PROBLEMA GENERALE
Trovare tanti quanti si vogliono punti di contorno fatti alla superficie di sfere, coni e cilindri che si penetrano reciprocamente.
Quando si tratta di descrivere delle curve che sono su una superficie piana, si trovano i punti del loro contorno attraverso il rapporto tra le ordinate e le ascisse dei loro assi o delle loro coordinate. Ma, per quelle che non sono su un piano, questo rapporto non è sufficiente, perché non essendo i loro assi o diametri delle linee rette, anche le ascisse non sono rette. Sono delle curve alle quali bisogna condurre delle altre ordinate ad una linea retta, che è come la loro sottendente, in modo da trovare la curvatura attraverso le differenti distanze della corda dall’arco. In modo che il rapporto delle due linee conosciute, non possa essere sufficiente, poiché in qualche modo il piano taglia la sfera, il cono o il cilindro. In tal modo non si produrrà che una sezione conica o un parallelogramma, e se si suppone un secondo piano perpendicolare o inclinato al precedente, la loro comune sezione sarà una retta nella quale deve trovarsi un punto della sezione solida. Ma questa linea non ne determina la posizione, infatti, bisogna far ricorso ad un terzo piano che taglia i due precedenti in determinate circostanze, per determinare questo punto sulla linea, dove si sa che debba essere. Tali sono i punti di questa curva a doppia curvatura, che io qui chiamo punti delle sezioni solide, perché provengono dalla sezione di un solido tagliato o penetrato da un altro solido e non danno un piano come le sezioni coniche.
Nel numero di tre piani, che bisogna supporre per trovare i punti di queste curve, ce n’è sempre uno dato, che fà una sezione conica, il cui asse è la sottendente della curva a doppia curvatura, che noi possiamo chiamare imbriqueè, perché è fatta come il contorno di una tegola scavata, o che è tangente a uno dei vertici di questa curva per distinguerla dalle altre curve a doppia curvatura che hanno più di una inflessione.
Il secondo piano, deve essere parallelo al primo, in modo da trovarci le ordinate all’asse curva della sezione solida, e paragonarle a quelle della sezione conica che corrisponde loro.
Infine, il terzo piano deve tagliare i due precedenti attraverso le ordinate
della sezione conica e del solido imbriqueè, in modo da trovarne le distanze, o attraverso delle perpendicolari, o attraverso delle linee inclinate di una inclinazione data.
Se si capisce bene questo principio, si vedrà che tutti i problemi da risolvere qui proposti, non sono che una applicazione di ciò, seguendo la differenza dei casi.
Si riconoscerà anche, che questo metodo molto semplice è molto geometrico è la chiave di tutti gli elementi delle volte che rappresentano quasi tutta la difficoltà nell’arte del taglio della pietra.
Non si tratta dunque che di tagliare dei solidi che si penetrano, con dei piani paralleli tra di loro, come attraverso delle fette che sono sempre delle sezioni simili in ciascun corpo, ma differenti l’ una dall’ altra. In secondo luogo, non si tratta che di riconoscere in ciascuna delle fette, la parte comune ai due corpi. Se si tracciano su un piano le due sezioni differenti nelle loro rispettive distanze, si vedrà che se si tagliano in due punti del loro contorno, che sono comuni alle due superfici di questi corpi.
In terzo luogo, non si tratta che di seguire, voglio dire di legare, attraverso dei tratti, i punti comuni alle due superfici passanti dall’una all’altra sulle superfici curve stesse, per avere la curva naturale, o su una superficie piana per averne l’imitazione prodotta attraverso la proiezione, come noi l’ abbiamo spiegata sopra.
Ora, poiché seguendo la geometria dell’ infinito, è possibile considerare i solidi come composti da un’infinità di fette parallele sottili, nelle quali le ordinate e le ascisse delle sezioni piane aumentano o diminuiscono secondo un rapporto dato, si può determinare una infinità di punti di contorno delle curve a doppia curvatura, che non sono applicabili su una superficie piana, o per appiattirle, per così dire, riducendole attraverso la proiezione a delle curve piane senza farci altri cambiamenti, non sopprimendo la terza dimensione; cosa che è necessaria per giungervi a gradi, come sarà in tutti i problemi seguenti.
Si può chiarire il metodo, che consente di trovare più punti a doppia curvatura più o meno facili, seguendo la situazione che si dà ai piani che tagliano i corpi in parti parallele, quando gli assi dei corpi o dei cilindri che si penetrano sono paralleli tra di loro. La situazione più comoda delle fette, è di essere perpendicolari a queste assi, in modo che i punti comuni non siano che le intersezioni di cerchi differenti. Se le assi di questi corpi tagliano ad angolo retto, la posizione delle fette deve essere parallela a uno dei due, per avere un cerchio, un parallelogramma o un iperbole e un cerchio, o obliquamente per avere due ellissi che si tagliano. Tutto ciò diventerà più comprensibile attraverso gli esempi dei problemi seguenti.
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SULLA CICLOIMBRE PROBLEMA XXXVIII
Tracciare una cicloimbre su due cilindri disuguali che si penetrano ad angolo retto.
FIG 187. Intersezione fra due cilindri che seguono un angolo retto.
Sia dato il cilindro O L a b, intersecato da uno più piccolo T t u V, cioè da uno di un diametro più piccolo, il cui asse x X cade perpendicolarmente a quello del più grande C c. Bisogna tracciare la curva che si crea dall’ intersezione delle due superfici, l’una posta sopra l’altra, dei due cilindri; per giungervi bisogna cominciare a seguire il metodo qui illustrato. Avendo fatto, a parte su un piano, un quarto di cerchio CAB, il cui raggio CA sia uguale a quello del cilindro più grosso. Sul raggio C B prolungato dal punto B per il centro, si traccerà un altro quarto di cerchio DEB, dentro il raggio DB, che sarà uguale a quello del cilindro più piccolo, e parallelo ad AC. Si dividerà l’arco DE, in tante parti uguali quante se ne vuole, per esempio, in quattro, ai punti 1, 2, 3, per i quali si condurranno fuori dal quarto DE, delle parallele ad AC, ed altre parallele a CE come 1i, 2h, 3g, Dd, fino all’incontro dell’ arco AdB in d,g,h,i, da dove si condurranno altre parallele ad AC indefinite. Su DB, prolungato, si prenderà ob per una parte a lato del grosso cilindro, e più grande del diametro del piccolo, lo si dividerà in due parti uguali al punto m, dal quale si porteranno da una parte e dall’ altra le distanze DI,DH,DG,DF in mt ,m1, m2, m3. Per tutti questi punti, m,3,2,1,t, si tireranno le perpendicolari ad ob, su ciascuna delle quali si porteranno successivamente, e nell’ ordine delle divisioni corrispondenti da una parte all’ altra del punto m, le divisioni del raggio CB, o le loro uguali, che sono le distanze della tangente DB all’arco AdB, cioè D d in mF, 6g in 3q, 5h in 2r, 4i in 1s, e lo stesso dall’ altro lato del punto m, tirando verso il punto u. In tal modo si avrà la proiezione della metà di una curva solida, che si crea attraverso l’intersezione delle superfici dei due cilindri, la quale proiezione non è assolutamente necessaria, ma molto utile per condurci dentro la descrizione della curva sulle superfici convesse o concave dei cilindri, come si vedrà nel VI libro.
Avendo fatto questa preparazione, si vuole descrivere il cicloimbre, sul grande cilindro.
Avendo tracciato una parallela al suo asse, come ob, si porteranno le distanze da m3,m2, m1,mt da un lato dal punto m preso a piacere, e altrettanto dall’altro verso u. Per i punti m,3,2,1,t, ecc., si tracceranno tanti cerchi paralleli fra di loro, e perpendicolari al lato ob, sui quali si porteranno, seguendo l’ordine delle divisioni corrispondenti dell’ arco AB, da una parte all’altra del punto m, gli archi di cerchio Bd, sul cerchio rappresentato qui dalla linea retta mF, con Bg sull’arco 3q, Bh su 2r e Bi su 1s. Ciò si vede più distintamente, nella Figura 188, dove questi archi sono definiti in prospettiva con delle lettere simili a quelle della Figura 187. L’ arco AdB rappresentato dall’ arco aKB, Bg da bG, Bh da bH e Bi dall’arco bI, che daranno sugli archi dei cerchi paralleli, tracciati sul grosso cilindro, i punti K, G, H, I, t attraverso i quali si traccerà a mano una curva che sarà il cicloimbre proposto. Si farà allo stesso modo sugli altri quarti di questa curva, che sono tutti uguali fra di loro, e al quarto che appare nella Figura 188.
Comunque, bisogna sottolineare che la curva tFu, che si è tracciata nella Figura 187, è quella dell’asse curvo del cicloimbre, rappresentato nella Figura 188 dalla linea curva tY, che passa per il mezzo delle corde di tutti gli archi limitati dal grosso cilindro.
Fig.188. Intersezione tra un cilindro con base circolare ed uno con base ellittica e con asse inclinato.
In secondo luogo, se si vuole tracciare il cicloimbre sul piccolo cilindro,
si descriverà sulla superficie un cerchio, la cui proiezione (Fig.187) è la linea diritta tmu, ed avendo diviso la sua circonferenza in parti uguali a quella dell’arco DE, dal quarto di cerchio DEB, si condurranno per i punti di questa divisione tante parallele al suo asse, le quali saranno perpendicolari al cerchio, se il cilindro è retto come noi lo supponiamo, e su ciascuna di queste parallele ( Fig.188 ), rappresentate dalle linee kK, gG,hH,Ii,Tt, si porteranno le lunghezze Dd,6g,5h,4i, della Figura 187,
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 17
MATERIA E GEOMETRIA
seguendo il loro ordine e dopo aver tracciato il cerchio tmu, che è il loro termine comune. Le lunghezze riportate quattro volte di seguito, daranno i punti, attraverso i quali passa il cicloimbre sul piccolo cilindro, attraverso i quali si traccerà la curva a mano, ciò che bisognerebbe fare.
DIMOSTRAZIONE
La ragione di questa operazione si può dedurre facilmente dal nostro problema generale. Poiché si suppone il grande cilindro tagliato da parecchi fette parallele tra di loro, e perpendicolari al suo asse, queste fette saranno tutte racchiuse dentro due cerchi, ma lo stesso piano che taglia ciascuna fetta del grande cilindro, che si è supposto tagli il piccolo cilindro parallelamente al suo asse, formerà delle fette comprese entro due parallelogrammi disuguali, di cui l’uno sarà più grande dell’ altro in modo che si abbia una successione di cerchi uguali tagliati da dei parallelogrammi disuguali, i cui rapporti dei lati sono espressi da delle linee tangenti BD, B6, B5,B4, attraverso le quali, gli altri lati che attraversano quelli ad angolo retto, sono espressi dalle linee Dd, 6g,5h,4i, di cui le più lontane dal punto B, che è sull’asse del piccolo cilindro, sono tagliate più lontano dalla tangente DB attraverso l’arco AdB, seguendo l’ ordine dei seni versi dell’arco Bd,Bg,Bh,Bi, come abbiamo detto nel teorema XVIII, che si dovrebbe fare.
UTILIZZO
Questo problema, è la base della pratica dei tratti del taglio delle pietre, dove si tratta di trovare i costoloni delle travature delle volte a botte disuguali, che si incrociano ad angolo retto, di cui noi abbiamo fatto un piccolo elenco per l’ applicazione del teorema citato.
Vi si possono anche includere quelli che si incrociano obliquamente, di cui la differenza del tratto non è che una modificazione di questa pratica, come si andrà a vedere nel problema seguente.
PROBLEMA XXXIX
Tracciare una ellissimbre formato da una sezione di una sfera intersecata da un cilindro, il cui asse non passa attraverso il centro della sfera.
Sia data una sfera( Fig. 189 ), o una porzione di sfera ARBt, il cui centro è C, penetrata da un cilindro DEFG, che entra dentro la sfera attraverso il contorno. Questo la dividerà, seguendo il problema generale, in fette parallele tra di loro e perpendicolari all’ asse del cilindro, attraverso delle linee rette 1r,2s,3t, che rappresenteranno i piani che tagliano questi due corpi, i quali avranno sempre per sezione due cerchi, di cui si avranno i raggi su queste linee, se le si considera, come intersezioni di un piano passante per l’asse del cilindro, e di questi piani che gli sono perpendicolari. Si prenderà infine, il raggio del cilindro DX, e dei punti f,e,d, intersezioni dell’asse Xx del cilindro, e delle perpendicolari a questo asse 1f, 2e,3d, prese a piacere e in così grande numero, che si vorranno avere dei punti per centro. Si descriveranno degli archi o dei semicerchi, 14o,25p,36q, e dei punti X,h,g,i per centri, presi al centro della corda della sfera Rr,Ss,Tt. Si descriveranno altri semicerchi che porteranno i precedenti nei punti 4,5,6, per i quali si abbasseranno delle perpendicolari sulle linee 1r,2s,3t, che le taglieranno nei punti n,m,l, i quali daranno la proiezione dei punti della curva a doppia curvatura, che
io chiamo ellissimbre, attraverso i quali si traccerà la linea AlmnB, che sarà il suo asse curvo.
Avendo fatto questa preparazione, se si vuole tracciare l’ellissimbre sul cilindro dopo avere tracciato la parallela al suo asse, per esempio AD, si porteranno su questa linea gli intervalli delle divisioni che sono state prese a piacere, A3,A2,A1, per le quali si tracceranno tanti cerchi paralleli tra di loro,e perpendicolari all’asse del cilindro che noi supponiamo retto. Poi si porteranno da una parte all’ altra della linea AD, tracciata sulla superficie del cilindro, gli archi dei cerchi determinati attraverso le intersezioni di quelli della sfera, ossia l’ arco 14 per il primo cerchio,l’arco 25 per il secondo, e l’arco 36 per il terzo, e per i punti A,6,5,4,B, si traccerà a mano una metà dell’ellissimbre, e l’altra dall’ altro lato, ugualmente; cosa che la Figura 189 non può esprimere, perché i semicerchi 14o, 25p, 36q, devono essere rilevati a immaginazione nell’area, perpendicolarmente al piano della sezione per l’ asse del cilindro, e che lo rappresentano ancora su una metà della curva essendo l’altra, dall’ altro lato della linea
A D del cilindro.
Secondariamente, se si vuole tracciare l’ellissimbre sulla superficie
laterale della sfera, al posto della linea AD che noi abbiamo preso per la metà degli archi, la cui figura ci dà le metà, si traccerà sulla sfera un cerchio più grande, passante per i punti A e B, sul quale si porteranno gli intervalli delle divisioni fatte attraverso le parallele 1r, 2s, 3t, che sono gli archi AT, AS, AR, AB, per i quali si descriveranno tanti cerchi paralleli tra di loro, e perpendicolari al maggiore. Si porteranno, inoltre, da una parte all’ altra di questo cerchio maggiore gli archi di cerchio minori determinati dall’intersezione dei semi cerchi del cilindro, che sono nei piani corrispondenti. Così si porterà sul primo, l’arco R4,sul secondo l’arco S5, sul terzo l’arco T6, e si avranno sulla superficie della sfera i punti A,6,5,4,B attraverso i quali si traccerà a mano una curva che sarà l’ellissimbre proposta. Si farà altrettanto dall’altro lato dell’arco ARB sul la superficie della sfera, per l’altra metà dell’ellissimbre.
Si può ancora tracciare questa curva sul cilindro e sulla sfera in un altro modo.
Per prima cosa, sul cilindro si può tracciare una ellisse per i punti A e B ( attraverso il problema XXXVI), ed avendo preso su questa ellisse gli archi corrispondenti alle parti dell’ asse AzAY. Con la proiezione si faranno passare attraverso i punti z e Y delle parallele all’asse del cilindro, sulle quali si porteranno le lunghezze Zl, Ym della proiezione, le quali daranno i punti l,m ed n; tuttavia questo metodo è più lungo.Si traccerà, allo stesso modo, sulla superficie un cerchio maggiore AB, da dove si porteranno gli archi corrispondenti alle lunghezze lZ, mY, per avere i punti l,m e n, ma questo modo che sarebbe più lungo sarebbe anche meno corretto nell’esecuzione. Lo si propone qui come una idea, che illustra i differenti modi che si possono impiegare per arrivare allo stesso risultato.
Fig.189. Intersezione tra una sfera ed un cilindro. DIMOSTRAZIONE
La ragione della prima costruzione, è sempre fondata sul problema generale della divisione dei corpi in parti parallele, per mezzo delle quali si hanno parecchie intersezioni dei cerchi disuguali della sfera e
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del cilindro, nelle quali vi sono dei punti d’incontro delle due superfici e conseguentemente dell’ ellissimbre. Poiché, benché siano stati tracciati dei cerchi differenti sul piano della figura, che è quello che passa attraverso l’asse del cilindro, bisogna raddrizzarli con immaginazione, perpendicolarmente a questo piano, cosa che non cambia la loro distanza relativa al piano tangente supposto sulla linea AD del cilindro, poiché le linee 4n, 5m, 6l, gli sono parallele come lo sono all’asse della sfera CP. Poiché la curva deve sempre avere due punti comuni alle due superfici, segue che essa passerà attraverso le intersezioni delle curve formate dal piano che taglia i due corpi, cosa che bisognerebbe trovare.
Si giungerà alla stessa descrizione, anche se, invece di fare le parti perpendicolari all’ asse del cilindro, le facciamo parallele ad esso. In questo modo, i punti della curva si troveranno all’intersezione dei cerchi della sfera e dei parallelogrammi del cilindro. Questo è sempre lo stesso principio applicato in modo diverso.
Se il cilindro non è retto ma scaleno, ci saranno dei cambiamenti per le figure delle sezioni, poiché supponendo le parti perpendicolari al suo asse, esse sarebbero circolari nella sfera ed ellittiche nel cilindro, e non ve ne sarebbero di circolari, se invece non lo fossero le parti oblique al l’asse e parallele alla base. Ciò che è facile rappresentare o concepire, senza l’aiuto di una figura, ancor meglio facendo una sezione sotto contraria. Tuttavia per aiutare l’immaginazione, ci si può esercitare su una palla e su un cilindro realizzato in rilievo, vale a dire realizzato con l’ argilla o un altro materiale morbido.
L’utilizzo di questo problema è indicato nel teorema X per le travature delle lunette praticate dentro una volta sferica.
PROBLEMA XL
Siano dati i diametri di due cilindri che si intersecano, e l’inclinazione dei loro assi che si incontrano, tracciare l’ellissimbre che si forma dall’incontro delle loro superfici.
La costruzione di questo problema è così simile a quella del penultimo, che la sola ispezione della Figura 190, ne farà vedere la differenza, che consiste nella preparazione, dove al posto di due quarti di cerchio bisogna fare due quarti di ellisse, ed invece di sistemarle ad angolo retto sul lato del grande cilindro, bisogna dare ai loro assi l’inclinazione che devono avere su quel lato.
Tuttavia per una più ampia spiegazione ( Fig.190 ), sia la metà del grande cilindro QB intersecata da una più piccola Tm, il cui asse Xx forma con l’asse cC del grande, l’angolo Xxc. Si prenderà la linea BC(1) per metà del grande asse di un ellisse, il raggio eC per metà del diametro del grande cilindro, per metà del piccolo asse, verrà descritto su un piano a parte il quarto di ellisse NDE, il cui centro sarà C. Poi avendo prolungato la metà del grande asse CN fino ad M, in modo che NM sia uguale ad hm, preso per metà del grande asse di un altro quarto di ellisse, si prenderà per metà del piccolo asse, la linea NH uguale al semidiametro della base TV del piccolo cilindro,e si traccerà il quarto dell’ ellisse H21M. In seguito, avendo tirato verso H la linea DL parallela a CM, si dividerà il quarto di ellisse HM in tante parti uguali quante se ne vorrà, per esempio qui si divide in tre parti, attraverso i punti 2 ed 1, attraverso i quali si condurranno 1G, 2F, paralleli a CM, e ML, 1K, 2I, paralleli a HN. Avendo