Tutti i profili di cui abbiamo appena parlato, suppongono solo un’obliquità, o una direzione, a riguardo di un piano verticale, come le discese o l’inclinazione della faccia, come le talud; in altri casi che se ne può esprimere i profili, senza scorciare o le facce o le assi in modo che non sia più necessario prenderci la misura, come sono le obliquità della smussatura semplice, della smussatura o del talud unite insieme, o della discesa e della smussatura; perché allora se il piano di descrizione è parallelo ad una delle direzioni, non lo è all’altra.
Si vedrà nel IV libro il modo di fare i profili di queste differente tipi di volte oblique, e di come utilizzare il piano orizzontale, e dei secondi profili al restringimento che si trovano nelle parti del primo, e che non ci possono essere nelle loro misure.
Come noi non diamo qua che delle regole generali, noi non entreremo per niente nel dettaglio di tutte le differenti composizioni di obliquità; ma faremo vedere come si possono ridurre in una sola.
PROBLEMA II
Ridurre tutte le differenze oblique di smussatura, di talud e smussatura, di smussatura e discesa, di discesa, talud e smussatura, in una sola , per non fare che un profilo che esprime tutte queste obliquità , e conserva le misure che noi dobbiamo prendere.
Questo problema è il principio segreto e misterioso del metodo di DESARGUES, sarà spiegato in particolare nel IV libro per tutti i tipi delle botti , dove noi spiegheremo anche ciò che si è nascosto sotto dei nomi impropri, che si trova nel libro di BOSSE.
IN PRIMO LUOGO, è chiaro che tutte le obliquità che non sono delle direzioni diverse, possono ridursi in una sola; così nella Fig. 244 in una discesa HD, il talud HG o lo strapiombo ED, essendo perpendicolare al piano verticale, passando attraverso l’asse del cilindro DG, possono essere espresse nello stesso profilo differentemente situato, senza alcun cambiamento; perché se io prendo DG per una orizzontale, poiché essa sia inclinata, ne risulterà un altro cambiamento che è quello del nome; sapendo che avevo chiamato HG talud al riguardo dell’orizzonte Ga³ o
CD, si chiamerà strapiombo a riguardo di un orizzonte DG, e al contrario DE, che era uno strapiombo, diventerà un talud. Così io ho già ridotto
due obliquità della discesa in una sola di strapiombo, e quella di discesa e strapiombo in una di talud.
IN SECONDO LUOGO, (Fig.245.) io posso cambiare un’obliquità semplice in un’altra obliquità conosciuta con un nome diverso; se per esempio io considero la semi botte Rhnp, come inclinata all’orizzonte
OR, posso considerare anche l’orizzontale su Rp, ma smussata a
riguardo di una linea di faccia Rh considerata come se fosse in un piano di supposizione orizzontale hRp, invece che nella prima supposizione, essa era verticale nello stesso piano considerato una situazione verticale, senza che ne risulti un altro cambiamento, che quello del livello a piombo; la sola differenza che ne risulta, è la trasposizione della chiave al posto di dove era l’imposta e la divisione dei cunetti che si comincerà ad una estremità del raggio, al posto di cominciarla dall’altro, se l’arco di faccia è circolare; se è abbassato o rialzato, ne risulterebbe una trasposizione dell’asse del grande al posto del piccolo, e del piccolo al posto del grande; ciò arriverà all’arco diritto se l’arco di faccia è circolare.
Del resto è chiaro che questo arco diritto non è suscettibile a nessun altro cambiamento , quanto meno si aumenterebbe o diminuirebbe il talud, la smussatura, la discesa o lo strapiombo.
Se comunque le obliquità delle facce sono doppie di diverse direzioni, come la smussatura del talud tutto insieme, o la discesa e la smussatura, allora non si può unirle in un’unica trasposizione del livello a piombo; bisogna cercare la posizione del diametro della più grande obliquità, che è quella della sezione di un piano che passa attraverso l’asse perpendicolarmente alla faccia della botte.
SIA AB (Fig. 247 b 1) il diametro orizzontale di una botte, di cui la direzione orizzontale del suo piede dritto è AG, e quella della sua asse, che gli è parallela, è CX;, facendo con AB l’angolo acuto XCA, sia anche l’inclinazione della faccia in talud, seguendo un angolo dato SCT, o il suo complemento TCB, dal punto C per il centro e CA per raggio, avendo descritto un cerchio ASBK, che taglierà CT in T; da questo punto T si traccerà una parallela ad ACB, e dal punto A una perpendicolare Ax all’asse data CE, che taglierà Tt in t (4).
Se attraverso questo punto t e il centro C, si traccerà una linea DI, si avrà l’obliquità semplice tC, composta da due PC della smussatura, e
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOSECONDO PL 20 DI AMEDEO FREZIER
tP del talud, la quale sarà la proiezione di un piano passante attraverso
l’asse perpendicolarmente alla faccia, e dunque questa di una parte dell’asse sul diametro della più grande obliquità. Per separare queste due linee confuse da questa proiezione, si traccerà attraverso il punto t una perpendicolare indefinita tF, che incontrerà la linea del talud TC prolungata in F; io dico che l’angolo tCF è quello dell’asse con il diametro della sezione della faccia tagliata attraverso un piano che passa attraverso l’asse perpendicolarmente a questa faccia.
DIMOSTRAZIONE
(4) Il testo non è molto chiaro. Si interpreti semplicemente di costruire il raggio
C C A F T PL20
Sia tirata Ax perpendicolare ad EC che incontrerà Tt al punto t. Si suppongano due cilindri orizzontali di base uguale e di diverse direzioni di smussamento e di talud, che noi esprimeremo attraverso quelli delle loro assi EC obliqua su AB, e SC che gli è perpendicolare. Se si fa muovere questi due cilindri in senso contrario ognuno intorno alla sua asse, è chiaro che il punto T descriverà un arco di cerchio in aria, dunque la proiezione è la linea Tt, che il punto A girando intorno all’asse XC descriverà un altro arco, la cui proiezione è Ax, che incontrerà la precedente in un punto in aria, che sarà espresso nel piano orizzontale attraverso il punto
t come ai due diametri.
La linea tC sarà la proiezione del raggio CT in un piano verticale, comune alle due basi del cilindro; il quale raggio è anche comune alla base del terzo cilindro,che avrà per asse DC, e per inclinazione della faccia l’angolo DCF; perché se si fa muovere il diametro TCF intorno a questa asse, è chiaro che il punto F descriverà nell’aria un arco; Ft è la proiezione , dunque al posto di considerare i due cilindri precedenti, io posso considerare il terzo, la cui obliquità FCD sulla sua asse CD assomiglia a quelli degli altri due, supponendo sempre le basi uguali. È visibile che se si prolunga la perpendicolare fino alla circonferenza del cerchio in H, e che se si traccia HC, si avrà un angolo DCH uguale a
DCF; il diametro della più grande obliquità potrà essere rappresentata
al di sopra in HK, e al di sotto in FT, e l’asse attraverso HC o DC, poiché l’angolo del loro incontro è sempre lo stesso in C.
Questa suppone che se si prende DI per diametro della base, sarà evidente che sarà quello della più grande obliquità, poiché il piano tHC passa attraverso l’asse HC, e attraverso la perpendicolare Ht che è orizzontale su una linea DI, che è in piano inclinato tagliato da una verticale; o questa linea Ht che è il seno retto dell’angolo HCD, è la più corta di tutte quelle che si può portare dal punto H all’asse del diametro DI; dunque l’angolo HCD è il più piccolo di tutti quelli che l’asse può fare con uno dei diametri della base; cosi come si voleva dimostrare.
COROLLARIO I
Dalla conoscenza di questo angolo, segue che si può fare il profilo di una botte a doppia obliquità, seguendo le stesse regole usate per quelli che non ne hanno che una, o due della stessa direzione, ridotte ad una; la differenza che ci sarà è che al posto di prendere la base orizzontale della faccia data per quella della proiezione delle divisioni del suo centro in cunei, si prenderà il diametro DI, trovato sul quale si abbasserà le perpendicolari dei punti di queste divisioni; ciò obbliga alla descrizione di un po’ più della metà della base, aggiungendo al disotto di AB l’arco
BI=AD; così per fare la proiezione delle imposte A e B, si porterà da
questi punti sul diametro DI le perpendicolari Aa,Bb che daranno dei punti a e b, i quali non saranno più all’estremità del diametro della base, come erano avanti. Perciò è visibile che se attraverso questi punti a e b, si portano delle parallele aX, bm (5), all’asse HC, si ritornerà nel caso
della pratica ordinaria della Fig. 244; ciò accade supponendo l’angolo
ApR uguale all’angolo DCH sia che si riduca le due obliquità ad una
semplice smussatura, o ad una semplice discesa dritta. COROLLARIO II
Poiché questa costruzione cambia l’angolo XCA della prima smussatura in HCa, quello del piede diritto AG sarà trasportato in aX parallelamente all’asse, e le linee ar e bR perpendicolari all’asse esprimeranno, il
Fig. 247 b 3
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOSECONDO PL 20 DI AMEDEO FREZIER
semidiametro dell’arco diritto, passando attraverso le giunture del letto dell’imposte, sarà così per tutte le altre giunture del letto; ciò fa vedere come si può ritornare alla stessa pratica del profilo che è stata spiegata alla Figura 244. dove si è fatto l’arco diritto a², b², attraverso il mezzo del semidiametro c², b², perpendicolare all’asse DG, diviso nelle sue ascisse, cioè, che sono delle distanze equivalenti alle altezze delle ricadute; ciò che noi spiegheremo più a lungo nel libro IV.
COROLLARIO III
Se al posto di considerare il diametro AB, come orizzontale in un piano inclinato, lo si considera come se fosse in un piano verticale, il diametro
DI sarà inclinato all’orizzonte; se si vuole supporre DI orizzontale, AB
sarà inclinato all’orizzonte, e mL perpendicolare a DI sarà una verticale la quale sarà perpendicolare all’asse orizzontale HC, poiché tutti gli altri diametri possibili gli siano inclinati; da ciò segue che qualunque smussatura che sia una volta, sarà sempre una testa di letto, dove non ci saranno tutti i punti della smussatura, e sarà perfettamente a squadra.
COROLLARIO IV
Segue anche che tutti gli angoli della testa del letto dei cunei compresi tra m e D saranno ottusi, e tra m e I saranno acuti più o meno, secondo che essi si avvicinano alle estremità D e I; ciò che deve estendersi anche ai lati opposti al di sotto del diametro DI;
Poichè i lati dei cilindri sono paralleli alla loro asse, l’angolo di ognuno di questi lati con il diametro dato, è uguale a quello che fa l’asse con lo stesso diametro.
COROLLARIO V
Poiché gli angoli che l’asse fa con ognuno dei diametri del cerchio della base del cilindro o la faccia della botte, sono tutti ineguali, segue che si può fare un infinità di profili diversi di uno stesso cilindro scaleno, nei quali apparirà più o meno inclinato; in modo che esso è fatto attraverso il diametro perpendicolare a quello della più grande obliquità; il profilo di questo cilindro, o il cilindro stesso, di un botte obliqua, sarà lo stesso di un cilindro retto.
COROLLARIO VI
Si traccia anche una perpendicolare nu all’asse HK, questa rappresenterà uno dei diametri dell’arco diritto; essendo sul posto circolare, la curva della faccia sarà un ellisse, dunque la grande asse sarà nella più grande obliquità DI, il piccolo asse in mL, che gli è perpendicolare; ciò permette con gran facilità di tracciarne il centro.
COROLLARIO VII
Almeno che qualche curva non sia il centro della faccia, o quello dell’arco diritto, il modo di trovare il diametro della più grande obliquità sarà sempre lo stesso; perché il semidiametro CT sarà uguale a FC, poiché si sostituisce un ellisse al posto del cerchio THF, e le perpendicolari Tt e Ax alle direzioni SC, EC si incontreranno sempre allo stesso punto t; senza considerare l’arco di faccia, si prende su AC una lunghezza uguale
a CF o CT, che è indipendente dal centro della faccia.
In effetti è chiaro che comunque se ne prenderà solo la metà di queste linee, cioè le perpendicolari Tt e At, che si possono considerare come i lati di un parallelogrammo; detti lati, non fanno che avvicinarsi parallelamente, e di conseguenza si taglieranno sempre nella stessa diagonale Tc; ciò basta per determinare l’angolo DCF dell’asse con il diametro della più grande obliquità che si cerca.
COROLLARIO VIII
Poiché l’inclinazione del diametro DI della più grande obliquità, con la linea orizzontale data per base della faccia AB, e l’angolo di questa linea
DI, con quella che rappresenta l’asse HC, sono le sole cose essenziali
a ridurre l’obliquità, è chiaro che la loro trasposizione al di sopra o al disotto della linea AB, non cambierà niente nella costruzione. Perciò non importa che l’asse sia in HC o in FC, visto che l’una e l’altra di queste linee passano lo stesso angolo con la linea DI; non importa neppure fare il profilo di talud al disopra o al disotto della linea AB; in questo caso bisogna peròcambiare il lato della perpendicolare all’asse da A a B. SECONDO, bisogna osservare che il talud lo strapiombo, la discesa e la montata all’apertura dell’angolo uguale con l’orizzontale AB, daranno sempre lo stesso angolo dell’asse HC con il diametro DI, ma in modo diverso; in questo modo le direzioni opposte daranno degli angoli di natura diversa, l’uno acuto e l’altro ottuso; ma saranno sempre i supplementari a due diritte l’uno dell’altro.
TERZO, i profili degli angoli di un inclinazione perpendicolare ad una stessa direzione, come la discesa ed il talud, la salita e il talud, devono essere sistemati in uno stesso lato al di sotto dell’orizzontale AB, poiché l’uno deve essere sottratto all’altro, e agli altri due lati, quando essi devono essere aggiunti; sapendo, il talud al disotto, e la discesa al di sopra, come noi faremo vedere nel libro IV, se si ritaglia dall’angolo del montante quello del talud, l’angolo della faccia con l’asse che era già acuto, diventa ancor di più. E se si ritaglia il talud dall’angolo della discesa, che è equivalente ad uno strapiombo a riguardo dell’asse considerata in situazione orizzontale, e dunque ottusa, lo strapiombo diminuisce e si avvicina di più alla retta. Si otterrà lo stesso risultato se si aggiunge l’angolo del talud al complemento dello strapiombo o discesa; quest’angolo che era acuto con questa addizione si avvicinerà di più alla retta, dunque l’obliquità dell’asse sulla faccia diminuirà.