Fatta questa analogia come h o v CD²-AC² o CF è a b o AC, così m o
SD è ad un quarto . Io dico che se voi prendete SE uguale a questo quarto,
e voi tracciate attraverso il centro C la retta EY , la parte yY intercettata tra i due piccoli lati SA e SB prolungati ,sarà la posizione e la grandezza del diametro cercato, sul quale si innalza un piano perpendicolare al triangolo ASB. La sezione di questo piano, sarà nel cono un cerchio, così tutti gli altri piani paralleli a questo faranno attraverso le loro sezioni tutto come gli altri cerchi.
SCOGLIO
Se vi piace di più trovare trigonometricamente l’angolo dell’inclinazione della sezione, sapendo che l’angolo ACy è uguale all’angolo E, voi non dovete fare altro che questa analogia, come ES è a SC, e così il seno totale è la tangente dell’angolo ACy.
COROLLARIO
Si trova adesso tutto ciò che si vuole, per esempio, Cx, o la distanza dal centro dell’ellisse al centro del cerchio. Da Yy=yC+CY=b v xx+aa/x+b
+ bv xx+aa/x-b= (sostituendo il valore di x) cn/m+h + cn/m-h = 2mcn /mm-hh =(sostituendo il valore di mm-hh che è =aa+bb=nn) 2mcn/ mm-hh=2mc/n, dunque la metà mc/n= Yx o yx, e tagliando Cy, dove cn/m+h resta Cx=mc/n – cn/m+h=mmc –nnc-hmc/mn-bn=(sostituendo
MATERIA E GEOMETRIA LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte CARMELA CRESCENZI TOMOSECONDO PL 16 DI AMEDEO FREZIER
sarà il quarto proporzionale di n, h e c,cioè, di SAv CD² -AC² e CD , o di SA,CF e CD.
Ciò che voi trovate ( ed è sempre M. Bernoulli che parla in risposta ), che il quarto della metà del diametro yY che si cerca, è uguale ad un
quarto di metà della grande asse CD, e della base più al quarto di Cx,
non è altra cosa che una applicazione di una proporzione del II libro di Euclide, che è una linea diritta come yY essendo tagliata ugualmente in
x, ed inegualmente in C, il quarto della metà yx è uguale al rettangolo
dei segmenti ineguali yC x CY più al quadrato dell’intercezione Cx. Poichè come io ho rimarcato sopra, il rettangolo yC x CY deve essere uguale al quadrato CD, dunque si avrà anche Yx² o yx²=CD²+ cx², come voi avete trovato. Questo è ancora confermato da quello che ho appena dimostrato in ultimo luogo , dove ho trovato Yx= mc/n, Cx=hc/
n e CD=c. Bisogna dunque far vedere che effettivamente mmcc/nn
sarà =cc+hhcc/nn=nncc+hhcc/nn; è chiaro che mm-nn essendo uguale
cc-bb=hh, avremo nn+bb=mm dunque nncc+hhcc/nn diviene = mmcc/ nn; inoltre abbiamo Yx²=mmc/nn e anche CD² + Cx²=mmcc/nn di
conseguenza Yx²=CD² + Cx².
Voi dite, signore, che lei non conosce CX, perché l’angolo ASX è sconosciuto;ecco CX trovato, perché è uguale hc/n, indipendentemente dall’angolo ASX. Se comunque per curiosità, si vuole trovare questo angolo io lo prenderò in questo modo.
Nel triangolo ACy, si è trovato l’angolo ACy, l’angolo CAy è dato, il lato AC è anche esso dato, di queste tre cose date si trova CyA, il lato
Ay, dunque nel triangolo xyS, si avrà l’angolo xyS, e i due lati xy e Ys,
questa serve a trovare l’angolo che si cerca.
Quanto al lato Ay, noi lo troviamo immediatamente attraverso la prima fila militu dei due triangoli SyE e CyA , facendo come SE+AC sta ad
AC, così Sy+Ya o SA sta ad Ay,cioè, x+b:b::nnb/x+b=Ay, e mettendo
per x il suo valore bm/b si avrà nb/x+b o Ay=hn/m+h. Facendo dunque come m+h o SD+Cd è h o Cd, così n o SA è un quarto, questo quarto sarà quello alla quale bisogna prendere Ay uguale, e tracciando in seguito attraverso il centro dell’ellisse C, la retta yCY, questa retta sarà ancora il diametro del cerchio cercato; ciò è quello che ho voluto rimarcare in questa occasione.
Supponendo al posto di un cono retto, un cono scaleno o obliquo su una base ellittica, si risolverà il problema attraverso lo stesso metodo, e con la stessa facilità.
Altra soluzione dello stesso problema di M.Jean Bernoulli il figlio. Supposto che il punto sia il punto y cercato nella linea AS, attraverso il quale il piano in questione deve passare.
Avevano tracciato questo punto alla linea yH perpendicolare alla base
AB del triangolo ASB, e la linea yK parallela alla stessa base che unisce
i due lati SA eSB di questo triangolo, io nominerei:
SA=SB(il piccolo lato del cono)=d SD (il grande lato del cono) = e
CD( Il semiasse grande dell’ellisse) =a
AC=CB( la semi asse piccola) =b
FC (La distanza del fuoco F al centro C dell’ellisse) = f
Ay( La distanza dell’estremità A della piccola asse al punto cercato)
y=x.
Essendo state fatte queste dimostrazioni, avrei:
SC(l’asse del cono) =v dd-bb e SA(d):SC(vdd-bb)::Ay(x):IC, così IC=yH=xv dd-bb, ugualmente SA (d):AC(b)::Sy(d-x):yI. Avremo yI= =IK=HC=bd-bx/d, o C²=Yh+HC², dunque yC v xx-2bbx+bb/d. Per
trovare CY, faccio questa analogia yK=2yI: CB::Yy:Cy, e dividendo
yK-CB(bd-2bx/d):CB(b)::yY-CY=Yc(xx-2bbx+bb/d):CY, noi troveremo CY=vd xx-2bbx/d +bb/d-2x.
Adesso poiché il cerchio cercato e la base del cono si tagliano nella linea CD ,questa sarà la corda del cerchio, la linea yY ne sarà un’altra, ed anche essa sarà un diametro, che ha applicato il semi asse grande
CD, dunque il rettangolo dei segmenti di questo diametro dove yC x CY
sarà uguale a CD², cioè vdxx-2bbx+bbd/a-2x=aa, riducendo bb da una parte e dall’altra dxxx/a-2=aa-bb=(per la proprietà dell’ellisse) CF²=ff, dunque xx=-2ffx/d +ff e x=-ff/d+f/dv ff+dd o (sostituendo per ff+dd il suo valore e)x=fe-ff/d facendo dunque come d o SA è a f o FC, così e-f, o SD-FC, è un quarto ,questo quarto sarà quello cercato.
I corollari che si potranno trarre da questa soluzione, sono gli stessi di quella precedente.
C C A F T PL 16
Per ridurre queste due soluzioni alla pratica del righello e del compasso,
che è la più comoda per gli artisti, si opererà come nella prima . Dal centro C e CD metà della grande asse per il raggio, si farà l’arco
Dd che incontrerà BA prolungata in d , se si tira dS, questa linea
rappresenterà il grande lato del cono.
Per il fuoco F e il punto A, avendo tracciato l’estremità della piccola asse indefinita FAe, si porterà su questa linea la lunghezza del grande lato del cono Sd, di F in e, da dove si porterà eg parallelo ad AB, che taglierà CS in g, dal vertice S si porterà la linea SE parallela e uguale a eg. Infine attraverso i punti E e C si traccerà EY che taglierà i lati SA e SB prolungati in y e Y, la parte yY sarà il diametro del cerchio che si cerca, la quale essendo divisa in due parti uguali in x, avrà per centro il punto x.
Se di questo stesso punto x per S si traccia xS, questa linea sarà l’asse del cono.
Per la seconda soluzione, avendo tracciato una linea Ae, facendo un
angolo qualunque con AS, si porterà la lunghezza CF, distanza dal centro al fuoco dell’ellisse, di A in o 12 su Ae, e da d in n su dS , poi facendo
SV uguale a Sn su oS, si traccerà attraverso i punti V e C la lineaVY,
che taglierà AS in y, la dove è il punto cercato. Così la linea yY sarà il diametro del cerchio richiesto, che si traccerà sulla superficie del cono ellittico nello stesso modo in cui l’ellisse è sul cono retto circolare, di cui parleremo dopo questa descrizione dell’ellisse sul cilindro.
USO
Questo enunciato serve per i tratti delle volte coniche chiamate trombe, sia diritte che oblique, cioè, le basi ( che sono le loro facce) sono perpendicolari od oblique al loro asse, in quanto le giunture di intradosso e le facciate delle strombature sono sempre dei cerchi o porzioni di cerchi paralleli a questa base.
D’altra parte, allorché le facce non fossero piane come quelle delle trombe sul cono, che sono angolari, convesse o concave, dei girotondi o dei giocavi, le onde come quelle di anet. Bisogna sempre per facilitare l’esecuzione supporre una base circolare del cono retta o obliqua, della quale, come un limite, si portano gli allungamenti al di fuori, o gli indietreggiamenti in dentro, delle parti eccedenti o delle parti che vengono a meno delle concavità o delle convessità delle facce
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