PER PIÙ PUNTI, E CON MOVIMENTO CONTINUO.
Sia C il centro, S il vertice, e D il punto sulla circonferenza, la linea CO condotta dal centro dal vertice S in O sarà l’asse prolungato, a cui la perpendicolare OD sarà una ordinata. Dai punti S e D per centri, e per raggio un’apertura di compasso presa a piacere, faremo delle sezioni d’arco in p e q, per condurre da questi punti una linea pq, la quale es- sendo prolungata, se serve, intersecherà l’asse CO in V, da dove come centro, e dell’intervallo VS, o VD, si descriverà il semi cerchio SDG,che incontrerà SO prolungato in G: poi avendo portato la lunghezza OG sulla linea DO, prolungata in OH, ci condurremo per il punto S la parallela indefinita IST; prolungheremo SC in R, facendo CR=CS: tracceremo RH, che intersecherà IT in I; riporteremo la lunghezza SI in SK, per avere la linea KR, che divideremo in due parti uguali nel punto M, che sarà il centro del semi-cerchio RTK, di cui questa sarà il diametro, e di cui l’arco intersecherà la linea ST in T; poi avendo diviso ST in due parti uguali nel punto N, porteremo la distanza SF in Rf, otterremo l’altro fuoco. Fatta questa preparazione, se si vogliono trovare più punti dell’iperbole con il compasso con un’apertura fL presa a piacere, previsto che questa sia più grande di fS, per raggio, e dal punto f per centro, faremo l’arco lL;
poi porteremo lo stesso intervallo fl da R in o, per esempio, sull’asse pro- lungato, e prenderemo la differenza oS per raggio, e dal fuoco F per centro, faremo un altro arco xy, che intersecherà lL nel punto x, il quale sarà sulla circonferenza dell’iperbole, troveremo tanti punti quanti se ne vogliono di questa curva.
Fig.123
Secondo metodo per un movimento continuo.
Avendo preso un regolo fE di lunghezza conveniente, che supera la più grande distanza fD del fuoco opposto f, nel punto D dato; ci faremo un buco all’estremità f per farci passare un chiodo, sul quale questa sarà mobile; porteremo su questo regolo la lunghezza RS dal primo asse da f in Q; poi prendermo una cordicella di lunghezza uguale a QD, di cui
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOPRIMO PL 11
MATERIA E GEOMETRIA
un’estremità applicheremo all’altro fuoco F, poi posando il regolo fE su
Fo, stenderemo la cordicella che è molle in questa situazione, tirandola
da una piega da F in S, lungo il regolo, e allontanandolo dall’estremità
E, restando fissa l’altra in f, spingeremo sulla piega della cordicella con
una matita o una punta di un utensile contro il regolo, facendola scorrere verso D, e tracceremo così l’iperbole, come si era detto per l’ellisse e per la parabola.
Dimostrazione.
Abbiamo cercato una terza proporzionale OG all’acsissa OS, e all’ordinata OD, per trovare per mezzo di questa il parametro SI, poichè HO=OG:SI::RS; ma anche il parametro è terzo proporzionale al primo asse RS, e al secondo bY, dunque cercando un medio proporzionale ST tra SR e SI=SO, si avrà bCY che è il suo uguale; è dimostrato nelle sezioni coniche, che la distanza dal centro C al punto N, punto medio di ST, è uguale a quella da questo centro al fuoco, perchè SN è medio proporzionale tra RF e SF, o, che è la stessa cosa, tra fS e SF, come è evidente dalla costruzione; dunque i punti f e F sono i fuochi; è dimos- trato anche che la differenza delle linee fD, FD tracciate dai fuochi ad un punto dell’iperbole, è uguale al primo asse RS; dunque l’iperbole è descritta dai punti S e D, ciò che bisognava fare.
E’ chiaro che la seconda operazione, per movimento continuo, è pre- cisamente la stessa della prima per più punti; poichè ci abbiamo preso la differenza FD del primo asse RS, per farne la distanza dal fuoco alla matita D; non è altro che la stessa cosa fatta meccanicamente con una cordicella, al posto di un compasso.
Corollario.
Se i due assi sono dati, i fuochi si trovano molto facilmente tirando su dal punto S una perpendicolare Sd=CD, e tracciando Cd che sarà la distanza dal centro C al fuoco F, che trasportiamo in F da un arco dF sul primo asse prolungato.
Bisogna sottolineare che nell’architettura dove i coni sono quasi sempre dati, e i punti o la posizione del piano della loro sezione nel triangolo per l’asse del cono, i due assi sono anche questi sempre dati; poichè (Fig.124) sia ADB il triangolo per l’asse, e il piano intersecante HSC prolungato; se si prolunga anche il lato BD fino all’intersezione del pi- ano in X, la distanza SX è la lunghezza del primo asse, il quale essendo diviso in due parti uguali in C, la linea CD sarà la metà del secondo asse; e se per il centro C tracciamo due linee rette CP e CT, parallele ai lati DA, DB, si otterranno anche gli asintoti, di cui si può fare usoper descrivere l’iperbole per più punti. Tuttavia può succedere che il trian- golo per l’asse del cono non sia dato, perchè si possaono considerare le sezioni coniche fuori dal cono. Vedremo come si possono trovare gli asintoti di un’iperbole, di cui si conosce solo il centro, il vertice e una ordinata; nello stesso modo della proposizione precedente, o solamente un diametro e un’ordinata.
C C T PL 11 A F