Si vede da questa proposizione quale deve essere il centro dell'incontro delle volte sferiche con le Volte a Botte diritte, di cui gli assi passano per il centro della sfera, tale è il poggio di una Cisterna incurvata a conca absidale, come ve n'è una a Phalsbourg, tale è la finestra a chiave di volta del Pantheon di Roma, tali sono le imposte delle lanterne sulle cupole nella maggior parte delle chiese moderne, gli incontri di navate con volte a botte con i Capezzali circolari, incurvati in quarto di sfera, o di una più grande porzione, se il diametro del santuario è più grande di
Fig. 33. Differentemente dalla figura precedente, a parità di condizioni, una sfera intersecata da un cilindro scalenocrea un’ellisse nella sua intersezione.
Data la sfera ABIH, penetrata dal cilindro scaleno KLGF, (fig. 33) il cui asse Xx passi per il centro C della sfera, se si ipotizzasse un piano passante per questo asse, darebbe due sezioni diverse, ovvero il parallelogramma
KLGF nel cilindro, e il cerchio SDE nella sfera, il quale sarebbe grande
o maggiore, perchè passerebbe per il centro C, e di cui i punti A e B, ove si tagliano queste due figure, sarebbero comuni alle due superfici della sfera e del cilindro, come i punti I e H della sezione opposta, che sono sui lati del parallelogramma, e nello stesso modo alla circonferenza del cerchio, e nessun'altro punto se non questi quattro non potrebbero essere che su una delle superfici dei due solidi; poiché se essi fossero su quella del cilindro, sarebbero dentro la sfera, e se fossero su quelli della sfera, sarebbero fuori dal cilindro, poiché gli archi ADH e BEI sarebbero al di fuori dei lati AH e BI. Se si ipotizzasse un secondo piano perpendicolare al primo e che passasse per i punti A e B, taglierebbe questi due corpi in maniera diversa dal primo, e costituirebbe due sezioni differenti, vale a dire un cerchio ABel, di cui il diametro sarà AB e che non sarà più un gran cerchio, ma un cerchio minore; perchè non passerebbe per il centro
C della sfera. L'altra sezione nel cilindro sarebbe un'ellisse AdBk, di cui AB sarebbe l’asse minore ; perchè la sezione perpendicolare all'asse di
un cilindro scaleno è un'ellisse, e il diametro KL del cerchio della base KMLN, inclinato al lato LG è più grande di AB che è perpendicolare a questo; in effetti se si tracciasse una parallela Ar per A, sarebbe l'ipotenusa del triangolo rettangolo, di cui AB sarebbe un cateto , ora qualsiasi sezione che non fosse parallela alla base sarebbe un'ellisse.
Allo stato attuale poiché il piano passante per B prevede due sezioni differenti, è evidente che ne l'una né l'altra può essere comune alle due superfici; in effetti l'ellisse del cilindro essendo circoscritta al cerchio della sfera, con il quale non ha in comune se non i due punti A e B, e tutta fuori dalla sfera e il cerchio della sfera è tutto fuori dal cilindro, di cui la sezione comune sarà un'altra curva al di fuori di questo piano, che non avrà in comune con questo piano se non i due punti A e B, questa curva passerà quindi al di sotto o al di sopra del piano, tagliando questi due corpi per A e B. In questo esempio passerà al lato del centro C della sfera, come AfB; perchè il diametro MN = fi è più grande di AB. Bisogna far vedere il rapporto che questa ha con l'ellisse AdB, per dimostrare che questa è un' Ellissoide, come l'abbiamo chiamata prima. Per arrivarci bisogna dire ancora qualcos'altro.
Sebbene noi abbiamo gia ipotizzato due piani taglianti la sfera e il cilindro, uno per l'asse Xx, l'altro per i punti A e B perpendicolarmente al primo, conviene ancora immaginare almeno due altri paralleli fra di loro, e perpendicolari ai primi, vale a dire ancora uno per l'asse e il diametro MN della base, e l'altro per l'ordinata OPQ; questa molteplicità di piani è un po' imbarazzante per il lettore, ma è inevitabile per la dimostrazione delle proprietà della curva che noi esaminiamo, ci si può aiutare utilizzando dei rilievi di carta o di cartone; sarà bene ancora ricordare l'undicesimo e il dodicesimo libro di Euclide, perchè tutta quest'opera non gira che sulle sezioni e gli incontri dei piani. Rimane all'immaginazione del lettore sollevare gli oggetti e staccarli dal piano in cui giacciono per considerarli dove devono essere.
COROLLARIO I
Dati dunque due piani paralleli all'asse del cilindro, passanti per le ordinate MN, OQ, le sezioni di questi piani nella sfera saranno dei cerchi, di cui fSi e tsb sono degli archi e dei parallelogrammi nel cilindro, di cui MdkN e OQZ sono delle porzioni, poiché Md e Nk sono paralleli, essendo il lato del cilindro, e MN e dk anche, paralleli fra di loro; poiché i piani KML della base e AdB della sezione per AB, sono perpendicolari allo stesso piano AKLB, passante per l'asse Xh; o poiché la linea MN è perpendicolare all'asse CX, vale a dire al raggio CS prolungato, essa è parallela alla tangente che passerà per S dell'arco di cerchio fSi e le linee
Mm e Nn essendo parallele a quest'asse e ugualmente allontanate da una
parte e dall'altra, le linee MfNi rincontreranno quest'arco nei punti f e i, equidistanti da M e N; (art. 39), dunque la linea fi sarà parallela a M e N e a dk; dunque df = ki, e dk = fi, vale a dire, che l'ordinata dk nell'ellisse
AdB è uguale all'ordinata della sezione comune alle due superfici, che
passano per f e per i. Si dimostrerà alla stessa maniera che l'ordinata
uz è uguale all'ordinata tb della sezione solida, che passa per t; dunque
tutte le ordinate all'asse curva AhB, della sezione solida, sono uguali a tutte quelle dell'ellisse all'asse AB; dunque la sezione è un' Ellissoide, cosa che bisognerà dimostrare.
Dato che il piano MN, per l’asse Xx del cilindro, taglia perpendicolarmente l’asse portante AB della sezione , ne consegue che l’ordinata maggiore dell’elleisse piana, che qui è dk, si abbassa perpendicolarmente ad AB in
fi, che è l’asse retto della curva, di conseguenza quest’asse è equidistante
dalle estremità dell’asse portante AB , cosa che non avviene in nessun caso se non in quello dei cilindri scaleni.
COROLLARIO II
In secondo luogo ne consegue che la più grande profondità, o distanza dell’ Ellissoide dall’ellisse piana, è all’asse retto Si, perchè la più grande differenza de del diametro el del cerchio della sfera AeBl, e dell’asse dk dell’ellisse AdBk, è nel piano dell’asse retto Si; ora poichè de o lk è la più grande distanza che ci possa essere dalla circonferenza del cerchio all’ellisse, la distanza df o iK sarà allo stesso tempo la più grande che ci possa essere dal piano AdBk alla curva AfBi, e dato che questa differenza di ordinate del cerchio a quelle dell’ellisse, allo stesso diametro AB, diminuisce continuamente, ne consegue che la profondità dell’Ellissoide diminuisce di pari passo da S a B, punto in cui questa raggiunge il cerchio della sfera AeBl.
DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 3
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte MATERIA E GEOMETRIA CARMELA CRESCENZI
COROLLARIO III
Per trovare questa profondità sull’asse curvo dell’Ellissoide, che è nel piano dell’asse portante AB, non resta che descrivere le sezioni che sono i piani passanti per le ordinate parallelamente all’asse del cilindro, che sono cerchi della sfera, di cui i centri sono tutti sulla linea
DE, perpendicolare all’asse Xx del cilindro per il centro C, e di cui le
linee CS e WS ne esprimeranno i raggi; per avere le distanze dei lati del cilindro, al piano passante per il suo asse e per AB bisogna prendere a parte (Fig. 34) l’ellisse aebE, sugli assi dati, vale a dire ab uguale a AB della Fig. 33 e Ee uguale al diametro Kl della base del cilindro scaleno, nella quale si inscriverà il cerchio adbD, che sarà uguale a quello della sezione della sfera per AB della Fig. 33.Fatta questa premessa si tirerà a parte una linea Cs (Fig. 36),prendendo questa uguale a Cs della Fig.
33.Per raggio si disegnerà un arco indefinito sf, in seguito portando la
distanza Sg della Fig. 33 in sg della Fig. 36, si alzerà su questo punto una perpendicolare gd, sulla quale prendendo ge uguale a Cs della Fig.
33 si avrà il punto e, dove la sezione piana taglia la sfera; ma dato che
questo punto è dentro al cilindro, bisogna portare al di fuori la distanza
De della Fig. 34 che è la differenza tra il mezzo diametro del cerchio e
l’asse dell’ellisse.
Se attraverso il punto d si tracciasse una parallela a Cs, essa taglierebbe l’arco fs al punto f, che sarà comune al lato del cilindro df, e al cerchio della sfera sef; e di conseguenza alla circonferenza dell’Ellissoide, di cui la linea df sarà la profondità di questa curva, in mezzo al suo asse retto, la quale distanza sarà uguale a quella dell’asse curvo all’asse portante, di cui l’uno passerebbe per g e l’altro per h; dato che le ordinate dg
Fig. 34
Non sarà difficile trovare questa profondità per tutti gli altri punti dell’asse curvo;dato che se si portasse la distanza CW della Fig. 33 in Cy della Fig.
35, si avrebbe la distanza dei piani che passano per MN e OQ della Fig. 33 e se si tracciasse una parallela a eE, Fig. 34, si avrebbero le ordinate Yu dell’ellisse , e Yx del cerchio,e in Ws, Fig. 33, il raggio del cerchio
della sfera, con il quale, facendo l’arco sT (Fig. 35) e la freccia ys uguale a ys della Fig. 33, si traccerebbe per il punto y la perpendicolare yu, che sarebbe uguale a Yu della Fig. 34.
Fig. 36 Fig. 35
Fig. 34. Di sopra è riportata la sezione orizzontale della fig. 33 che mostra le curve e i