CERCHI.
Quando si ama la regolarità, non ci serviamo di queste Curve che sono solamente simili alle originali, esse sono quindi solamente delle copie imperfette, formate dalla composizione di parecchi archi di cerchi di differenti raggi; l’originale è senza dubbio preferibile alla copia; tuttavia l’ignoranza sulle proprietà delle Curve, anche le più comuni, come sono le sezioni coniche & le spirali, unita ad una più grande facilità apparente di tracciare degli archi di cerchi, o ancora quella di unire a tratti delle volte, fanno cercare più modi di imitarli attraverso l’accostamento di porzioni di cerchi; & l’ellisse è una delle più comuni, i Disegnatori & gli Architetti si sono sforzati per molto tempo, ma inutilmente, di imitarlo perfettamente senza imperfezioni con 3, 4, o 5 porzioni di cerchi, gli assi erano dati: per convincersene, non c’è che da guardare due delle tavole del Libro di Bosse, in cui trattando il modo di disegnare l’architettura, è stato riunito ciò che era stato fatto di meglio fino ad allora: questa scoperta fu riservata ad un Geometra, come M. PIT0T dell’accademia Reali delle Scienze che ha trovato che con la posizione di tre centri, & la lunghezza di due Raggi si può imitarlo quasi alla perfezione, come lo diremo qui di seguito.
Lo stesso sembra anche per le tavole del Libro del P. DERAN, particolarmente per quella del Capitolo XIX, in cui questo Autore che si era esercitato a tanti “Traits”, non aveva capito l’imitazione dell’ellisse; in quanto la differenza della giusta posizione dei centri dei suoi archi Rampanti è troppo considerevole, & le imperfezioni troppo sensibili, perché si possa incolpare l’Incisore. Tuttavia questi “Traits” sono guardati in Architettura come cose di un certo rilievo: una persona che si dedica a questa Arte mi fece notare una delle particolarità del nuovo Ponte di Compiegne, un arco ribassato che aveva cinque centri; gli risposi sorridendo che sarebbe stato più bello & migliore, se al posto di cinque centri, avesse avuto due Fuochi.
REGOLA GENERALE
Tutta l’arte di imitare le Curve tramite differenti archi di cerchi, consiste nel porre i due centri degli archi che si congiungono su una stessa linea diritta che passa nel punto del loro incontro, in modo che la perpendicolare che verrà tracciata a questo punto sia tangente comune, all’uno & all’altro arco nello stesso punto; la ragione è: I. che l’angolo dell’arco con la tangente è infinitamente piccolo da una parte & dall’altra del punto di tangenza, dunque il Raggio è quasi perpendicolare a questo arco, che sulla tangente è, ad una distanza infinitamente piccola. 2. che l’angolo composto da queste due rette sarà infinitamente grande, di conseguenza i suoi lati saranno diretti in una linea così poco differente della linea diritta, che l’oeil non può vedere la piega, ad esempio un Poligono di un’infinità di lati infinitamente piccoli inseriti nel cerchio.
Tuttavia l’oeil Geometrico che è un Giudice severo, percepisce bene il cambiamento improvviso della convessità & della concavità, in particolare se i Raggi dei due archi che si uniscono, diventano considerevolmente differenti in lunghezza, siccome è spesso necessario che lo siano per formare una semi-Ellisse di tre archi; allora anche le
persone meno esperte percepiscono bene di questa irregolarità, senza saperne la ragione; ecco perché non consiglio a nessuno di fare ricorso a questo artificio dell’ignoranza; sebbene io qui dia le migliori regole per nasconderne i difetti, lo faccio solamente per accontentare quelli che amano risparmiarsi della pena a scapito di una più grande perfezione di lavoro, o per quando la cosa non è abbastanza importante da meritare una cura maggiore, o per facilitarne l’esecuzione agli Operai che non sono capaci di un’operazione più perfetta.
PROBLEMA XXI
Siano dati due Assi , imitare una Ellisse per un accostamento di quattro Archi di Cerchi.
O indifferentemente, imitare una semi-Ellisse con tre archi di 60 gradi ciascuno.
Sia AB l’asse maggiore (Fig.153) & CD la metà dell’asse minore: si porterà in primo luogo la lunghezza CD di questa metà conosciuta sull’asse maggiore in By, per avere la differenza dei due semi-assi Cy, questa si dividerà in due in F, poi si porterà CF in Cz: preso zy, come diametro, si farà il semi cerchio ZEy che taglierà CD in E, si porterà la lunghezza ZE in ZS, & la distanza CS da un lato e dall’altro, CS in Cs: i punti s & S saranno i centri degli archi minori dell’estremità dell’ovale, & le linee As & sB i loro Raggi; infine presi i punti s & S, come vertici, & la lunghezza sS, si traccerà il triangolo equilatero STs il cui vertice T sarà il terzo centro ricercato; & le parti di questo triangolo prolungato, determineranno la congiunzione degli archi piccoli e grandi in i & I sui quali si prenderà Ts - sB per Raggio dell’arco maggiore; così i tre archi saranno di sessanta gradi ciascuno, & avranno dei Raggi comuni; questo è quello che si deve fare.
DIMOSTRAZIONE.
Sia AC=a, CD=b e l’incognita CS=x, per la costruzione CY=a-b &
CZ=a/2-b, così come CE=S(a-bxa/2-b) & ZE=S(a/2-b²-a/4-b²), ma
C C T PL 14 A F
CS(x)=CZa/2-b-ZS o ZES(a/2-b²-a/4-b²) quindi a/2-b-S(a/2-b²-a/4-
b²) quello che dovevamo dimostrare
P R O B L E M A XXII.
Imitare con due archi di Cerchi le porzioni di ellissi fatte su due Diametri che non sono degli Assi congiunti di cui uno è delimitato da due Tangenti ai suoi estremi, & di cui la Congiunzione è determinata da un terza Tangente assegnata.
Non si può imitare con una composizione di due archi di cerchio riuniti, ogni tipo di ellisse fatta su dei diametri congiunti che non sono degli assi, & che devono toccare una linea assegnata & posta ad una certa distanza; ma si può fare in modo che l’ovale tocchi la parallela della terza tangente data.
Per conoscere se il problema puo’essere risolto da archi di cerchio
Siano [Fig.154] PD & RG due tangenti nei punti B & A, & Dg una terza linea che deve toccare l’ovale che si deve fare; si porterà la lunghezza
DB sulla linea Dg in Db, & la lunghezza gA in ga, se questi due punti a
& b non cadono sullo stesso punto, il Problema non può essere risolto; perché è dimostrato nella Geometria Elementare che se da un punto
d o G preso fuori dal cerchio, gli si conduce due tangenti dB, dT, o GA, GT, queste sono uguali tra esse; supponendo dunque la linea Dg
assegnata, è necessario per risolvere questo problema fare Db=DB, &
ga=gA, tracciare Aa & Bb, il punto T della loro intersezione sarà quello
di tangenza della tangente dG da cui, si traccerà la perpendicolare indefinita TC, & per gli altri due punti di tangenza A & B dati, facendo B c perpendicolare a dP, & AC perpendicolare a RG; i punti C & c, dove queste linee intersecheranno TC, saranno i centri degli archi di cerchi che devono rappresentare l’ellisse che ci proponiamo di fare, o il caso che si possa avvicinare di più. Se la linea Dg assegnata è al disotto del punto T, come EF, bisogna fare Eh=EB, & Fi=FA, tracciare Bh & Ai che prolungandoli, si incontrino al punto T che è quello di tangenza che si cerca per cui avendo tracciato una parallela dG, cade su Dg o su EF; si verifichi che la somma delle linee B d & AG sarà uguale a quella di
dT & GT.
DIMOSTRAZIONE
A causa delle parallele Dg & dG o EF, DB:Db=dB:dT & gA:ga=GA:
GT,ma gA=ga, (per costruzione,) & DB=Db, dunque dT=dB, & GA=GT;
dunque il punto T è quello di tangenza della linea DG, questo è quello che si doveva trovare.
COROLLARIO
Da dove si trova la maniera di fare ogni tipo di arco Rampante, con porzioni di Cerchio in casi in cui i Piedritti siano a strapiombo, fra loro paralleli o “Talud”, & nei vari casi in si trovi la linea di sommità dG: ecco degli esempi, dei più comuni in cui i piedritti sono paralleli fra loro. Primo caso dove la linea di sommità dG è orizzontale, & i piedritti a piombo.Vedi Fig.155. la linea di Pendenza assegnata AB, è all’altezza BO sull’orizzonte, ribaltandola su Ob allineata alla linea orizzontale AO. si dividerà Ab in due parti uguali in m, da dove si traccerà la perpendicolare
mT: poi dal centro m, & per Raggio Am, si descriverà l’arco di cerchio AT
fino all’incontro di mT; avendo preso poi su mT, la lunghezza mc=OB, il punto c sarà il centro del secondo arco BT che incontrerà il primo nel punto di tangenza T, questo è ciò che si deve fare per rendere la congiunzione impercettibile.
Secondo caso dove la linea di Pendenza AB è parallela a quella di sommità dG..
Fig.154:Imitazione di un’ellisse costruita da archi di circonfrenza i cui raggi non appartengono alla stessa retta
Fig.155: Costruzione di un arco rampante in cui i piedritti sono paralleli e la linea di sommità orizontale
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOPRIMO PL 14
MATERIA E GEOMETRIA
Avendo diviso l’orizzontale AO in due parti uguali, [Fig. 156], in m & alzato in questo punto la verticale mT che intersecherà la linea di sommità
dG nel punto T, dobbiamo fare Ad=dT, come abbiamo detto all’inizio
di questo caso; poi dal punto T, tracciare la perpendicolare TC a dG, e quindi alla parallela AB; il punto C dove questa perpendicolare taglierà l’orizzontale AO, sarà il centro del arco di cerchio maggiore AT: poi si conduca da B la parallela ad AO, che intersecherà T C nel punto c, il quale sarà il centro del secondo arco TB che si unirà all’arco maggiore nel punto di tangenza in T, come è necessario.
Terzo caso dove la linea di sommità Dg [Fig.157.] non è parallela alla
linea di Pendenza A B
Avendo trovato il punto T, come si è detto al principio di questo Problema; si traccerà CT perpendicolare a Dg, & Bc parallelo ad AO, si avrà, come al caso precedente, i punti C & c come centri dei due archi che devono formare l’arco Rampante ATB.
DIMOSTRAZIONE.
Si vede che in fondo tutti questi casi non differiscono in niente per la costruzione: Perché, I.°[Fig.155], poiché AO & dG sono paralleli tra loro, come pure CT & Ad; è evidente che Ad=dT, & poiché Cb=CA=CT, &
Ob=OB, BG sarà uguale a CO=TG, dunque le due tangenti di ciascuno di
questi archi AT, TB sono uguali, di conseguenza si riuniscono al cerchio, & i centri C & c sono sulla una stessa linea e la stessa tangente dG è comune ad entrambi i cerchi.
I due seguenti casi sono dimostrati per il Principio generale che stabilisce la posizione dei centri, & le stesse condizioni delle tangenti di cui abbiamo appena parlato.
COROLLARIO.
Da ciò si trae il modo di tracciare l’ovale appuntito se è permesso di usare qui questa parola, per esprimere la disuguaglianza del suo contorno alle estremità del suo asse maggiore, che a causa della sua somiglianza con il contorno di un uovo chiamato in latino Ovum,è chiamato in Architettura un Ove: come un ornamento di cui si fa grande uso nelle Cornici, & di cui si trovano falsi “Traits”nei Libri; vado a correggerli. Alberto DURET nella sua Geometria ne dà due tesi, una è tratta dal Cono il cui il contorno fa un’imperfezione ad ogni estremità dell’asse maggiore, come è facile dimostrare, se la cosa ne vale la pena; l’altro ”Trait” che è stato seguito da alcuni Autori, è una composizione di archi di cerchi, dove è stato fatto ancora un errore grossolano, unendo il secondo & terzo arco al di sopra del punto I in S al fuori dei Raggi comuni D I: 3I. Fig.158
Sia dato il diametro minore AB per la larghezza maggiore dell’Ove; lo si dividerà in quattro parti, & si prolunghi questo diametro da una parte & dall’altra, di tre quarti della sua lunghezza in modo che DA & B2 siano
Fig.156:Costruzione di un arco rampante in cui i piedritti sono paralleli e la linea di pendenza è parallela a quella di sommità
Fig.157:Costruzione di un arco rampante in cui i piedritti sono paralleli e la linea di pendenza non è parallela a quella di sommità
Fig.158: Costruzione attraverso archi di cerchio dell’ovale appuntito, chiamatoin architettura Ove; è una figura a cui vienefatto spesso ricorso nelle cornici, come ornamento
C C T PL 14 A F
uguali a mB: poi preso il punto C, posto a metà di A B, per centro, si descriverà un cerchio AHBE che si dividerà i quarti di circonferenza AE,
BE in due parti uguali nei punti 3. & 4. per i quali si condurrà le linee DI, 2i, che saranno uguali a DB o 2A, descrivendo due archi BI, Ai dai
punti D & 2. tali archi prolungati, si intersecheranno nel punto x , & per il centro C si traccerà la linea Hx: poi presi i punti 3 & 4 come centri, & la distanza 3I per Raggio, si descriverà due archi che si intersecheranno in y sulla linea Hx: si divida l’intervallo Ey in due parti uguali in c, da dove si tirerà le linee 3G, 4g, che rincontreranno questi archi in G & g ; infine preso il punto C per centro, & cG o cg per Raggio si descriverà l’arco Gg che finirà l’ovale in Ove.
È facile vedere che si può allungare o accorciare questo Ove alzando o abbassando i centri 3. & 4. & l’ultimo c.
Gli Architetti pongono abitualmente questo Ove in una Nicchia di cui Bosse regola così il contorno, fa HL perpendicolare & uguale al diametro
HE; la divide in due parti uguali in O, & la metà OL in quattro parti uguali:
divide poi anche l’asse maggiore HF in tre parti uguali, & questo terzo in cinque, porta una di queste cinque parti di F in p, & del segmento Sp un terzo di FH, descrive un arco Fz, di cui non specifica di quanti gradi; questo sarà tuttavia necessario per avere gli intervalli dei Raggi qK, z N che sono le corde & i raggi di questi archi.
Tutta questa costruzione è solamente una fantasia & un gusto di disegno arbitrario imitato apparentemente dai resti delle Cornici antiche, dove si vede queste Nicchie formate da differenti elementi, in parte rialzati & divise tra loro con ornamenti di foglie, & qualche volta di dardi; cosa che non riguarda il nostro argomento.
Abbiamo dato il modo di descrivere dei semi-ovali, per il mezzo di tre archi di cerchi di 60 gradi ciascuno, supponendo gli assi assegnati; ci resta da mostrare come si può farli di tanti archi di cerchi quanti si desidera, o regolarmente di forma ovale, o irregolarmente in porzione di Ove; ciò che è necessario per tracciare differenti tipi di gusci, o sagomature cave, & i contorni di alcuni ornamenti che si chiamano Pieducci.
Siano per esempio, (Fig.159.) dati più punti A, 1, 2, 3, B, posti in modo adatto al contorno cavo che si propone; si prenderà il segmento A1 come lato di un triangolo equilatero A1D, & dal punto D preso per centro, si descriverà l’arco A1: avendo tracciato poi la corda 1, 2, & avendola divisa in due in m, si traccerà da lì una perpendicolare me che intersecherà 1,
2, prolungata in e, dove sarà il centro del secondo arco di cerchio 1, 2, si
tirerà la stessa corda 2, 3, & sul suo mezzo M, si alzerà la perpendicolare
M C che intersecherà 2e prolungata al punto C, che sarà il centro del
terzo arco 2, 3, così via, si avrà l’ultimo centro f.
La ragione di questa pratica è chiara per la sola costruzione, dove si riconosce l’applicazione della Regola generale, in cui ci sono due centri sulla linea diritta, dove viene fatta la congiunzione degli archi che devono toccarsi, questo significa, avere una tangente comune, come TN che tocca ugualmente gli archi 21 & 23, ecco cosa si deve fare per evitare tutte le imperfezioni.
COROLLAR IO.
Segue da questo esempio che sebbene abbiamo composto degli archi rampanti di due soli archi di cerchi di un numero di gradi uguali o non; si può ancora meglio formarli da un numero di archi che si desidera; perché se si considera la Fig.159. cambiata di situazione, & si prende i punti A& p per le Imposte, è evidente che la Curva A1 2 3 p può servire per il centro di arco Rampante: ma allora il seguente Problema servirà più d’introduzione all’imitazione della spirale che a quella dell’ellisse.
P R O B L E M E XXIII.
Data la differenza di altezza delle Imposte A & H & l’intervallo Orizzontale DA dei Piedritti di un arco Rampante assegnato, tracciare un sesto composto di un numero archi di Cerchi a piacimento diversi per Raggi, ma uguali in numero di gradi, o se si vuole, in determinate circostanze, di un numero maggiore.
Sia [ Fig.160a] il sesto ABH che ci proponiamo di fare, per esempio di cinque archi di cerchi; sull’altezza data DH presa come diametro, si traccerà un semi-cerchio HID, che si dividerà in cinque parti uguali, ossia, in cinque archi da cui si tireranno le corde, alle quali si condurrà le parallele tangenti al cerchio, per circoscriverci la metà di un decagono: avendo prolungato poi la linea Ad verso n, si porterà successivamente le cinque parti di D in n.
Si dividerà nA in due parti uguali in X, da dove si condurrà Xx parallelo & uguale a DH, su cui preso come diametro, si è tracciato un semi-cerchio, in cui si circoscriverà lo stesso Poligono; ma girando differentemente iniziando a portare una parte in X i, & x5, sulle parallele DA & H5, si farà C3 uguale ad O2, distanza del centro O, ad un angolo del Poligono & dai punti 3 & 1, 3 & 5 presi per centri & preso per raggio il lato del Poligono, si farà delle intersezioni di archi che daranno i punti 2 &4, per tirare per i punti 2, 3, 4, 5 i lati che si prolungheranno indefinitamente verso B, E, F, G; infine dai punti 1, 2, 3, 4, 5 presi per centri & con raggi
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
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MATERIA E GEOMETRIA
1A, 2B, 3E, 4F, 5G; si descriverà degli archi AB, BE, EP, FG, GH che
formeranno insieme senza nessuna imperfezione la curva che si chiede: se il numero di lati del Poligono non è completo, che ci sia una metà di più, ci sarà anche un arco di cerchio in meno che gli altri; ciò avverrà sempre, quando i lati saranno insieme la metà di un numero dispari, come il triangolo Equilatero, il Pentagono, l’Eptagono, ecc.
Non è necessario spiegare il perché di questo concorso di archi di cerchi
che si incontrano in un punto comune di tangenza; basta dire il perché, si è portato i lati del Poligono circoscritto sopra la linea Ad prolungata; è per avere l’asse Xx, & il centro C del Poligono generatore che devono essere nel mezzo di una linea composta dall’assegnata DA & dell’aggiunta D n; perché ogni Raggio degli archi che seguono diminuisce della lunghezza di un lato del Poligono 1 2, 2 3, 3 4, ecc. di conseguenza tutti insieme diminuiscono della lunghezza Dn, all’interno di un semi-cerchio che avrà XA o Xn per Raggio, & sarà parte del cerchio di rivoluzione della spirale di cui questo arco Rarnpante è una metà. Si vede perciò la ragione