al cilindro in ux della base FxK e al cerchio della sfera 2xZy; dunque questa sarà un’ Ellissoide della stessa natura di quella del teorema precedente su ciascun lato EB e Fb, ma imperfetta e mutilata per l’ordinata comune qS dove esse si incontrano e formano un angolo, in modo tale che la sezione totale, da B in b attraverso q , è composta di due parti d’Ellissoide, cosa che dimostreremo.
Per rendere questa spiegazione comprensibile, ipotizzeremo un cilindro scaleno MLNm, più piccolo del precedente, di cui il lato Mm taglia la sfera nei punti 2 e 4 e la sezione fatta per un piano passante per 4B e un altro per 2b, è un cerchio parallelo alla sua base, o in sezione opposta; è chiaro che lo stesso cerchio sarà anche la sezione piana della sfera di ogni lato in 4B e 2b, dunque la sezione curva comune b5B sarà l’incontro di due porzioni di cerchio uguali, che hanno un’ordinata comune nel punto 5, la quale è l’intersezione di due piani, che saranno una figura simile a quella disegnata nella Fig. 43 in A o in B, a seconda che il punto 5 s’avvicini a un lato del cilindro o all’altro; dato che se il punto d’intersezione dei piani si facesse alla tangente, come in T (Fig. 38), i due archi dei cerchi termineranno l’uno nell’altro e l’angolo B (Fig. 43) cadrà sul punto t; ma in modo tale che il punto 5 rientrerà e il punto B, incontro dei due archi, si allontanerà da t.
Fig. 42. Dimostrazione di come un cilindro retto ,penetrante in una sfera con una parte dela sua circonferenza, crea un’ ellissoide.
DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 3
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Fig. 43
La stessa cosa capiterà alle porzioni di Ellissoide, quando il cilindro è una parte al di fuori della sfera, allora queste due curve avranno un’inflessione nel mezzo dell’angolo che viene meno, tale è l’angolo curvilineo 9Z210,
quando la sfera passerà al di là del cilindro, come in P; ma se l’asse del cilindro passa al di fuori della sfera, allora la sezione composta produce un angolo rettangolo, come si vede in A della Fig. 43;la ragione è ben comprensibile, se si presta attenzione, fino all’asse del cilindro la sezione sale nella categoria delle ordinate alla base RST e al contrario, dall’asse essa si abbassa nello stesso modo fino al punto R, al quale si unisce, quando il lato YD è tangente alla sfera, come l’abbiamo definito nel punto T (Fig. 38).
COROLLARIO
Da ciò ne consegue che per trovare i punti dell’ Ellissoide composta si tratta solo di trovare le ordinate comuni alle sezioni circolari della sfera e del cilindro e per fare questo bisogna trovar loro diametri in parti comuni, cosa che si fa tracciando quante perpendicolari si vogliano all’asse Mm del cilindro.Che tagliano la sfera, come Fy, RV, dff, di cui le parti 2K, PT e gh sono comuni ai diametri del cilindro FK e 2y della sfera, RT e PV;
dh,gff; se su ciascuno di questi diametri si alzano dei semicerchi FxK, 2Zy, RST, PBV, dih, gGff le loro intersezioni x, S, i saranno dei punti alla
circonferenza della curva e le perpendicolari tracciate da questi punti ai diametri comuni, che li taglieranno in u, q e z, produrranno
dei punti dell’asse curvo e saranno delle ordinate comuni le quali, essendo portate da W in Y, da C in Z2 e da H in h2, marcheranno su un piano che
avrà per base la linea 910 dei punti per i quali, facendo passare una curva
9Y2Z2h210, si avrà un’espressione di contorno dell’ Ellissoide composta,
cosa che spiegheremo meglio nei problemi del libro successivo. Sarà ancora vero, nel caso del teorema, come nel precedente, che le profondità nella sezione solida nella sfera saranno negli stessi termini dei seni versi, di cui le ordinate saranno i seni retti, come si vede in 2u,
Pq e g.
Fig. 43. Due possibilità di come i punti A e B dipendano dallo spostamento del punto 5 della fig.42 verso un lato del cilindro o verso l’altro e di come quindi possa no cambiare le sezioni.
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