PROBLEMA XXX
Attraverso due o tre punti dati sulla superficie di una sfera, descrivere un cerchio.
Si deve considerare la superficie della sfera come composta da due figure, una concava e l’altra convessa. Questa differenza non è oggetto per la teoria, dove non si guarda l’impenetrabilità dei corpi, ma bensì per la pratica che può operare sull’una come sull’altra.
In primo luogo, si tratta di descrivere un cerchio maggiore su una superficie concava; è sufficiente che si abbiano due punti dati, previsto che si conosca il diametro della sfera, e che non sia diametralmente opposto. E’ chiaro che per la generazione della sfera (art.1), il diametro di un cerchio diventa l’asse della sfera, allorché lo si fa muovere intorno a questo diametro; dunque è comune a tutti i cerchi che passano dall’asse della sfera.
Se i due punti dati sono meno distanti di 180 gradi, non si può far passare un solo cerchio maggiore, ma un’ infinità di cerchi minori di diverse grandezze, da dove risulta che, per questi, non sono abbastanza i due punti dati, ma necessitiamo di tre punti, per determinarne la posizione e la grandezza, in quanto bisogna cercare il diametro, come dimostriamo di conseguenza.
Siano i tre punti dati ABE (Fig.173 a e b), in una superficie concava della sfera. Si misureranno le distanze, per fare a parte, su un muro o su un’altra superficie piana un triangolo ABE, in seguito attraverso i punti
B e E, si tracceranno le linee AE ed AB, delle perpendicolari Bd e Ed,
che si incontreranno nel punto d; se da questo punto e dall’opposto A si traccia una linea Ad, essa sarà il diametro che si cerca.
COROLLARIO
Da questo metodo si cerca di trovare il diametro di una sfera. Poiché con una corda di lunghezza arbitraria, ed un punto P preso a piacere per il polo, si descrive un cerchio sulla superficie concava, avendo trovato il diametro attraverso la pratica precedente, si farà un triangolo isoscele della lunghezza del segmento AE per base, e delle due lunghezze della corda AP e EP 4 per i lati, i quali faranno ai punti A ed E due
perpendicolari, che si incontreranno al punto D. La linea PD sarà il diametro della sfera che si cerca.
Fig. 173 a Attraverso i punti dati sulla superficie della sfera viene descritto un cerchio
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Fig. 173 c Il punto P della figura rappresenta il polo
Fig. 173 d Per trovare il diametro della sfera, si ripete la costruzione della figura 173 b
Fig. 173 b Per trovare il diametro del cerchio le distanze tra i punti della sfera sono riportate su una superficie piana
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Questo è stato supposto per descrivere un cerchio maggiore attraverso i due punti dati A e B (Fig.173 c, d, e) che bisogna tracciare a parte su una superficie piana un quarto di cerchio, (Fig.174 a), o ciò è la stessa cosa, di un triangolo rettangolo isoscele; dunque i segmenti ac e pc sono uguali al raggio della sfera, l’ipotenusa ap sarà la corda di un’a rco di 90 gradi che servirà a trovare il polo del cerchio proposto.
Dati i punti A e B come centri, (Fig. 173 f) e la corda ap per raggio, si farà un intersezione dei due archi di cerchio dove sarà il polo, da ciò si descriverà il cerchio maggiore EABF, qui rappresentatoin prospettiva. Si fisserà cioè il cordone, una pertica o una randa, per tracciare il cerchio sulla superficie concava della sfera, quasi come ci serviamo di un centro su una superficie piana 5.
Ho detto nella superficie concava, perché è visibile che non si può operare lo stesso sulla convessa ,sulla quale invece di servirsi della corda aB per raggio di intersezione che dà il polo, bisogna servirsi dell’ arco aLp 6; e
per questo c’è bisogno di uno strumento , o un compasso a punte curve, per supplire, se la sfera è piccola come sono nell’ Artiglieria, le Palle e le Bombe. Tuttavia, se la sfera è grande come una volta, al posto di una corda, bisogna servirsi di un assemblaggio di tre pezzi di legno pH,
Hg, ga, assemblati all’angolo diritto, la cui grandezza Hg sia uguale
alla corda pa, e le altre due all’asta fL 6, e per trattenerli in questo
stato bisogna legarli con materiale cementato o traverse IK, ik,che le impediscono di aprirsi o di fermarsi (Fig. 174 b).
Per trovare il polo di un cerchio minore, di cui si hanno tre punti dati
(Fig. 175), si descriverà su una superficie piana, attraverso l’aiuto di un
triangolo ABE , il cerchio AEd. In seguito, avendo diviso l’arco BE in
6 La lettera L nella figura è minuscola 5 Nella figura 173 della Planche 16, compaiono le lettere D e t che nel testo non sono
menzionate
Fig. 173 f attraverso il polo P è stato disegnato il cerchio maggiore EABF
Fig. 174 a Considerando la superficie concava della sfera, la corda ap dell’arco di 90° verrà utilizzata per determinare il polo.
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due segmenti uguali in m, si traccerà il diametro mt perpendicolarmente a BE, nel punto medio c, dal quale si porterà la perpendicolare Xcx, poi dal punto m o t , per il centro, e dall’intervallo del semidiametro della sfera per il raggio, si descriveranno gli archi del cerchio che taglieranno la perpendicolare Xx, ai punti x e X dove saranno i poli del cerchio minore ABEd che si cerca. In tal modo, le distanze Xm, xt saranno i raggi d’intersezione degli archi del cerchio e noi faremo dei punti B e
E, i centri per avere il punto di uno dei poli, come noi abbiamo detto
sulla Figura 173.
Ancor più meccanicamente,ma anche con una esattezza sufficiente per la pratica, si infileranno tre cordicelle uguali in un anello (Fig.173 g), in S per la superficie convessa, e in P per la concava. Queste saranno di una lunghezza proporzionata quasi a quella che si può giudicare a vista d’occhio, e un po’ più lunga, si legheranno insieme da una parte
Fig.175 Metodo per individuare i poli x X di un cerchio minore
Fig. 173 g Altro metodo per l’individuazione di un cerchio maggiore
Fig. 174 b Considerando la superficie convessa della sfera, per trovare il polo, verrà utilizzato l’arco aLp
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e si attaccheranno le altre ai punti dati, poi facendo scivolare l’anello, e avvicinando la superficie della sfera alle tre corde ugualmente tese, si arriverà esattamente al polo, dove si attaccherà una delle corde per tracciare il cerchio richiesto sulla superficie della sfera.
Questo metodo è quello di comodo che può servire sulla superficie convessa, allontanando l’anello al di sopra del polo tanto quanto si vorrà, per evitare lo sfregamento del cordone che lega la randa, quale deve essere tangente alla sfera, che per non essere piegata per niente sulla superficie convessa, dove piega piuttosto questa curvatura, causerà delle ondulazioni con lo sfregamento.
Ma se si avrà un cerchio maggiore per descrivere i basamenti o le parti di una copertura a cupola, come quella che si vede a Les Invalides, non si potrà elevare abbastanza il punto S per evitare lo sfregamento, ed è per questo che si necessita della livella o del piombo. Infatti se le centine devono essere a livello come i basamenti, o a piombo come le parti, o se tali ornamenti sono inclinati, come intrecci di cerchi, bisognerebbe avere, dal polo una pertica perpendicolare alla superficie convessa per la pratica di cui noi parliamo, che servirà ad allineare la corda, affinché la curvatura, non devii per niente della sua direzione. In quanto se si curva a destra o a sinistra, anche per poco, si scorcerà e darà dei punti falsi del cerchio proposto.
DIMOSTRAZIONE
In primo luogo, è chiaro che avendo trovato la corda ai 90 gradi della
circonferenza della sfera, e avendola applicata ai due punti dati, il punto di incontro dei due punti di queste corde uguali è il polo, che è sempre lontano di 90 gradi da un grande cerchio, secondo l’enunciato 16° delle sferiche di Teodosio.
In secondo luogo, per trovare il diametro di un cerchio, di cui si hanno
tre punti dati, noi abbiamo alzato delle perpendicolari su AB e AE per avere la posizione di questo diametro; poiché (secondo il 31°enunciato di Euclide l.3.) l’angolo retto è sempre in un semicerchio, e poiché le linee Bd e Ed sono ben ferme, il loro incontro si determinerà al punto della circonferenza del cerchio diametralmente opposto al punto A. La stessa costruzione è ancora più comprensibile nel corollario per trovare il diametro della sfera.
In terzo luogo, si è dimostrato nel 13° enunciato delle sferiche di
Teodosio, che se nella sfera, un cerchio ne taglia un altro in due parti uguali e perpendicolari, i poli di questo che è tagliato, sono nella circonferenza di colui che lo taglia, ed a distanze uguali. E’ chiaro che il cerchio minore ABEd è tagliato in due parti uguali dal suo diametro
mt, il quale è la corda di un cerchio maggiore, di cui il diametro Xx è
alzato perpendicolarmente su questa corda; dunque i punti X e x sono i poli del cerchio ABEd e le linee Xm, Xt, xm e xt , sono le distanze di questi poli dal cerchio. Nonostante i due cerchi maggiori e minori stiano in questa figura sullo stesso piano, bisogna conservarli ad angolo retto l’uno rispetto altro, in modo che ponendo il minore in un piano di carta, il maggiore sarà alzato in aria perpendicolarmente, tornando sulla corda
mt, che deve essere immobile.
USO
Questo problema è necessario ai pittori o agli scultori in stucco o in gesso, ai marmisti che hanno degli ornamenti circolari da tracciare sulle superfici concave di una volta sferica, o su la superficie convessa, come per esempio quelle dei basamenti, dei lati degli archi doppi dei bordi di basso rilievo,o delle aperture finte o degli intrecci circolari.
Per quello che riguarda le aperture vere o finte, fatte dopo un taglio in una volta sferica, direi che Viviani, ha trovato il modo di forare una
volta semisferica in quattro parti attraverso delle finestre, in modo che il resto della porta sia geometricamente quadrato.
Poiché questo enunciato non ha alcun rapporto con il nostro soggetto, che non ha che come scopo la divisione delle superfici e non la loro estensione, io credo che nessuno si arrabbierà per questa piccola digressione. La costruzione di questo problema, consiste nel dividere la base dell’emisfero in due diametri ed angoli retti, sulla quale si sono fatti quattro piccoli semicerchi, per base di quattro metà di cilindri retti, che forano l’emisfero, il resto delle quattro aperture, è quadrato, cioè, se ne può trovare la superficie geometricamente. Ciò si è visto attraverso i nostri principi al teorema VII, in cui la curva che fa in un ognuno di questi semicilindri è un Ellipsimbre. In tal modo, non si tratterebbe più che di uno spazio quadrato rinchiuso in queste Ellipsimbre per avere la superficie totale dell’emisfero. Ma poiché la geometria non è arrivata a questo grado di perfezione, essa ci fornisce per la pratica, dei mezzi sufficientemente esatti.
PROBLEMA XXXI
Da un punto dato sulla superficie di un cilindro tracciare un cerchio.
Se il cilindro è retto, e la base è data, non c’è nessuna difficoltà, non c’è che da seguire il contorno della base, a distanze uguali prese sempre parallelamente all’asse; prese con un righello o con una corda o in piccolo con questo strumento di falegname che si chiama trusquin. Ma se non si ha la base, o perché essa è obliqua o spezzata, o occupata da qualche corpo che la copre, come se si volesse tracciare un ornamento circolare, come una base o un astrologo ad una colonna gotica in luogo, bisogna cominciare dal portare più rette parallele all’asse, e tracciare il cerchio, e se si tratta di un cilindro scaleno, come un’ellisse su un cilindro retto, così come noi diremo, noi parleremo solamente di un cilindro retto. Il primo modo di tracciare le parallele alle assi del cilindro , avendo
dato la base.
Sia una base retta o obliqua ABDE 7, avendo distesa questa base, ci si
porterà due linee gG ed fF parallele tra di loro, che divideranno in due segmenti uguali, in M ed m, da dove si traccerà la linea BE, il suo punto
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medio C sarà l’estremità dell’asse del cilindro. Si farà altrettanto per la base opposta per trovare l’altra estremità della stessa asse; in seguito avendo messo una riga HI a piacere su questa base, previsto che essa passi dal piede C dell’asse, si traccerà la linea AD, posando anche un’altra riga KL sulla base opposta, si farà tornare sull’estremità dell’asse, fino a che si guarderanno l’una con l’altra e la loro direzione sia parallela. Tutto ciò, affinchè quella la cui parte copre così bene l’altra, cioè quando le due linee superiori o inferiori di queste righe si confondono in una, ciò che una persona sola può fare, fermando una delle righe nella posizione, e tenendo per girare, come conviene, per fare in modo che il raggio visuale rasenti le due righe, in modo che sembri che si incrociano. Ciò che si chiama bornoyer, perché si ferma ordinariamente l’occhio , e che noi abbiamo espresso con delle linee che partono da un occhio come la
Figura 177. In questa situazione si tracciano dei diametri su delle basi,
la linea portata alla superficie del cilindro attraverso l’estremità di questi diametri così corrispondenti ,è una parallela all’asse del cilindro. Questo, perché le basi sono occupate, come per una colonna nel posto,
che è occupata dall’alto e dal basso, ed obbliga a dovere ricorrere a delle maniere meccaniche per tracciare delle parallele degli assi.
La prima, la più semplice, è quella di servirsi del piombo per i cilindri posti verticalmente come delle colonne tonde, e essi sono inclinati, si applica lo champ, una riga molto larga, OP. Di conseguenza i lati opposti sono paralleli lungo la colonna, e girandola in modo che guardandola dal di sopra, questa riga non incroci per niente la linea tangente della colonna; ciò affinchè i raggi visivi xO e xP, rasentino l’uno e l’altro, la superficie della colonna. La linea tracciata sulla stessa superficie cilindrica lungo il lato della riga che appoggia sul cilindro, è una parallela all’asse. La seconda maniera (Fig. 176 a ), che è ancora meccanica, è di tracciare con un compasso un punto C come centro ,e con una apertura presa a piacere una linea curva dEe , sulla superficie del cilindro, come se descrivesse un cerchio su una superficie piana. In seguito, con una apertura del compasso un po’ più grande della prima ma più piccola rispetto alla lunghezza dell’arco del cilindro, di cui essa è la corda sviluppata, cioè rettificata, si descriverà su del cartone un semicerchio, o solamente un settore di cerchio che è in vicinanza, in cui si poserà il centro in C. Dopo
averlo applicato e piegato sulla superficie del cilindro, ci si traccerà il contorno, che taglierà quello della curva precedente in due punti X e x , con il quale si tira una linea dritta. In tal modo, si avrà la parallela all’asse che si cerca ,dalla quale sarà facile tirare altre linee per dei punti dati, se c’è bisogno. Si può fare la stessa cosa con una corda, ma in modo meno esatto; questo è possibile, come sia la preparazione necessaria per tracciare i cerchi e le ellissi sulla superficie del cilindro.
Se il cilindro è retto, non si tratta che di fare delle sezioni perpendicolari alle linee parallele all’asse, così si prenderanno a piacere i punti x e X per i centri, ed un certo intervallo, preso a piacere, per raggio. Si faranno delle
intersezioni d’arco in H e in K, e più lontano in h e in k, o più vicino in
I e i, si applicherà su questi punti kK, Ii,Hh, una riga pieghevole, con la
quale si traccerà il cerchio intorno al cilindro, se è retto, se è scaleno, la sezione perpendicolare all’ asse sarà un ellisse .In tal caso, per descrivere un cerchio con dei punti dati, bisogna portare attraverso questo punto un contorno parallelo alla base, facendo un angolo al contrario 8.
Per tracciare delle linee parallele all’asse dalla superficie concava di una porzione del cilindro, come in una volta (Fig.180), al posto di prendere due parallele in due parti del centro, si prenderanno tutte e due dalla stessa parte, come af , be, e si dividerà ciascuna nella propria mezzeria M e m . Si porterà da questi centri, la linea dC che sarà un diametro, ma poichè il cilindro non è completo, questo diametro non sarà terminato che da una parte in d , in quanto non essendo più in là di C, non si potrà avere il centro C in nessun altro modo che ripetendo la stessa operazione con due altre linee ih e kg , che daranno un secondo diametro Ec che taglierà la prima in C, centro della base, o parallela all’asse del cilindro. Si farà altrettanto con la base opposta, e si avrà l’altra estremità di questa asse
8 Le lettere D, X e x che compaiono in basso nella figura 176 della Planche 16, non
vengono menzionate nel testo
Fig. 176 a Secondo metodo per tracciare le parallele all’asse
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alla quale non sarà difficile portare delle parallele, tenendo una corda da un capo dell’asse all’altra, mirando con queste linee due punti nella superficie concava, in modo che l’asse sia nello stesso piano, e che la corda copra l’occhio che deve essere un po’ lontano dalla corda, dalla parte opposta ai punti che si vogliono marcare sulla superficie concava, per tracciare una parallela all’asse del cilindro.
DIMOSTRAZIONE
Il primo modo di tracciare una parallela all’asse del cilindro, è fondato
sul fatto che le ordinate di un diametro sono tagliate in due parti uguali da questo diametro, il quale essendo così diviso in due segmenti uguali, dà il centro della base del cilindro, sia che esso sia circolare che ellittico, o che esso sia l’asse passante dal centro. Le due righe HI e KL che si dirigono dal raggio visuale nello stesso piano attraverso l’asse, danno i lati del parallelogramma dall’asse, di cui i lati opposti sono paralleli; dunque
Dd è una linea parallela a l’asse , ciò che si doveva dimostrare. Il secondo modo di tracciare una parallela all’asse del cilindro per mezzo
di una riga di una certa larghezza, anche se meccanicamente, è esatto nel suo principio, poiché dopo che essa è stata diretta dai raggi visivi in un piano tangente al cilindro, questo piano non la toccherà che seguendo una linea parallela all’asse, e il piano della riga essendo di lunghezza uguale da un capo all’altro, sarà un parallelogramma, di conseguenza una parte sarà su un piano tangente, l’altra sul cilindro, sempre ad uguale distanza dalla linea del tocco leggero, dunque sarà parallela e per conseguenza sarà parallela anche all’asse.
Il terzo modo anche se meccanico e anche esatto nel suo principio.
Si tracciano sul cilindro due curve a doppia curvatura dEe ed mMB, di differente natura, che non possono incontrarsi solo che in quattro punti, sapendo in Xx, due punti di ciascun lato di una sezione che passa