circonferenza, e il cui asse non passa per il centro della
sfera, è un’ellissoide.
Data la sfera ABDT, penetrata dal cilindro LNDF, di cui l’asse Mm non passi per il centro C della sfera, se si supponesse un piano passante per questo centro e per l’asse Mm, tale piano produrrebbe due sezioni differenti, vale a dire, un cerchio ASD nella sfera, che sarebbe maggiore, e un parallelogramma LNDF nel cilindro.Queste due sezioni si taglierebbero nei quattro punti ABDE, che sarebbero di conseguenza comuni alle due superfici della sfera e del cilindro e alla circonferenza delle curve opposte, formate dalla penetrazione del cilindro alla sua entrata e all’uscita dalla sfera.Basterà esaminarne una perchè l’altra sarà perfettamente uguale.
Se si ipotizzasse ancora, come nel problema precedente, un secondo piano perpendicolare al primo e passante per i punti A e B, è evidente che produrrebbe due nuove sezioni, vale a dire, un cerchio nella sfera, rappresentato nella Fig. 38 dalla curva AfBF, di cui il diametro sarebbe
AB, e un’ellisse nel cilindro, rappresentata da AgBG , di cui AB sarebbe
l’asse maggiore, poichè il cilindro sarebbe tagliato obliquamente seguendo questa linea, data l’ipotesi, e di cui l’asse minore sarebbe la linea Gg, o il suo uguale KL, che sarebbe il diametro della base del cilindro
LNFD, cosa dalla quale derivano le stesse prove che sono state
dedotte nel problema precedente: che la sezione comune alle due superfici dei corpi non può essere ne cerchio ne ellisse; essendo l’una inscritta nell’altra, tali figure non avrebbero che due punti comuni A e B, che potrebbero trovarsi all’incontro delle due superfici, e che infine la sezione che sarebbe a questi comune sarebbe una curva a doppia curvatura, non posta su di un piano e che non avrebbe niente in comune con le due sezioni suddette se non gli stessi punti A e B.La sola differenza è che qui questa sarebbe l’asse maggiore, in modo tale che l’ellisse sarebbe tutta dentro al cerchio della sfera, in questo caso, e tutta fuori nell’altro.
Fig. 38
Ne consegue che l’asse curvo della sezione solida, che è un’ellipsimbre nell’uno e nell’altro caso, si avvicinerebbe dal centro della sfera nel primo, e si allontanerebbe nell’altro.
Nel resto dei casi le ordinate all’asse curvo della sezione sarebbero sempre uguali a quelle dell’ellisse, applicata all’asse maggiore AB, come dimostrato nella proposizione precedente.
Tuttavia data l’importanza di concepire la natura e le proprietà di questa curva, che è la chiave di tutte quelle che si formano per la
Fig. 38. Questa figura mostra il risultato dell’intersezione tra una sfera e un cilindro retto che la penetrain tutta la sua circonferenza.
DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 3
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte MATERIA E GEOMETRIA CARMELA CRESCENZI
dei corpi, riprenderemo la spiegazione per renderla più intelleggibile, presentandola sotto un’altra faccia, attraverso una figura più distinta. Fig. 40
Data la Fig. 40, KL e RQS, la rappresentazione in prospettiva della sezione data da un piano, passante per l’asse del cilindro fino al diametro RQ della sfera, perpendicolarmente al piano passante per lo stesso asse, e i punti A e B, in modo che C2M della Fig. 40, il semicerchio QSR sarà la sezione
che questo piano fa nella sfera, e il parallelogramma KLlk quello dello stesso piano del cilindro.Sia un altro piano parallelo a questo, passante attraverso Ttqr, che produce anche questo due sezioni della stessa natura, vale a dire un semicerchio qsr, e un parallelogramma Ttuv.
E’ evidente che le intersezioni dei lati di questi parallelogrammi con i semicerchi produrranno dei punti comuni alle due superfici della sfera e del cilindro,tali sono i punti Ee, Ii, attraverso i quali il contorno della sezione solida deve necessariamente passare , come i punti A e B; la curva EiBIe sarà dunque all’incontro delle superfici, dal suo asse dritto
Ee, corrispondente al diametro della base del cilindro KL fino al punto B,dove questa va a toccare la sezione piana dell’ellisse, passante per AB,
che noi rappresentiamo qui per la curva AGBg.
Poichè il diametro KL della base del cilindro è perpendicolare all’ asse
C2M , che si suppone dritto, e che le metà di questo diametro KM e ML
sono uguali, le linee KE e Le tracciate dalle loro estremità parallelamente a quest’asse saranno uguali fra loro, quindi Ee sarà parallela e uguale a
KL; ma dato che per l’ipotesi, il piano AGBg è perpendicolare al piano MNnC2 passante per l’asse del cilindro, MC2 , e per la linea AB, gli
angoli GCM e gCM sono retti; ma anche Eg è un parallelogramma, a causa delle parallele Kk, Ll che sono i lati del cilindro; dunque Ee e Gg sono due linee uguali: e per la stessa ragione anche Hh e Ii lo saranno; ora Gg e Hh sono delle ordinate dell’ellisse piana all’asse maggiore AB; e Ee, Ii, delle ordinate dalla sezione solida al suo asse curvo DxB, parte di tutto l’asse AdxB; dunque le ordinate di tale sezione sono a quelle dell’ellisse AGBg, passante per i punti comuni A e B, e quindi questa curva è del tipo di quelle che abbiamo chiamato Ellissoide, cosa che andremo a dimostrare.
Resta da far vedere che l’asse curvo ADxB che è sullo stesso piano dell’asse portante AB, il quale è l’asse maggiore dell’ellisse AGBg, se ne allontana e vi si avvicina nel rapporto dei seni versi degli archi di cerchio della sfera, di cui le ordinate dell’ellisse e dell’Ellissoide sono i seni retti nelle sezioni circolari della sfera, fatti attraverso i piani passanti per queste ordinate parallelamente all’asse del cilindro.
Poichè se dal centro C2 si tracciano i raggi C2E e C2e, all’estremità
dell’ordinata Ee, che è la corda dell’arco Ese, si vedrà chiaramente che le sue metà ED e eD sono i seni retti della metà di questo arco, di cui DS è la freccia o seno verso; allo stesso modo se dal centro O del semicerchio
qsr si tracciassero delle linee al punto i e I della corda iI, altra ordinata
alla sezione, si riconoscerebbe che la profondità più grande nel cerchio, che è xs, sarebbe la freccia di tale corda, e il seno verso della metà ix o
Ix, cosa che è chiaramente espressa nelle Fig. 35 e 36 in hS e VS, come
l’abbiamo spiegata nel problema precedente.
Si farà lo stesso di tutte le ordinate possibili tra i punti A e D, D e B, di cui le profondità diminuiranno dall’asse retto Ee, fino a questi punti A e
B dove queste si ridurranno a niente; perchè le ordinate del cerchio AFBf
della sfera e dell’ellisse AGBg, di cui la differenza causa la profondità della sezione, divengono uguali a zero in questi punti.
COROLLARIO
Da qui ne consegue che l’ Ellissoide non fa che toccare le sezioni piane, circolare e ellittica; dato che queste ultime due si toccano solamente e non si intersecano affatto, e che dal momento in cui comincia da esservi della differenza tra le ordinate ai loro diametri comuni, nello stesso tempo comincia ad esserci qualche profondità o distanza dalle sezioni piane alla solida, di cui l’asse curvo comincia ad allontanarsi dall’asse portante.Quindi la circonferenza curva dell’Ellissoide non fa che toccare le circonferenze delle sezioni piane del cilindro e della sfera.
Abbiamo dato, nel problema precedente, il modo di trovare i seni versi che fanno la profondità dell’asse curvo, per mezzo del compasso; ma se si volesse, per un’operazione più perfetta, trovarli grazie ad un calcolo,
non sarebbe difficile. Bisogna togliere dal quadrato del raggio del cerchio della sezione della sfera C2S o os, il quadrato dell’ordinata cF del cerchio
della sezione piana AFBf resterà il quadrato deC2c, di cui la radice era
tolta dal raggio, resterà cS, togliendo dal quale Ds trovato prima, resterà
cD, differenza della profondità della sezione piana nella sfera, e della
sezione solida,la quale è la distanza delle due ordinate corrispondenti nell’ Ellissoide e nell’ellisse piana, che andremo a trovare.
Abbiamo detto in occasione del problema precedente che la distanza più grande dall’ellisse all’Ellissoide, che sta all’asse retto, era alla metà della sezione solida, a distanza uguale dai punti A e B, non è lo stesso in questo caso; poichè 1) l’asse retto non è uguale alla distanza dai punti
A e B, 2) non è rispetto all’asse retto che la sezione solida è più lontana
dalla sezione piana.
E’ evidente che l’asse retto Ee non sia equidistante dai punti A e B: dato che essendo l’asse del cilindro inclinato rispetto all’asse portante
AB, l’angolo DcB è acuto e DcA è ottuso; quindi il punto D, centro
dell’Ellissoide, è più vicino a B che a A.
Inoltre, per provare che il punto D non è il più lontano dalla sezione piana, che passa per AB, sia fatto a parte (Fig. 39) l’arco di cerchio maggiore
aTb uguale al segmento, che la linea AB ritaglia da un gran cerchio della
sfera, la cui metà della corda è in C, attraverso il quale si farà passare una linea Ce, che sarà con ab l’angolo bCe uguale a quello dell’inclinazione dell’asse del cilindro sulla linea AB, uguale all’angolo LAB (Fig.38). Sia anche aLdb l’asse curvo della sezione solida e ab l’asse maggiore della sezione piana ellittica, l’ordinata maggiore a quest’asse, che l’asse minore, corrisponde a quella che passerebbe per D dell’ Ellissoide, che si trova al centro di questa curva; bisogna provare che può esserci un altro punto, ad esempio L, che sia più lontano da ab di quanto non lo sia il punto D.Per questo, se dal punto C si fa partire CT perpendicolare su
ab e dal punto T, dove questa taglia l’arco aTb, si traccia una tangente Te a quest’arco, che dallo stesso punto T si abbassa TLf parallela a DC,
il punto L, dove questa taglierà l’asse curvo, sarà il più lontano dall’asse portante ab; poichè le linee eC, Tf, che tra le stesse parallele ab, Te, sono uguali tra di loro, e dato che SC non è che parte di eC, questa sarà più piccola di Tf; ora Sd rappresenta il seno verso dell’arco, di cui l’asse retto che passa per D è la corda nel cerchio, che è la sezione della sfera per l’asse del cilindro perpendicolarmente al cerchio aSb e Lt rappresenta il seno verso, o la freccia, di cui la doppia ordinata, che passa per il punto
f dell’ellisse piana può essere molto piccola; da ciò si può concludere
che il suo seno verso può essere più piccolo di quello che passa per Lf, il quale è più lontano dal centro C della sfera; (Fig. 34) ma nel momento in cui ipotizzassimo questi seni versi uguali, sarà sempre evidente che togliendo dalle due linee ineguali SC, Tf dalle quantità uguali Sd, TL, la parte Lf resterà più grande di dc, che è più piccolo di Tf; dunque, essendo la distanza obliqua Lf più grande di dC, la distanza perpendicolare Lx sarà anch’essa più grande di dy, cosa da dimostrare; poichè i triangoli
Lfx e CDy saranno simili.
Fig. 39
COROLLARIO I
Ne consegue che più la linea AB è inclinata all’asse CS, più deve esserci irregolarità nello scarto delle ordinate dell’Ellissoide da quelle dell’ellisse piana, come anche nella distanza di queste ordinate tra loro sul loro asse curvo adb, come si vede nella Fig. 41, poichè gli intervalli A2, 23,3d sono molto diversi, misurati su questa curva AdB, sebbene misurati sulla linea retta AB in pqc, o su una perpendicolare alla loro direzione, come in mno; dato che queste ordinate all’asse curvo ai punti 2, 3, d,
4, 5 sono emanate da quelli dell’ellisse piana, ai punti pqC etc. o dalla
base del cilindro ai punti mno.
Fig. 41
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LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte MATERIA E GEOMETRIA CARMELA CRESCENZI
COROLLARIO II
Ne consegue ancora che le ordinate all’asse curvo dell’ Ellissoide non sono in numero maggiore di quelle dell’ellisse piana da una parte e dall’altra del centro C o D, ma che queste sono più pressate da un lato che dall’altro.