Sia ( Fig. 119 ) il semi cerchio BFE, la base di un Cilindro qualunque; abbassare dal diametro BE, perpendicolarmente come si vedrà or, or, cF, fino ad incontrare l’asse AB, supponiamo che sia dato, o preso a piacere, il diametro BE, formare l’angolo che si vuole, come ABE, e si ricaverà la forma di un triangolo, si traccerà una retta per le estremità A, E; in seguito per tutti i punti o, o e c, si manderanno delle parallele alla retta AE, fino ad incontrare l’asse AB, nei punti h,h,C, per i quali si alzerà, per
AB alcune perpendicolari indefinite hi, hi, CD, che saranno uguali alle
ordinate or, or, CF, che termineranno nei punti iiD, per le quali si farà passare una curva disegnata a mano, o con un regolo fisso, e si avrà la circonferenza dell’Ellisse richiesta; per semplicità vi illustriamo la metà della figura, l’altra metà è perfettamente uguale.
Fig. 119 Costruzione di più ellissi.
DIMOSTRAZIONE
Se si suppone il semi cerchio EFB, rialzato in EdB, e la semi Ellisse
ADB perpendicolare al piano del triangolo ABE, tutte le perpendicolari
al diametro EB, AB, lo saranno anche a questo piano, dunque le distanze delle fommets corrispondenti F, D, r, e i, che fanno lo stesso per dD, Ri, formano uguali alle altre distanze ho, Cc, del piano ABE; poiché le rette
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dunque queste formano anche un parallelogramma, come cCDd, dunque sia la figura EdBDAE una metà del Cilindro, la retta Cc sarà il suo asse, e
Dd, che gli è parallelo, sarà quello dell’altra parte; c’è da dire, che nella
facciata: si farà lo stesso con tutti gli altri giunti delle fommets.; e r o R, come hi, Ro, iR che saranno parallele, e uguali ad ho, la quale è parallela a Cc, dunque iR sarà parallela all’asse Cc, e di conseguenza alla faccia del cilindro, come dovevasi dimostrare.
Che la retta ADB forma un’Ellisse, l’abbiamo fatto vedere nel Problema precedente; poiché a causa delle parallele AE, ho, Cc, le rette EB, e AB sono divise proporzionalmente, e le ordinate a questi diametri, sono uguali fra di loro, e per conseguenza proporzionale a quelle del cerchio, per la costruzione; dunque la retta ADB è un’Ellisse Geometrica.
E’ a proposito di questa ragione, perché aggiungo qui l’epiteto Geometrico al nome proprio dell’Ellisse formato per questo problema; DAVILER è un famoso Architetto, che dice a gran voce, che a fare dell’arte erano stati pochi eletti in Geometria, per non conoscere l’attitudine di questa operazione, si immaginavano apparentemente che queste producevano curve di nuove specie; quello che a lui ha dato occasione di lasciare un’ assurdità, dunque chi ha mostrato il fatto all’origine, e in più luoghi di questa Opera, la Severità delle regole Geometriche, ( dettate a pag. 237 ) è inferiore alla pratica, come il metodo di ricerche prolungate molto meglio delle figure Geometriche, piuttosto che in quest’Arte la pratica è preferibile alla Teoria; il mestiere di capire anche il ragionamento di un Autore, di un Maestro dell’Arte, e quello che è ancora più singolare, si appellano al Tribunal di un Ouvrier che non è altro che una specie di Scimmia di un Geometra, nel trattato de la coupe de la Pierres, dunque si dice, è meglio prendere qualche abile Ouvrier per farsi condurre perché lui pretende e infiruit? Queste istruzioni può darle una persona che parla senza ragionare, e un’imitazione banale di quello che ha visto fare da un Maestro., che forse era anche più limitato di lui, incapace di capire che quello che egli diceva era difficile da interpretare; di conseguenza suscettibile di adottare il fatto; come lo vedi? Questo non significa scegliere un cieco per dirigere? Giacchè ritorniamo a questo Maestro, dicono che ha potuto tramandare queste regole perché è un Geometra? Un tale ragionamento non vale la pena ad essere considerato, non sono troppo comuni tra gli Architetti, e gli Ingegneri, dove non è molto semplice esaltarsi per qualche merito della facile pratica; non si possono sentire questi Chirurghi , che fanno del male alla Medicina, descrivono la medicina come possono, certi di risolvere con qualche cura, per molti di qualunque rimedio che hanno tratto da questa Scienza, e applicata o azzardata; Pensano, sfacciatamente che la pratica è meglio della Teoria della Facoltà; ma ritorniamo al nostro soggetto, questa descrizione va al di là del confine di una semplice osservazione.
COROLLARIO
E’ evidente che al posto del diametro AB, o se è dato uno più piccolo, come aB, la costruzione sarà comunque identica; questa retta sarà divisa proporzionalmente alla retta EB, nei punti l, m, n, e a; e si prolungano per questi punti le perpendicolari ad aB, uguali ai corrispondenti or: si avranno altri punti sulla circonferenza dell’Ellisse, che formeranno molte più curve della precedente, e che giaceranno tutte nella faccia dello stesso Cilindro per la stessa ragione.
COROLLARIO II
DA qui si fa: I° l’angolo BcC può essere acuto oppure ottuso, il cilindro
in questione sarà scaleno; non ci si potrà arrivare se non si prende un diametro uguale a BE che forma con Cc, un’ angolo uguale a BcC, la sezione sarà ancora un cerchio, come per esempio Ex.
2° AL posto del semi – cerchio EFB, preso per base di un Cilindro scaleno,
si avrà il semi – cerchio AGB, e si prenderà il diametro EB per l’asse di un’ Ellisse rimpicciolita, si trovarono per le stesse costruzioni cf uguali alle metà dell’asse maggiore di questa Ellisse, e si porta CG in cf, e hl in oK; & lo stesso per tutte le ordinate.
COROLLARIO III
Non solamente, si può trasformare un’Ellisse in un’altra, più o meno allungata, o un’Ellisse in un cerchio, che è la base di uno stesso cilindro; ma si può anche trasformare una piccola parte della semi – Ellisse, o del semi cerchio in un altro più allungato, e o più accorciato, nella varietà che si vedrà, ma, sarà necessario avere i diametri, per il solo allungamento delle ascisse, e la ripetizione delle coordinate corrispondenti.
Sia ( Fig. 120 ) un tratto, di cerchio BCe, o semplicemente un’arco De che fanno cambiare una parte dell’Ellisse dE, che forma la sezione dello stesso Cilindro, dunque De è parte della base. Dopo avere mandato per le estremità D e due linee rette Da, ea che formano fra di loro un angolo retto o qualunque altro in a; si taglierà la retta aD, in tante parti uguali come si vedrà, come qua in tre parti, e si tracceranno per i punti 2 e 3 delle parallele a 2p, 3p e alla retta ae; in seguito, costruito a parte l’angolo
dAE, uguale all’angolo Dae, si dividerà Ad con lo stesso numero di parti
uguali, o proporzionali; se le divisioni delle prime rette aD erano ineguali; e per i punti 2. e 3 di divisione della retta data Ad, si tracceranno delle rette 2P, 3P, parallele & uguali alle precedenti, corrispondenti alle stesse divisioni 2p, 3p; la linea curva che sarà tracciata per i punti EPpd, sarà la porzione dell’Ellisse che si cercava.
Per capire la ragione di questo Corollario, bisogna ricavare il cerchio, si troverà il centro c, dell’arco dato De & si manderà CB parallela ad aD; che taglierà la retta p2, p3 prolungata fino ai punti f e g.
Principalmente, poiché per la Figura 119, si è proceduto per i diametri
AB, EB; si può considerare il Triangolo ABE, come la sezione per l’asse
del Cilindro, dunque il raggio CB della figura 120 può rappresentare una parte della sezione di questo piano con la base ByeB, e la retta aD, quella di un piano parallelo alla sezione per l’asse, le quali detraggono delle linee parallele fp, gp, delle parti uguali f2, g3, non per cadere nella base del cerchio, ma ancora nell’Ellisse della sezione; di conseguenza, poiché le ordinate dell’Ellisse devono essere uguali a quelle del cerchio della base del Cilindro, si levano dalle corrispondenti, delle parti uguali, il resto dovranno ancora essere uguali, ma le ascisse per la costruzione saranno proporzionali, dunque all’arco Ed della sezione obliqua del Cilindro, corrispondente perfettamente all’arco eD della base, come dovevasi dimostrare.
C C A F T PL 10
Fig. 120 Disegni utili per la costruzione della fig 119.
PRATICA
Questo problema e fra i contraddetti il più utile di tutti questi, dunque se ne fa uso per la Coppe de Pierre; giacchè più spesso si fanno dei Cilindri Retti o scaleni, e tagliare obliquamente per le differenze incontrate nel piano o nel Cilindro stesso, o della base Ellissoidica; Si ha continuamente bisogno di allungare o rimpicciolire la curva dei centri, quello dell’ Operaio si chiama il Cerchio ribassato.
Quanto all’uso del secondo Corollario, si riscontra frequentemente, per esempio per trovare l’unione della Testa de la Porte en Tour ronde, ecc. come si vedrà nel 4° Libro.
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