Principalmente, più Punti trovati col compasso ( Fig. 110 ).
Si considera il Raggio dell’Ellisse metà dell’asse maggiore, si porterà uno dei punti presi col compasso in L, da dove, come centro, si descriveranno degli archi che intersecheranno questo asse in F e f per avere i Fuochi. Di questi punti F e f passanti per il centro, e di un’intervallo preso a piacere come Raggio, affinché sia più piccolo fA, o FB, si descriveranno degli archi di cerchio in quattro parti 1.2.3.4. al di sopra e, al di sotto dell’asse AB, come in In, 2n, 3n, 4n, poi si porterà la stessa lunghezza del raggio dc, A in P, e con’apertura PB ( della lunghezza dell’asse maggiore ) per Raggio, si descriveranno dagli stessi centri F e f degli archi di cerchio, che intersecheranno i precedenti nei punti 1. 2. 3. 4. che staranno sulla circonferenza dell’Ellisse; si ricomincerà con il solito procedimento con delle aperture di compasso, più o meno grandi per avere ancora quattro altri Punti; e si troveranno perciò tanti Punti, e uniti gli uni agli altri, si giungerà al proposito, per tracciare il contorno a mano libera e con particolare attenzione, dal centro dell’asse maggiore, con un Regolo ugualmente pieghevole e sottile, che si può fermare e curvare per il medio di qualunque punto di un chiodo piantato per i punti trovati in dentro e in fuori, tutto al di fuori attraverso la mano sinistra, o tracciarla con la destra.
Secondariamente, per un movimento continuo, si può utilizzare il procedimento. I°.
Per il medio di una Corda, si fa quello che si dovrebbe fare col compasso; si piantano due chiodi nei fuochi F e f, trovati come vi spiegheremo; poi fare un buco al bordo della Corda, e un altro a distanza da quello lì, perfettamente uguale alla lunghezza dell’asse maggiore AB, si mettono alcuni di questi fermagli alla chiusura dei fuochi, e come se la corda sia allentata, si fa scoppiare la cresta FDf, per farlo tendere, e si colora con una matita in D, o con una punta di qualsiasi Strumento; anche lo stesso corda che faceva la cresta FDf, farà un milione di creste FLf, e la matita che era in D, verrà portata anche in L, che sarà visto in tutte le Opere, che è inutile ripetere. Questa costruzione, che si chiama il Trait du Jardinier, sebbene Meccanico; dalla Geometria Curva, che si chiama sempre Ellisse, per distinguerla dalle altre Curve.
E’ chiaro che per avere l’Ellisse intera, bisogna fare passare la corda al di sopra di AB, come al di sotto.
DIMOSTRAZIONE
Abbiamo detto nell’articolo 29 del primo Libro, che una delle principali proprietà dell’Ellisse consiste nell’uguaglianza della forma delle due rette tracciate dai Fuochi in uno stesso punto della circonferenza, con la lunghezza dell’asse Maggiore; dunque la curva tracciata è l’effettiva Ellisse che è una delle Sezioni Coniche; poiché la costruzione per più punti trovati col compasso, e le corde per il movimento continuo, forniscono sempre la stessa uguaglianza, come dovevasi dimostrare.
PRATICA
Questa pratica è molto utile, ma poco giusta per applicarla nelle grandi Opere, perché la corda si allungano, è più o meno lunga e storta, e si pone la matita nella cresta con una forza più o meno grande; una catenella è
meno sensibile a questo inconveniente, ma essa ha le f ; fiens giacché oltre alla causa dell’ondulazione, è ancora un po’ suscettibile della non uguaglianza di estensione, a causa del suo carico, in un piano verticale, o per produrre attrito in un piano orizzontale; di forte questa non può rassicurare una linea retta, per le regole della Meccanica; poi perché, o questo attrito, forma un terzo carico che fa sforzo contro quella delle basi, le quali non possono, tirare l’una contro le altre, e far rompere la catena, poiché la terza è infinitamente piccola; è perché noi abbiamo provato un altro metodo Organico che non ha questo difetto.
Secondo Metodo per tracciare l’Ellisse per più Punti, senza trovare i Fuochi, facilmente con due aperture di compasso, o col compasso per
la metà di un cerchio e di una misura costante.
Si hanno ( Fig. 116 ) gli assi dati AB, HF : si porterà la metà dell’asse minore CH da C in E sull’Asse maggiore, e si dividerà la restante parte
EB in due parti perfettamente uguali da M.
Dal centro C, e dal Raggio CM, si descriverà un cerchio: il nostro scopo per esempio è di mettere il quarto N2 M: fuori della circonferenza di questo cerchio, si prenderanno a piacere alcuni punti, quanti se ne vorranno per tracciare l’Ellisse con più o meno esattezza, come qui i punti 1, 2, 3, dei quali, come centri e sempre di uno stesso intervallo CM per Raggio, si descriveranno dei piccoli archi che taglieranno l’asse AB, prolungato nei punti M, g, h, da dove si congiungeranno con i relativi centri 1, 2, 3, con delle rette 1M, 2g, 3h, per le quali si porterà la metà della differenza dei semi – Assi ME, o MB, in 1x, 2x, 3x, le quali daranno i punti x, x, x, alla circonferenza dell’Ellisse richiesta.
DIMOSTRAZIONE
Dal centro C, e per Raggi le lunghezze CA, e CH, si descrivono due quarti di cerchio AQb, rqH; poi per uno dei punti trovati come d, si traccerà la retta rQ e PL perpendicolari agli assi; e infine per il centro
C, la retta Cq.
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOPRIMO PL 10 DI AMEDEO FREZIER
A causa delle parallele rC, Pq, si avrà Cq : CQ :: rP : rQ; e Cq = CH, e
CQ = Cb; dunque CH : Cb :: rP : rQ; è come dire, le ordinate dell’Ellisse
all’asse AB, sono proporzionali a quelle del cerchio AQb sullo stesso asse, che è il diametro; dunque ( art. 41 del primo Libro ), il punto P è nella circonferenza dell’Ellisse, come dovevasi dimostrare.
La stessa organicamente per un Movimento continuo.
( Fig 118 ). Dopo aver diviso la differenza Ae dei due semi – Assi CA,
Ch in due parti uguali in m, o formare in eB in M, si assemblarono due
Regoli uguali ognuno alla metà di MB per metà di un perno, o di un chiodo antico, come Cd, dG in d, o due Regoli di diversa lunghezza, l’una
D, uguale alla differenza Am, l’altra Da al semi – Asse AC, poi preso un
terzo Regolo di lunghezza uguale a quattro volte Cd, o due volte eB, per la I’ costruzione, con i Regoli Cd, dG, o solamente all’Asse maggiore per la seconda, si congiungerà al centro C, il Regolo Cd, o CD, con un perno; di forte il punto C forma l’allineamento di una delle parti eG poi si porterà per il braccio dG la lunghezza Am, si mette una matita in x, o porre il Regolo Da in Dg, per formare un punto proprio per colorare la lunghezza del Regolo AB, e la matita in a; in questa disposizione, non si fa altro che colorare il punto G, nel primo caso, o in g nel secondo, o la lunghezza del Regolo AB, le matite poste in x, o in a, tracceranno l’Ellisse che si domandava, come è chiaro per la dimostrazione precedente, per la costruzione per più punti; perché questa qui è la stessa riduzione strumentale.
Altra Maniera Organica, con lo Strumento chiamato, Compasso Ovale.
Non si deve far altro che disegnare un quarto dell’Ellisse, il compasso Ovale è una Squadra, da un lato fa colorare due perni attaccati ad una certa distanza, da un Regolo, all’estremità del quale ci si serve di una matita per tracciare. Da dove, per un’Ellisse intera, si uniscono quattro Squadre separate da una couliffe per lasciare il passaggio di questi perni; supponiamo che si voglia tracciare una semi – Ellisse, con uno strumento composto da due squadre , con una couliffe tra i due, come si vede nella (
Fig. 117 ). ABCE, e affinché il braccio di mezzo resti fermo, con l’aiuto
delle linee, come mn, MN, che impediscono di non inclinarsi verso A, né verso B.
Si prende in seguito un terzo Regolo RT, e lo si pone dentro tre anelli di ferro o di rame H,G e K, nei quali si infilano, e alfine di poterli fissare dove si vuole, ci si aiuta con una vite.
In due di questi anelli posti nella piccola Boëte, tiene una corda di forma di perno conico, che fa entrare per le estremità delle rènure CE, e nelle rènure AB, e se ne fa una, che non è necessario che per i centri per il movimento del Regolo RT; si fanno queste rènure più larghe in fondo che per l’altro, e i perni sono conici, sebbene possano essere cilindriche. Nella boëte in K nel luogo del perno, si mette una matita, o una punta appunto per tracciarla meglio.
Lo strumento, non si doveva muovere più per determinare la distanza dei perni HG tra loro, e a riguardo della matita K, per tracciare l’Ellisse attraverso la lunghezza degli assi dati.
Dopo aver riportato nell’Asse maggiore AB, la lunghezza CD della metà del piccolo, da A in F, la differenza dei due semi – assi FC, sarà questa la distanza che si cercava dal perno H o dal perno G; e la lunghezza CD quella del perno G alla matita K.
I perni e le matite sono fermi per mezzo della vite, affinché esse non possano muoversi, si deve far muovere il Regolo RT per i perni, essa è sempre obbligata nella rènure delle rette AB, EC, che formano un angolo Retto, perché gli Assi sono dati; e porre nella stessa posizione il Regolo fra due perni, la matita K traccerà l’Ellisse richiesta.
Ho detto che questi due couliffes erano ad angolo Retto, perché assegnato con i due Assi; al posto dei due assi, si assegneranno due diametri coniugati, che dovranno formare fra di loro altri angoli, uno ottuso da un lato, e uno acuto dall’altro, che ne formerebbero altrettanti acuti e ottusi, che i diametri coniugati avvicinandosi all’uguaglianza; prima (
Fig. 115 ) di portare la distanza CB da D in F, si farà una retta inclinata
rispetto al diametro dato AB, successivamente la retta CF, o questo che è la stessa cosa, successivamente gli angoli FCB e ACF, e si porrà la matita in D, e i due perni in P e F, di forte, le rette CB e DP saranno perfettamete uguali, questo strumento non possono avere più utilizzo.
Si sottolinea che la distanza DP, che è la differenza della perpendicolare
FP, e del semi diametro CB, può arrivare nei punti D e P, affinché il semi
diametro CB è più piccolo di DP.
Secondariamente, si può risparmiare la fatica di fare una retta per AB, piuttosto che tenere il perno in G, Fig. 117 o in P, Fig. 115, sempre applicato al Regolo AB.
Se si vuole tracciare con lo stesso procedimento una seconda Ellisse parallela, o poco vicino alla prima, non si deve far altro che aggiungere un quarto anello in X, per applicare una seconda matita, come si è fatto in K; ma queste due Ellissi non saranno uguali; perché i loro diametri non sono proporzionali, di contro non possono essere la sezione di un pergolato, o di un cavo cilindrico, dello stesso …..; la ragione è che i due semi – assi CD, CB, si tolgono delle quantità uguali a Dd, BL, i resti Cd, CL non sono più della stessa proporzione, Cd non è più a CL, come CD a CB, giacchè supposti CD = 2, cB = 4, Dd = I, Cd sarà uguale a CL, come I a 3, quanto detto è tutto differente dal rapporto supposto
CD : CB :: 2 : 4.
Fig. 118 Costruzione di un’ellisse con l’ausilio di uno strumento e di un metodo
C C A F T PL 10
Fig. 117 Costruzione di un’ellisse con uno strumento chiamato Compasso.
DIMOSTRAZIONE
Preso il centro C, e l’ intervello della metà dell’asse maggiore CB per Raggio, si descriverà il quarto di cerchio SB, e per il punto K, si traccerà per CB la perpendicolare Or, che intersecherà il cerchio nel punto O, e dal centro C la retta CO, che sarà parallela a HK, perché OK è parallela a CH, e che HK = CS = SO; dunque CoKH è un parallelogramma. Che
HK sia uguale a CS, è evidente per la costruzione, poiché GK = AF, e GH = CF, e CS o BC = CA, e a causa del parallelismo, si avrà CO : GK :
: Or : Kr; ma CO = CS, e GK = CD; dunque CD : CS :: rK : rO : dunque ( Art. 41 ) la curva DKB è un’Ellisse.
Si può osservare. I° Che i due triangoli rettangoli GHC, GHr, che sono uguali, variano continuamente per il cambiamento della posizione del Regolo RT; in più i lati
CH, CG, Gr, rK, aumentano o diminuiscono, e pertanto l’unione delle
ipotenuse HG, KG formano una linea retta.
2° SIA l’intervallo CH, la distanza dal centro C da un perno, è
sempre uguale all’accesso KO dell’ordinata del cerchio, per quella dell’Ellisse.
Da qui si traccerà in maniera semplice per trovare altri punti che serviranno per una Ellisse vicina e parallela ad una data, come dxL, uguale a quella che è stata fatta con lo strumento. Non si deve far altro che portare l’intervallo OK, in CH, o ok in Ch, per avere le inclinazioni di più linee HK, hk, per le quali si riporterà la distanze data Dd in KX, e per tracciare i punti dati e trovare d, X, x, L, l’Ellisse richiesta, poco distante da DKkB data. Se la si vuole fare esattamente equidistante, bisognerebbe conoscere i Fuochi F e f, ( Fig. 111 ) tracciare da ciascuna
una retta al punto dato D, e tanti altri presi a piacere, e dividerà l’angolo
FDf in due parti uguali da una retta Dn, la quale si intersecherà nel punto D, la larghezza du Bandeau, Archivolte, o di altre Opere che si possono
avere esattamente per tutti con la stessa larghezza.
Per rendere questa operazione più semplice, non si deve far altro che prendere sul contorno dell’Ellisse data, o su altri punti della curva, più punti a piacere per il centro 1. 2. 3. ecc. dei quali con l’intervallo dato Dd per la lunghezza, si faranno tanti archi di cerchio, al fine di intersecare una curva tangente attd, che sarà quella che si cercava.
Ma è da osservare che una di queste Curve, e tutte le altre che non sono ugualmente concentriche alla curva data, non è conveniente ai centri che devono prendere semplicemente per un piedritto, perché formano una gobba in a con il piedritto ap, il quale sarà più sensibile e spiacevole alla vista, più che l’intervallo Dd sarà grande; giacchè è visibile il perpendicolarismo alla curva Ia, e Aa che si incontra in qualche punto come in a; di intenso tutto questo arrotondamento della naiffance AI, fa ridurre la corda inferiore nel punto a, fuoco dell’Ellisse, da dove queste due perpendicolari si incontrano, per conseguenza, si trova meno una parte simile, che formerà un angolo col diametro AB più acuto di un angolo misto aAI, che è retto nell’origine A, o poco differente da quello retto, e uguale a quello di un piedritto perpendicolare per AB, dunque l’angolo misto della corda da, con il piedritto ap perpendicolare ad AB, formerà un angolo differente, che sarà altrettanto più acuto, più l’arco
AI sarà grande, di conseguenza avrà una gobba; ciò che è insopportabile
in Architettura.
COROLLARIO
SI può ancora parlare di un altro metodo, quelli che prendono la misura della larghezza dell’intervallo fra le due curve, per i diametri dell’Ellisse dati, come le insegna P. DECHARLES, Libro 5, Prop. 21 è ancora molto errato; poiché è visibile che questa distanza è, per esempio, Dy, per Dn o
Du, per DC, il punto u si avvicina più alla circonferenza che il punto y,
per conseguenza l’Ellisse non è più equidistante alle estremità A D m G date; Di forte in questo luogo, le Botti o Archivolte che si propongono di fare della stessa lunghezza, si troveranno più strette: la retta Dn, che divide l’angolo FDf in due parti uguali, non cade per il raggio, perché il punto D è all’estremità del diametro minore o asse minore; giacchè ( per la 3ª prop. dal 6° Libro di Euclide ), la linea che divide l’ angolo di un triangolo fDF in due parti uguali taglia la base di questo triangolo proporzionalmente in due parti; ma il raggio o semi – diametro taglia la base fF in due parti uguali in C, dunque non divide l’angolo FDf in due parti uguali, dimostreremo ancora un altro procedimento la falsità di questa pratica, nel cap. VIII, del 4° Libro.
OSSERVAZIONE
Sebbene il Compasso a curva è un buono strumento, si può imparare il suo impiego, e operare nel modo più giusto nelle grandi Opere, si cercano più punti della circonferenza dell’Ellisse che si propone di fare, per la quale si pone un regolo sottile, e una épaiffeurs uguale che si ferma perfettamente, o con le mani, o con la punta di un chiodo, come abbiamo detto prima, e lungo la quale si può tracciare il contorno anche da fermi, e o anche con qualche Strumento; ecco altri problemi per l’uno e l’altro Metodo.
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOPRIMO PL 10 DI AMEDEO FREZIER
= AG per la costruzione, e CI = LH; e a causa del triangolo rettangolo
HIG, IG² = GH² – HI² = CA – CL² = al rettangolo BL x LA ( per la 5ª del
2° Libro di Euclide ), dunque al posto di CI, si mette LH, e al posto di
DF si mette CA, si avrà CD² : LH² :: CA² : BL : xLA : dunque il punto H
è nella circonferenza dell’Ellisse, come dovevasi dimostrare.
COROLLARIO
Da qui si può descrivere un’Ellisse con un movimento continuo al contorno dei due assi coniugati, con un altro strumento che è un Regolo e una semplice squadra, o due altri Regoli che formano un’ angolo uguale a FCB, trovato come vi abbiamo insegnato, e un terzo buco, fra le distanze P, D, F, per poter mettere una catena in P, e in F, per poterci appoggiare i Regoli FC, e CB; si metterà una matita nel terzo buco in
D, o una punta proprio per tracciare l’Ellisse; si colora il punto F, dove
è la catena, la lunghezza del regolo FC, e la catena P di lunghezza del regolo CB, la matita in D traccerà il quarto dell’Ellisse DhB, e si fa lo stesso dall’altro lato della retta FC, trasportando il Regolo CB in CA, e lo stesso per il Regolo FP, si traccerà l’altro quarto dell’Ellisse ADB, questo è quello che si doveva fare per un Movimento Continuo. Per non cambiare il Regolo CB, bisogna allungarlo, nel caso in cui cedano i punti
A e B di qualche lato, della lunghezza DP. PRATICA
Questo procedimento può servire per tracciare degli Archi Rampanti e per la progettazione di facciate Ellittiche in talud, dunque non si hanno sempre i diametri coniugati, e non vale la pena cercarli; ma si può utilizzare lo stesso procedendo per più punti con un procedimento ancora più semplice.
SECONDO METODO
Siano i diametri coniugati AB, DE : ( Fig. 121 ) dopo aver mandato per il punto D la retta DT, parallela ad AB, e dal centro C la perpendicolare a
CK, che incontrerà DT nel punto K, e la si prolungherà verso F. Preso C
come centro, e per il raggio CK, si descriverà il quarto di cerchio HK, e dallo stesso centro; e per raggio il semi-diametro CB, si descriverà un altro quarto di cerchio FB, che si dividerà in tante parti uguali o ineguali come si vedrà, 1, 2, 3, F; conviene per comodità e per la velocità dell’operazione che essi siano uguali, perché bisogna dividere anche l’altra parte di cerchio HK, con lo stesso numero di parti, e se sono ineguali, devono essere proporzionali al proprio corrispondente; per ciascuna di questa divisione 1, 2, 3, nell’uno e nell’altro quarto di cerchio HK : e IL, 2M,
3N, nel quarto di cerchio BF; in seguito per gli stessi punti 1, 2, 3, dello
stesso quarto di cerchio FB, si tracceranno altre rette 3g, 2h, Ii, parallele a FC, per conseguenza perpendicolari ad AB, le quali intersecheranno questo diametro nei punti g, h, i; si tracceranno per questi punti le rette