Da dove risulta che la proiezione fatta su un piano verticale o orizzontale, raccorcia la rappresentazione di tutte le linee e superfici che non sono paralleli al piano sulla quale lo si fa.
Sia ( Fig.169.) la linea AB, di cui si fa la proiezione sul piano gh, è evidente che se questa linea è nella situazione aB, parallela a questo piano, le perpendicolari aD e BF abbassate dalle sue estremità saranno anche parallele ed uguali. La rappresentazione DF sarà uguale ad aB, ma se si trasporta il punto a in A senza muovere il punto B, si raccorcerà la rappresentazione di questa linea alla distanza che ci sarà dalla perpendicolare aD ad AE, che è uguale al seno verso aS dell’angolo aBA dell’inclinazione della linea AB, abbassata alla sua estremità A al disotto della linea orizzontale aB, se la proiezione si fa attraverso delle verticali; dunque la rappresentazione EF sarà più piccola che la linea AB. Si può dimostrare questa verità in un modo più semplice, portando AC 1
parallelo a EF, poiché allora si riconoscerà che la proiezione di una linea che non è parallela al piano dell’ iscrizione è sempre uguale al lato di un triangolo rettangolo, di cui la linea oggettiva è l’ipotenusa. Da cio, noi tiriamo la presente conclusione che è fondamentale per tracciare i disegni che si chiamano disegni tridimensionali per il taglio delle pietre.
TEOREMA
Fig. 169 La proiezione della linea AB sul piano gh non parallelo ad essa, è più corta della lunghezza reale
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOSECONDO PL 16 DI AMEDEO FREZIER
Le proiezioni delle linee curve che sono in un piano perpendicolare ad uno o più altri piani di descrizione, sono delle linee rette, dunque le divisioni fatte da queste parallele portate da più punti di queste curve, sono sempre nella stessa proporzione con le ascisse coordinate.
Per primo, è chiaro che la proiezione di una linea curva che è (Fig. 170.) in un piano perpendicolare a quello di descrizione, è una linea retta. Dunque tutte le linee portate dai punti della curva su un piano di descrizione, sono nello stesso piano, e non si deve più considerare la sezione dei due piani, la quale segue la geometria elementare, la quale è necessariamente una linea retta. Così la proiezione dell’ellisse ABDE (Fig.170.) è la linea ad nel piano gh e la linea be nel piano gk, l’una ad orizzontale sul piano orizzontale, e l’altra be verticale sul piano verticale, ed i punti c¹, e c²
2di queste due linee sono la rappresentazione dei tre punti uniti in uno. Il
punto c (3) che rappresenta i punti B, C, E, e C² i punti A, C, D, in modo
che ca e cd (3) siano le rappresentazioni di un quarto o di una metà di
ellisse, ciò che è visibile, e alla quale bisogna abituarsi per capire tutto ciò che diremo inseguito su delle figure, dove noi esprimeremo spesso le linee curve, attraverso quelle diritte.
Quanto alla seconda parte di questo teorema, toccando il rapporto delle divisioni fatte dalle parallele portate da più punti delle curve, noi capiremo la dimostrazione alle sezioni coniche, che sono quasi le sole con cui noi abbiamo a che fare, in particolare le sezioni del cerchio e dell’ ellisse. Sia una linea kLo be (Fig. 171.), tagliata dalle parallele at, Qs,Pr. Il rettangolo per aTxTd :ktxTL:: Qcxcq:kc x cL, è lo stesso dei rettangoli fatti dalle parti delle linee be tagliate dalle parallele at,Qs, Pr; dunque i punti Tcz, sezioni delle linee tirate dai punti aQP, sulla linea kL danno delle divisioni su questa linea che hanno lo stesso rapporto tra di esse, che è quello che gli stessi punti aQP danno sulla linea be, anche se differentemente situati nei riguardi dell’ arco aP dell’ ellisse, all’ interno della curva.
Non sarà difficile, far vedere che lo stesso rapporto sussisterà a riguardo delle linee che sono fuori della curva, per esempio di gH, poiché si porta dal punto g una linea gf parallela a be, ed è evidente che le divisioni rs e st sono uguali a zn e nm. Tuttavia, a causa delle parallele at, Qs,Pr, i triangoli gtM, gsN, grO sono simili, dunque rs=zn:st=nm:: ON:NM::zc:
cT, e di conseguenza, le proiezioni dei punti PQa,o pqd, fatte dalle linee
parallele tra loro, danno sempre delle divisioni che fra loro stanno nello stesso rapporto , su dei piani differentemente situati, sia dal di dentro, che dal di fuori della curva , e qualche angolo che le linee di proiezione fanno con questi piani; ciò che si doveva dimostrare.
Fig. 170 La proiezione dell’ellisse, sia sul piano orizzontale che su quello verticale,
è una linea retta
2 Nel testo originale la lettera c2 è maiuscola
C C A F T PL 16
COROLLARIO I
Da ciò segue, che la proiezione fatta su dei piani perpendicolari alle parallele di proiezione, non è una rappresentazione più regolare degli oggetti, che quella che è fatta da delle linee oblique, e questo modo di rappresentare i corpi è geometrico, poiché conferisce sempre un certo rapporto delle parti delle curve proiettate.
COROLLARIO II
Di qua segue, che se si fa la proiezione di un cerchio attraverso delle linee parallele, perpendicolari o oblique al piano di descrizione, le divisioni corrispondenti ai due lati della linea di proiezione che passa dal suo centro, saranno uguali tra di loro, a causa dell’uniformità di questa curva. Sarà lo stesso nei riguardi dell’ ellisse, poiché la proiezione avverrà attraverso delle linee perpendicolari al piano di descrizione.
Ciò che noi diciamo del cerchio e dell’ellisse è ancora vero a riguardo della parabola e dell’iperbole, poiché le linee di proiezione sono parallele alle loro assi.
Si può estendere questo teorema a delle altre curve con delle sezioni coniche, come alle spirali e alle ovali, fatte dalla sezione dei corpi anulari, di cui noi abbiamo parlato. In una sola parola, la proiezione conferisce sempre una certa regolarità del rapporto, che è il solo mezzo per cui adattare ad una linea retta qualche proprietà di una linea curva, e per applicare su un piano le superfici concave o convesse, senza confondere le loro parti; anche se essa trasforma una curva in un’altra.
TEOREMA
La proiezione di un cerchio,che non è parallelo al suo piano di descrizione è un ellisse, al contrario quella dell’ ellisse può essere un cerchio; quella delle ellissi, parabole e iperboli, è una curva della stessa specie più o meno allungata.
Sia (Fig.172), il quarto del cerchio AEFC nel piano AEHC, sul quale si fa la proiezione dello stesso quarto di cerchio supposto elevato su questo piano D, nell’intervallo di arco DE, misura il suo angolo di inclinazione DAE, fissando il raggio AC sul piano. Siano i punti D e G, presi a piacere avendo tracciato sullo stesso piano le perpendicolari Dd e
Gg, che bisogna supporre tali anche se essi non sono nella figura a causa
della prospettiva. Se attraverso i punti d e g, si tracciano le dritte AdE,
BgF perpendicolari al raggio AC, si avrànno due triangoli simili AdD e BgG, rettangoli in d e g per costruzione; dunque gli angoli in A e B sono
uguali, poiché sono gli angoli dell’inclinazione dei due piani dei quarti di cerchio DAC e EAC, di conseguenza Ad:AD::Bg:BG, ma AD=AE e
BG=BF, dunque AE:Ad::BF:Bg. Ciò dimostra che le ordinate della
curva, sono tra loro come quelle del cerchio; ciò non appartiene che all’ ellisse , quello che si doveva dimostrare.
Si sarebbe potuto dimostrare tutto ciò in un unica volta, considerando il cerchio alla superficie di un cilindro scaleno, la cui sezione perpendicolare all’asse è un elisse, poiché le linee di proiezione, essendo moltiplicate all’infinito e passando alla circonferenza di un cerchio formeranno la superficie di un cilindro.
Attraverso questo mezzo si dimostra tutta insieme la seconda parte di questo teorema, che dice che la proiezione di un ellisse è spesso un cerchio, ed è spesso un ellisse più o meno allungata . In tal modo, l’ellisse, considerata la superficie del cilindro destro, si riduce ad un cerchio alla base, e se il cilindro è tagliato più o meno obliquamente, sia che esso sia retto o scaleno, la sezione è un ellisse più allungata e ristretta.
La stessa dimostrazione serve per la terza parte, che dice che le proiezioni delle parabole e delle iperboli sono delle curve della stessa specie, come è stato detto nel teorema III, e che non differiscono da quelle che si vogliono rappresentare attraverso la proiezione. Tutto ciò, in quanto esse sono più o meno allungate o accorciate, e seguono più o meno fedelmente l’obliquità della sezione. Considerando che le linee di proiezione moltiplicate all’infinito formano corpi cilindrici che hanno per base una parabola o una iperbole, si ha l’inverso del teorema III.
COROLLARIO
Da ciò risulta, che più linee di proiezione sono gli angoli acuti, con il piano della figura che si vuole proiettare. Inoltre, più la figura si ristringe, in modo che queste linee stiano in un angolo infinitamente acuto, piu esse
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cadono nel piano della figura, e la riducono ad una linea diritta, come noi gli abbiamo detto precedentemente.
USO
L’applicazione di questo enunciato, si presenta tutti i giorni nella pratica per il taglio delle pietre e per altre opere di architettura. Riguardo la proiezione, parlando in termini artistici, considero il piano di una porta sia in pieno centro, sia rialzato, sia ribassato in un muro in scarpa, come sono ordinariamente quelli dei rivestimenti delle fortificazioni,essa è un ellisse molto ristretta, che segue più o meno l’inclinazione della scarpa, e quella di una giuntura del letto di una nicchia sferica in conchiglia, che è ugualmente un ellisse che si ristringe verso una chiave dove essa diventa una linea diritta, e si apre verso le imposte dove diventa un arco del cerchio.
Questi due enunciati sono ancora necessari per capire le figure seguenti, e quelle dei trattati in generale, dove si rappresentano spesso i cerchi e le ellissi con delle linee rette che ne fanno la proiezione, o attraverso ellissi estremamente ristrette.