SFERE, DEI CONI E DEI CILINDRI.
DEFINIZIONE I
Se dalle estremità S T, del diametro di un cerchio S A T B, si facesse passare una linea curva piana ScT, di cui l'asse fosse Cc, seguendo la quale le ordinate di questo diametro ST s'abbassassero o si alzassero parallelamente a queste stesse in un movimento uniforme, in modo tale che il loro mezzo sia sempre nel piano Stc, la curva SaTb, che terminerà la superficie concava, in maniera che quelle prenderanno forma da questa sistemazione, si chiamerà Cerchioide, per abbreviazione dell'espressione Latina, Circulus imbricatus, cerchio a mo’ di tegola concava.
Per aver chiara un'idea di questo cambiamento di posizione delle ordinate, non c'è che da immaginare un cerchio tracciato su una sezione di un libro nella pressa, nel momento in cui il Rilegatore ha troncato questo pezzo di una sezione piana; se successivamente la affossa nel mezzo, come quando capita nel dare rotondità al retro, tale cerchio che era piano diviene un Cerchioide; poiché ogni foglio retrocedendo subito, più o meno, sia che questo sia preso dal mezzo o dalle estremità del pezzo, forma lo spazio di una superficie concava alla maniera cilindrica, di cui il contorno non è più un cerchio come prima, ma una “Curva a doppia curvatura”, avendone una attorno al centro e una in profondità o allontanamento del piano passante per le estremità del diametro S T.
COROLLARIO I
Da ciò ne consegue che, in primis, sebbene la superficie concava o convessa del cicloimbre sia più grande di quella del cerchio piano generatore, questa non contiene più ordinate, poiché il numero di fogli, nell'esempio della sezione del libro, non è aumentato nel retrocedere o nell'avanzare al di là di tale piano, dalle estremità S T , come si vede chiaramente nella figura, mediante le parallele che sono state tracciate da una parte alle linee Aa, Cc, e dall'altra mediante le parallele al diametro
AB, che si suppone perpendicolare al piano Stc.
Si vede soltanto che ipotizzando una linea ct parallela e uguale a CT, divisa in parti uguali, le linee parallele alla linea Cc, passando attraverso queste divisioni, tagliano la parte cT in parti non uguali, anche se le si supponesse infinitamente piccole.
Quel che diciamo dell'asse curvo cT, al quale sono applicate tutte le coordinate, è ancora vero di fronte al contorno a doppia curvatura adT, sebbene esso sia più grande dell'asse e del contorno del cerchio generatore
ATBS, che è qui rappresentato in prospettiva, laddove si scorge una
piccola nozione delle meraviglie della geometria dell'infinito.
COROLLARIO II
Ne consegue in secondo luogo che i diametri, vale a dire, le linee dritte, tracciati da uno dei punti del contorno della curva a doppia curvatura al proprio opposto, passando per l'asse Cc, al di fuori della superficie cilindrica, compresa per questa curva, sono uguali fra di loro, come i diametri del cerchio generatore. Così gd è uguale a GD, ab ad Ab, etc. essendo i punti G e D e A e B posti parallelamente all'asse Cc a distanze uguali, ne deriva che GDdg è un parallelogramma; di conseguenza gd sarà uguale a GD.
Oppure bisogna rimarcare che se la curva ScT non era uniforme, ma a differenti inflessioni, tali diametri avrebbero potuto non essere uguali e allora la curva non sarà più un cerchioide; poiché è dall'eguaglianza dei suoi diametri che deriva l'analogia del nome.
Fig. 27
Fig. 27. La figura mostra come è possibile creare un “circulus imbricatus” tramite il cambiamento di posizione delle ordinate dalla quale si otterrà una curva a doppia curvatura.
COROLLARIO III
Si può rimarcare che di tutti i diametri del cerchioide, non ve n'è che uno a stare nella superficie cilindrica, compreso nel suo contorno, quello che passa per il vertice c, della curva ScT, perpendicolarmente al piano di tale curva; tutti gli altri sono al di fuori di questa superficie.
COROLLARIO IV
Da ciò che abbiamo appena detto ne consegue che l'asse Cc della curva, che chiamo asse di profondità ScT, taglia in due in maniera uguale tutti i diametri della curva del contorno del cerchioide, più o meno lontano dalla superficie cilindrica, a seconda che essi siano più o meno obliqui rispetto al piano della curva ScT.
COROLLARIO V
E' visibile che se al posto di una sola curva ScT se ne ipotizzasse una ancora più alta o più bassa, al di sotto o al di sopra del diametro ST, dello stesso cerchio generatore, si formerebbero due cerchioide differenti, i quali avrebbero una profondità non uguale, ma il contorno dei quali sarebbe alla superficie dello stesso cilindro, che avrebbe per base il cerchio generatore ATBS; poiché tutti i punti di questi contorni dovrebbero essere issati da quelli del cerchio generatore, messo parallelamente all'asse Cc della curva di profondità ScT.
Se al posto di un cerchio generatore si ipotizzasse un'ellisse BDLE, di cui le ordinate ED , GH si allontanassero o avvicinassero, alla stessa maniera di quanto detto a proposito del cerchioide, non sempre perpendicolarmente a un asse BL di tale ellisse, ma al pari obliquamente, seguendo un angolo qualsiasi, come BCc o LCc, come una catena molle appesa alle estremità di un bastone inclinato all'orizzonte, la superficie formata dalla sistemazione di queste ordinate, seguendo una curva simile, sarebbe terminata da un contorno curvo, che noi chiamiamo Ellissoide, per abbreviazione dell'espressione Latina “Ellipsis Imbricata”.
La necessità di dare dei nomi a delle curve, che non ne avevano affatto, s'estende anche alle linee che sono loro essenziali; noi ne considereremo quattro principali, che meritano di avere un nome proprio; poiché le nomineremo spesso in questo quarto libro.
DEFINIZIONE III
Il diametro del cerchio generatore, o l'asse dell'ellisse piana generatrice, che passa per i punti S e T, o B, L, laddove la curva tocca il piano del cerchio o dell'ellisse, si chiamerà Asse Portante; la linea curva S e T, o
B e L, che si trova sullo stesso piano di quest'asse, che taglia la sezione
in due parti uguali, come S e T o B e L, si chiamerà Asse Curvo; la linea corrispondente al diametro perpendicolare all'asse portante, che è il piccolo o il grande asse dell'ellisse, si chiamerà Asse Retto; perchè quantunque diritto, sarà su tutta la superficie della sezione concava; tale è ab (Fig.27) e de (Fig. 28). La linea Cc che è la maggiore rispetto alla traiettoria che percorre il centro C, nell'abbassamento del diametro AB, o
DE in ab, o de, si chiamerà l'Asse di Profondità, che passerà sempre per
i due centri della sezione piana, e della sezione curva a doppia curvatura attraverso il suo contorno.
Le linee che passeranno per quest'asse e termineranno alla circonferenza della sezione, si chiameranno Diametri.
COROLLARIO
Dato che l'asse di profondità Cc può non essere perpendicolare all'asse portante BL, ne consegue che il diametro destro dc della sezione, può non essere nel mezzo dell'asse curvo BcL, poiché il punto c, centro della sezione, corrispondente al centro C dell'ellisse generatrice, è evidentemente più vicino al punto L che al punto B; pertanto il numero delle ordinate di c in L, sarà sempre uguale al numero delle ordinate
Fig. 28
Fig. 28. La figura esprime lo stesso concetto di quella precedente con la differenza che ora la curva è un’ellisse e non più un cerchio con tutte le conseguenze del caso.
DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 3
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte MATERIA E GEOMETRIA CARMELA CRESCENZI
COROLLARIO
Ne consegue da questa definizione, che l'asse retto non sarà più uguale all'asse corrispondente DE dell'ellisse piana generatrice, che è unito a quello che è l'asse portante dell'asse curvo della sezione, ma che sarà più grande o più piccolo, più grande se si trova dalla parte opposta alla comune sezione dei piani convergenti, e più piccolo se è dello stesso lato, cosa che spiegheremo meglio nelle sezioni relative alla penetrazione dei coni.
DEFINIZIONE V
Qualora una curva fosse composta da due porzioni di curve suddette, sia Cerchioide, sia Ellissoide, sia Ellipsoidimbre, essa sarebbe detta Composta di queste curve.
Infine si chiameranno con nomi simili tutte le curve che seguendo leggi simili saranno tracciata da figure piane paraboliche o iperboliche, di cui le ordinate ai loro assi si allontaneranno in maniera uniforme dal loro vertice da un lato soltanto; dato che, essendo tali figure aperte, le sezioni curve non le toccheranno che in un punto, e non in due, come nelle precedenti.