PROBLEMA XXXIV
L’asse maggiore di un ellisse con un punto alla superficie del cilindro di cui la distanza a uno degli assi è conosciuta, ci si tracci l’ellisse.
Si possono trovare i punti necessari per descrivere un ellisse sulla superficie del cilindro in due modi: o su dei cerchi paralleli alla base, o sulle delle linee diritte parallele all’asse. Siccome la prima è la più lunga e la più complicata delle operazioni, perché oltre a molti cerchi che bisogna descrivere sulle superficie curve è necessaria ancora almeno una parallela all’asse del cilindro, noi preferiamo la seconda (Fig. 176 b).
Se il punto dato, sta ad una delle estremità della grande asse, per esempio,
si farà su una superficie piana a parte (Fig. 178 ) un angolo lga, uguale a quello dell’asse del cilindro sulla base, retto se il cilindro è retto ed
Fig. 178 Costruzione sul piano per la determinazione dell’ellisse sul cilindro.
12 nella figura la lettera o è maiuscola
Fig. 176b Costruzione dell’ellisse sulla superficie del cerchio mediante linee dritte parallele all’asse
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acuto o ottuso se è scaleno. Su uno dei lati di questo angolo come ag, si porterà il diametro del cilindro, poi dal punto g preso come centro, si traccerà un arco del cerchio, che taglierà il lato al in l. La linea gl sarà la posizione dell’asse dell’ellisse nel parallelogramma, attraverso l’asse del cilindro poi si descriverà su ag come diametro, il semicerchio
anopg , che si dividerà in tante parti uguali quante se ne vorranno avere
dei punti dell’ellisse, come qui in quattro, o i punti nop, attraverso i quali si porteranno delle perpendicolari su ag o si prolungheranno fino al diametro gl . Le linee comprese tra i diametri ag e gl saranno le distanze del contorno del cerchio della base all’ellisse richiesta.
Si trasporteranno sul contorno della base del cilindro (Fig.176 c), le divisioni a, n, o, p, g della Figura 178, e attraverso questi punti si tireranno delle parallele all’asse , sulle quali si porteranno le distanze
QR , cS 13, qu della Figura 178, e sia avranno sulla superficie del
cilindro, i punti L N O P G, attraverso i quali si traccerà a mano l’ellisse richiesta.
Se il punto dato è da un’altra parte, piuttosto che essere all’estremità della grande asse, si farà la stessa costruzione, ma si chiederà una preparazione per la posizione del cerchio che deve rappresentare la base del cilindro.
Si descriverà sul grande asse dell’ellisse, una semi ellisse, o solamente il quarto dell’ellisse, dove si trova il punto dato P, di cui si conosce per supposizione l’arco Pg 14, poi avendo tracciato sulla superficie del
cilindro, attraverso questo punto una linea rP, parallela all’asse, ci si porterà la distanza qu, uscita dall’ordinata Pu, e attraverso il punto P¹, si traccerà un cerchio sulla superficie del cilindro che rappresenterà quello nella base e si continuerà come nel caso precedente (Fig. 176 d).
DIMOSTRAZIONE
Il grande asse dell’ellisse deve sempre essere nel piano del parallelogramma, attraverso l’asse del cilindro, perché esso divide l’ellisse in due parti uguali, come questo parallelogramma divide il cilindro. Ora, il triangolo lga rappresenta una parte del piano di questo parallelogramma, ed il piano dell’ellisse, anche esso perpendicolare a quello della sezione attraverso l’asse del cilindro. Dunque le distanze dei punti del contorno della base a quella dell’ellisse, presi su delle parallele all’asse, sono uguali a quelli dei punti corrispondenti dei diametri dell’uno e dell’altro, come sono uq, cS, QR, poiché si può supporre ad ogni punto
p, o, n, una sezione perpendicolare al piano gla, seguendo le linee pq, O 15c, R 16Q, che saranno anche dei parallelogrammi dove le ordinate
dell’ellisse uP e SO, RN saranno dei lati paralleli, perché i due piani della base e dell’ellisse sono perpendicolari al terzo gla. Dunque (attraverso la nona del IX libro di Euclide) le linee pq e uP saranno uguali tra di loro nello stesso modo che le distanze qu e Pp, non in questa figura 178, ma alla superficie del cilindro, figura 176, così le altre cS e oO,QPL e lnN anche se non lo sono nella figura, dove questi due piani non possono essere rappresentati nelle loro vere situazioni, uno rispetto all’altro, perché devono essere nello spazio, perpendicolarmente al piano gal; di conseguenza l’operazione è esatta.
USO
Questo problema è d’uso molto frequente nel taglio delle pietre. Poichè la maggir parte delle volte sono delle volte a botte, spesso obliqua alla testa, o perchè non sono orizzontali, come le discese, o perchè il muro di facciata è in scarpa, o perchè la loro direzione è obliqua a questo muro al contrario dei luoghi. In tutti questi casi, si suppone una sezione perpendicolare alla volta a botte, di cui chiamiamo l’arco retto, dal quale si fanno partire sulle parallele all’asse della volta a botte, le distanze che eccedono l’arco retto per formare una faccia ellittica; cosa che si vedrà più volte nel libro IV.
PROBLEM A. XXXV.
Dato un punto sulla superficie del Cono, che sia all’estremità dell’asse maggiore dell’Ellisse dato, dove da una ordinata conosciuta, si traccia Fig. 176 c Rappresentazione dell’ellisse di sezione
Fig. 176 d Secondo metodo per rappresentare l’ellisse di sezione
13 La lettera c nel testo originale è maiuscola
14 La lettera G nel testo originale è minuscola
15 La lettera o nel testo originale è maiuscola
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l’Ellisse sulla superficie curva del Cono.
Poiché sull’asse maggiore di un Ellisse, si ha sempre la sua posizione nel Cilindro, in quei punti in cui si posizionano le due estremità, sarà sempre uguale. Non è lo stesso nel Cono, se il punto di posizione non è stato determinato. L’Ellisse che si può trovare con l’asse maggiore dato può variare, il suo asse minore può essere più o meno grande, e a seconda se sarà inclinato alla base, l’Ellisse sarà più o meno differente dal cerchio di questa base, a meno che non abbia il punto di posizione dell’estremità dell’asse maggiore. Bisogna inoltre conoscere l’asse minore, o una ordinata, in qual caso si troverà la situazione dell’asse maggiore dell’Ellisse nel triangolo attraverso l’asse del Cono.
Si inizierà ( Fig. 181 a ), ricercando il parametro dell’asse dato EL e dell’ordinata conosciuta; come abbiamo detto al problema XIV questo è facile. Si inscriverà in seguito, il triangolo attraverso l’asse del Cono bSa in un cerchio Sba, in seguito si cercherà una quarta proporzionale all’asse dato, al suo parametro ed al lato Sa, che darà sulla Sa, la lunghezza aP. Attraverso il punto P si porterà PD parallela a ba, che taglierà il cerchio al punto D, da dove e per il punto S si traccerà l’indefinita SDF, sulla quale portando la lunghezza dell’asse dato di S in KF, si porterà attraverso il punto K, la linea KL parallela a Sb, e attraverso il punto L la linea LE parallela a SK. Questa linea EL sarà l’asse dato nella posizione, dove deve essere affinché l’Ellisse sia nella posizione in cui la si richiede rispetto alla superficie del Cono; dunque bSa è la sezione del triangolo attraverso l’asse, al quale il piano che taglia il Cono deve essere perpendicolare, questo procedimento è concluso.
Sia ( Fig. 183 a ), il triangolo attraverso l’asse del Cono BSA, l’asse dell’Ellisse EL e l’asse del Cono SC, dal punto C mediano della base BA, si descriverà il semi-cerchio BMA, e dei punti E e L, estremità dell’asse dell’Ellisse avendo abbassato delle linee Ee, Ll perpendicolari a BA, o
parallele all’asse SC, si dividerà l’intervallo ben in due parti, ugualmente in c, e si descriverà da questo punto come centro, e per raggio ce il semi- cerchio erstl, che sarà la proiezione della metà dell’Ellisse proposta. Si prenderanno in seguito sul lato BE tante parti uguali, quante se ne vorranno dei punti alla circonferenza dell’Ellisse, attraverso i quali si
porteranno delle parallele a BA, come 4f, 3i, 2d, 1b, oL, fino all’incontro dell’asse EL , e attraverso i punti fi, db, si caleranno delle perpendicolari alla base BA prolungate fino al cerchio esl, come bu, dt, is, fr che taglieranno la sua circonferenza ai punti r, s, t, u, attraverso i quali e attraverso il centro C si tracceranno le linee Cr4b, Cs3b, Ct2b, Cu1b, che
daranno sulla base del Cono i punti 4b, 3b, 2b, 1b, attraverso i quali e
attraverso il vertice S si tracceranno delle linee rette sulla superficie che non è stata segnata nella Figura 183, ma bensì nella Figura 185, che
Fig. 183 a Rappresentazione della sezione ellittica in proiezione ortogonale
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avrebbe dovuto essere di grandezza uguale all’altra, se il posto l’avesse permesso. Queste linee serviranno per trovare i punti della circonferenza dell’Ellisse, portando le divisioni corrispondenti alla loro origine, per esempio B4 su 4S in 4r, B3 su 3S in 3s, B2 su 2S in 2t, B1 su 1S in 1u, e si avranno cosi dei punti alla superficie del Cono, attraverso i quali portando una linea curva a mano, si avrà l’Ellisse proposta 17 .
DIMOSTRAZIONE
Ora per la posizione dell’asse EL , bisogna dimostrare che deve essere al suo parametro come aS, aP.
Se si suppone un piano che taglia il Cono parallelamente alla base, come in mn, il cerchio che si farà attraverso questa sezione avrà una ordinata
GI comune con l’Ellisse EIL, all’intersezione dei due piani del cerchio e
dell’Ellisse; dunque GI=nGxGm e LgxGE: GI2:: EL sta al suo parametro;
o a causa dei paralleli LE e SF, che sono i triangoli simili LGn, Sfa, si avrà LG: Gn:: SF: Fa, e EG : Gm:: SF: Fb, dunque SF: FaxFb:: EL sta al suo parametro; o a causa del cerchio SDab, FDxDS=FaxFb, dunque l’asse EL sta al suo parametro::SF: FDxFS:: aS: SP, ciò che bisognava
dimostrare.
In secondo luogo, per dare ragione del modo con il quale sono stati trovati i punti alla circonferenza dell’Ellisse.
E’ chiaro che quello che noi abbiamo detto della proiezione, nel Teorema, che quella dell’Ellisse EL è un cerchio, o la sua metà un semi-cerchio
esl, e che si sono supposti dei piani perpendicolari a quello del triangolo
attraverso l’asse BSA, e paralleli a questo asse SC del Cono, le loro intersezioni con il piano dell’Ellisse, si farà seguendo le ordinate che sono uguali nell’Ellisse e nel cerchio, che è la sua proiezione. Poiché queste sono comuni alle due sezioni, allora i punti r, s, t, u sono nella loro posizione orizzontale, a riguardo del punto C che rappresenta l’asse. Non resta più, che determinare la loro altezza al di sopra della base BA del Cono, la quale deve essere trovata sulle linee alla superficie che passano attraverso i punti r, s, t, u, e attraverso il vertice S, le quali sono rappresentate attraverso la proiezione Cr4b, Cs3b, Ct2b, Cu1b. In quanto
non si possono avere queste altezze verticalmente, ma sulla superficie inclinata del Cono, bisogna concepire più piani paralleli alla base, e passanti attraverso i punti foidb, a questo punto le sezioni faranno dei cerchi che taglieranno le linee tracciate attraverso i punti della base 4b, M 3b, 2b, 1b, in dei punti che saranno alla circonferenza dell’Ellisse, poiché Fig. 185 Vista tridimenzionale
Fig. 181 b
17 Nella figura 185 della Planche 16 ci sono delle lettere che non sono leggibili e che non
sono indicate nel testo; nell’illustrazione originale i cerchi orizzontali sono 4, mentre nel disegno inserito nel testo sono 5 sulla base della figura correlata 183
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taglieranno tutta l’ellisse in due punti, e che le linee 4bS, 3bS, 2bS, 1bS,
la taglieranno anche ai punti delle ordinate segnate. Dunque ciascuna intersezione dei cerchi e delle linee corrispondenti, che tracciano, come i cerchi, la loro origine dei punti foidb, sarà uno dei punti dell’Ellisse, ciò che bisognava trovare.
Se il Cono è retto, le divisioni E4, 34, 42 sono uguali su tutti i lati tracciati dalla base del Cono al suo vertice S. In tal modo, si può, senza tracciare i cerchi, portare questi intervalli su ogni lato del Cono tracciato dai punti corrispondenti 4bM3b, 2b, 1b, dalla base al vertice, visto che i
cerchi paralleli li tagliano tutti in parti uguali.
Se il Cono è scaleno, le divisioni non saranno più uguali, ma soltanto proporzionali, e allora non ci si può dispensare dal tracciare i cerchi per avere i punti della loro intersezione con i differenti lati più o meno inclinati, seguendo l’obliquità del Cono.
USO
Questo problema è una introduzione alla costruzione delle trombe coniche in scarpa, o in piombo, o oblique, di cui le facce sono Ellittiche. PROBLEMA XXXVI
Dato un punto alla superficie di un Cono per vertice di una Parabola, descrivere questa curva sulla superficie concava o convessa.
Sia ( Fig. 184 a ), il triangolo ASB, la sezione del Cono dato, attraverso il suo asse SC, e attraverso il punto dato P tracciato su una superficie piana, si porterà per questo punto P una linea Pa parallela al lato SB, che taglierà la base del triangolo in a. Dal punto C, nel mezzo di questa base, per il centro e per raggio CA, si descriverà un semi cerchio ByA che rappresenterà la metà della base del Cono. In seguito, avendo diviso la linea Pa che rappresenta l’asse della Parabola chiesta, in altrettante parti uguali o ineguali, in modo che si abbiano dei punti alla sua circonferenza, come anche ai punti q, r, s, si porteranno, attraverso questi punti, delle parallele ad AB, che tagliranno l’asse del Cono SC ai punti 0, 1c, 2cs,
e il lato SA ai punti PtUv 18 , dai quali si abbasseranno su BA delle
perpendicolari che la taglieranno ai punti pTuV 19, e dei punti qrs, di altre
perpendicolari o parallele all’asse prolungate al di sopra di BA. Infine dal punto C come centro e per raggi le lunghezze CT, Cu, CV, si descriveranno degli archi di cerchio concentrici TQ, uR, CV che taglieranno le parallele all’asse SCS ai punti Q, R, S. La linea curva portata attraverso questi punti
PQRSa, nel semi cerchio della base del cono ByA, sarà la proiezione
della parabola chiesta, per mezzo della quale si traccerà sulla superficie
concava o convessa del cono, come si sta per dire.
Sia ( Fig.182 ), il cono bSa uguale a quello della Figura 184. Questo non
si è potuto osservare in questa illustrazione a causa del posto, ma che si può supporre, si porterà, infatti, dal vertice S, attraverso il punto P dato alla superficie, una linea retta SA, sulla quale avendo portato le distanze
St, Su, Sv, SA della Figura 184, ai punti 1, 2, 3, 4, si traccerà attraverso
ciascuno di questi punti un cerchio, seguendo il Problema XXXII, sul quale si porterà, da una parte e dall’altra della linea SA, l’arco della proiezione che è corrispondente a questa divisione: per esempio, l’arco
TQ che è il primo al di sotto del vertice P, di 1 in Q, l’arco uR, di 2 in R,
18 Nel testo originale la lettera U è minuscola, la lettera v è maiuscola
19 La lettera p nel testo originale è maiuscola
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e infine l’arco VS della Figura 184, in 3S della Figura 182 e attraverso i punti PQRSx, così trovati da un lato, e le equidistanze dell’altro lato dalla retta SA, si traccerà a mano o con riga piccola e larga posta accanto alla parabola chiesta. Ho detto con una riga piccola e larga, perché questa curva, anche se descritta su una superficie convessa o concava, è piana nel suo contorno.
DIMOSTRAZIONE
La ragione di questa costruzione è facile da trovare, per poco che si faccia attenzione alla Figura 184. In primo luogo, perchè si taglia il Cono in più parti parallele alla base, che sono inoltre delle sezioni circolari di raggi ineguali, trasportati su quello della base Ca attraverso le perpendicolari
Pp, tT, uu, VV 20 , in modo che il centro C che rappresenta in un solo
punto di proiezione tutto l’asse 01c, 2cs e tutte le parallele all’asse q1Q, r2R, sCS, a , rappresenti delle sezioni verticali dei piani, che tagliano
questi cerchi perpendicolarmente al triangolo attraverso l’asse BSA, e attraverso i punti d’intersezione, dove i diametri dei cerchi tagliano l’asse della Parabola. Di conseguenza, danno le corde di questi archi circolari attraverso l’intersezione dei due piani perpendicolari fra loro, e del terzo
Pa, che forma la Parabola attraverso la sezione nel Cono, dove terminano
gli archi delle sezioni circolari.
Fig. 182 Vista tridimensionale
La lunghezza delle corde dei semi-archi TQ, uR, VS, Aa, che sono state così trovate, è chiaro che sono state ben trasportate sul Cono alla Figura
182 e nei loro giusti posti, e di conseguenza, che i punti alla circonferenza
della Parabola sono stati trovati sulla superficie concava o convessa del Cono, ciò che bisognava fare.
E’ anche chiaro, attraverso questo, ciò che noi abbiamo detto prima della proiezione delle sezioni coniche, e con il Teorema III del libro I, cioè che la curva PQRa tracciata nel piano della base ByA, è ancora una parabola, poiché diversa da quella della sezione proposta Pa.
Noi abbiamo detto al Problema X a cosa serve la descrizione della parabola.
PROBLEMA XXXVII
Dato il primo asse di un iperbole, un punto appartenente ad una delle sue estremità e la superficie del cono, tracciare questa curva sulla superficie concava o convessa.
Sia ( Fig 184 b) il triangolo BSA, la sezione attraverso l’asse del cono, e attraverso il punto dato H si prolungherà indefinitamente il lato AS verso
K, poi dal punto H per centro e per raggio la lunghezza del primo asse
dato HK, si farà un arco che taglierà AS prolungato in K. Se da questo punto K attraverso H si porta una linea retta KY, si avrà la posizione dell’asse dell’iperbole nel cono, la quale, è stata data. A questo punto, non c’è altro da fare che la sua proiezione alla stessa maniera di come si è fatta quella della parabola, cosa che la Figura fa vedere a sufficienza, senza che sia necessario ripetere la costruzione. Si osserverà soltanto: 1.o che essa è molto succinta, poiché l’asse KH è parallelo all’asse del
cono SC, perché la proiezione hy è una linea retta, che termina tutto ad un tratto tutti gli archi 1E, 2D, 3I; 2.o che se l’asse HY sporge verso S, la
proiezione del contorno avrà la sua concavità girata verso B, e al contrario se questo asse sporge al di fuori 21.
Noi abbiamo detto al Problema XII a che serve la descrizione dell’iperbole.