Anche se la spirale non sia una sezione di questi corpi regolari, che fanno il principale oggetto della nostra stereotomia; rappresenta una sezione di quello che la natura produce, e che l’architettura imita in diversi casi, così sono le conchiglie e le corna degli animali : per questa ragione abbiamo creduto di dovergli dare spazio nella descrizione delle curve usuali, per la costruzione e la decorazione degli edifici.
Non esistono curve nella geometria che possono essere soggette a delle variazioni come la spirale; M. Varignon in una memoria custodita presso l’accademia delle scienze ne ha fatto vedere diverse generazioni, che possono essere spinte all’infinito, noi che ne vogliamo solo la pratica,
Problema XVII
Tracciare la spirale la più semplice e la più uniforme, che chiamiamo la spirale d’Archimede (Plan. 12).
Dal centro C, (Fig. 136) e dell’intervallo CA come raggio preso ad arbitrio per quello di una rivoluzione intera della spirale; descriviamo un cerchio A 3, 6, 9 A, dividiamo la circonferenza in tanti parti quanto ne vogliamo avere come punti sul contorno della spirale: la dividiamo comodamente in 12, come in questa figura, portando sei volte il raggio sulla circonferenza del cerchio, non ne abbiamo che a dividere in due ogni sesto, e tirare i diametri A 6, 9, 3 e C. Possiamo moltiplicare questa divisione tante volte quante ne vogliamo, per avere la curva più esatta. Poi dividiamo il raggio CA in tanti parti quante ne abbiamo diviso la circonferenza, per trovare con il loro mezzo su ogni posizione del raggio AC, la lunghezza del raggio della curva, che parte dal punto A si avvicina al suo centro C, oppure se lo vogliamo considerare in altra maniera, partendo dal centro C si allontana continuamente, girando intorno a
Fig. 136 Spirale d’Archimede.
Dal centro C, e come raggio l’intervallo C1, parte di CA, descriviamo l’arco 1°, che taglia il raggio Ca1, della prima divisione della circonferenza A1, nel il punto a sul contorno della spirale, di seguito dallo stesso centro e di un intervallo più piccolo di una divisione C2, descriviamo tra i raggi Ca1, Cb2, l’arco 2b, che darà il punto b sul raggio Cb2. Proseguiremo con la stessa maniera per trovare gli altri punti c,d,e,f,g,h ecc. Diminuendo il raggio di una dodicesima parte, fino a percorrere tutta la circonferenza A3 6 9 A, e allora otterremo una rivoluzione intera della spirale, che ritorna sul raggio AC, da dove è partita.
Il cerchio che racchiude la prima rivoluzione si chiama cerchio circoscritto, e quello che si trova all’interno o all’esterno del punto A si chiama “cerchio di rivoluzione”, e gli archi 1°, 2b, 3c, archi di rivoluzione.
COROLLARIO I
Segue per questa generazione che le parti del raggio AC, sono essenzialmente proporzionali agli archi di rivoluzione oppure che è la stessa cosa, a quelli del cerchio circoscritto, in maniera che se il raggio percorrendo la 24° o 36° partizione, questo raggio si accorcerà o si allungherà per ogni arco di rivoluzione di una 24° o 36° partizione,
C C T PL 12 A F
COROLLARIO II
Segue ancora che quando vogliamo avere più di una rivoluzione, per esempio, una e mezzo, o due e un quarto, dobbiamo dividere il raggio AC, che supponiamo sempre preso a volontà, in un numero di partizioni conveniente a questo disegno, per esempio per una e mezzo, nella supposizione della divisione del cerchio in dodici, dividiamo il raggio in diciotto partizioni, e per due e un quarto in ventisette, e allora avremo più di un punto della spirale su ogni raggio del cerchio di rivoluzione, tracceremo infine da un punto all’altro , una curva a mano, o per mezzo di una curvilinea, e avremo la spirale che desideriamo, se la vogliamo regolare, ma siccome qualche volta desideriamo allungare o accorciare il contorno, seguendo i diversi effetti che ci proponiamo, diremo come si può variarlo.
COROLLARIO III
Se dopo aver tracciato una spirale come in A c f i C, dalla parte destra, tracciamo la stessa linea dalla parte sinistra, come la A k f l C , che incrocia la precedente in f, partendo dallo stesso origine A, e arrivando allo stesso centro C; si formerà una figura con il centro a forma di cuore, che può servire agli ornamenti delle griglie di ferro, e altre opere della stessa natura, che erano fortemente di moda nelle finestre dell’architettura gotica.
Problema XVIII
Allungare o accorciare il contorno della spirale.
Possiamo risolvere questo problema in un infinità di modi, perché possiamo fare i raggi degli archi di rivoluzione nel rapporto delle ordinate di tali ascisse della curva che vorremo scegliere, e gli archi di rivoluzione nel rapporto di loro ordinate, ciò rende questo problema molto generico. Possiamo ancora, senza variare gli archi di rivoluzione farli tutti di ugual numero di gradi, e variare soltanto i raggi di questi archi nella maniera che desideriamo, come nel caso delle tangenti oppure delle secanti, o delle potenze, come le radici , i quadrati, i cubi, ecc. gli architetti si servono del rapporto delle tangenti: ne vogliamo dare un esempio,dove possiamo aumentare l’inegualità delle divisioni elevando il raggio a dividere AC (Fig. 137) al di sopra del punto P, dove è l’angolo retto del seno totale
Sia quindi il raggio dato AC, per il più grande della spirale (Fig. 137,138) per il quale vogliamo che il contorno si riferisce più che la spirale regolare, a misura che la spirale si avvicina dal centro C, e al quale vogliamo fare due rivoluzioni: trasportando questo raggio in aC, (Fig. 138). e avendo preso ad arbitrio il punto R, in maniera che avendo tracciato a questo punto una linea CR, forma con aC, un angolo aCR, tiriamo aR, e dal punto R come centro e come raggio RC; tracciamo l’arco CD che taglia DR in D; dividiamo questo arco in ventiquattro parti per due rivoluzioni, e per ogni divisione, e per il centro R, tiriamo delle linee fino aC, che darà ventiquattro divisioni non uguali, diminuendo verso il punto C, portiamo questi divisioni sul raggio AC, (Fig. 137) dove le marcheremo con delle cifre, per evitare confusioni, e operiamo su questo raggio nella stessa maniera del problema precedente, questo darà una spirale, come la vediamo alla figura 137.
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOSECONDO PL 12
MATERIA E GEOMETRIA
COROLLARIO
A questo punto tiriamo la maniera di fare una spirale in un altra, come nelle volute dei capitelli delle colonne di qualche ordine di architettura; in maniera che si rifaccia più o meno al desiderio dell’architetto; partendo se lo vogliamo da uno stesso punto D, arriveremo allo stesso centro C per diversi cammini, quindi la spirale D i k l m n C si avvicina più dell’insieme A 3 6 9 12 C che la spirale D E F G H C, anche se l’una o l’altra partono dallo stesso punto D, e arrivano allo stesso centro C. Sia (Fig. 139) la lignea A 12, uguale alla distanza data della prima rivoluzione alla seconda, e in questo intervallo un punto D ad arbitrio preso per il tracciamento della spirale interna, che piazzeremo anche sul raggio AC della (Fig. 137). Facciamo 12 S perpendicolare e uguale a 12A, poi tiriamo SD e SA: su 12 S, porteremo gli intervalli della prima spirale presa sui raggi tirati dal centro C: C2, C4, C6 ecc. Per esempio 15, 3 di S in 3 alla (Fig. 139). 18, 6 di S in 6, e cosi via; e per i punti 3,6,9,&C. Avendo tracciato delle parallele a A 12 che secano SD nei punti e f g h, avremo le lunghezze e3, f6, g9, h12 che daranno sugli stessi raggi dei cerchi di rivoluzione A 6 12 18 A i punti E, F, G, H, delle diminuzioni dei raggi per la spirale interna. Dove serve elevando o abbassando il punto D, cambiamo il contorno della spirale: se al posto della retta SD, facciamo un arco di cerchio s c D o S b D, avremo una spirale che sarebbe cominciata e finita allo stesso punto come la precedente, ma che non segue la distanza proporzionale triangolare.
Possiamo non solo cambiare le lunghezze dei raggi, ma ancora il rapporto degli archi di rivoluzione; il che può fornire il mezzo per fare un infinità di spirali, sempre diverse; perché possiamo fare questo rapporto uguale a quello delle ordinate di una curva qualsiasi geometrica oppure meccanica, come l’avrebbe immaginata M. Varignon, che ci ha aperto la strada a delle infinite variazioni della spirale, voglio dare un esempio di quelle che chiama “Paraboliche verticalcentrali”, che vuol dire, che hanno il loro vertice al centro della spirale, scegliendo la più semplice, quella che tiriamo dal cerchio; e possiamo applicare all’ellisse, alle altre sezioni
Fig. 138 Allungare o accorciare il contorno della spirale.
Spirale, Circolare o Ellittica o Parabolica, ecc.
Sia (Fig. 140) la linea AX presa come l’asse di una spirale, avendo la curva generatrice un quarto del cerchio CLR: sia AC, il raggio maggiore della spirale, e il punto C come centro, la linea AC sarà presa come l’asse della curva che scegliamo come Generatrice, in questo caso è un cerchio, del quale sarà il raggio, e il punto A il centro: l’asse della spirale AX, il suo centro C, e la curva Generatrice C 6 R essendo data, ci determineremo il numero di rivoluzioni, che vogliamo che faccia, e prenderemo una linea costante S T, che sia contenuta nella più grande ordinata R A della curva Generatrice R L C, tante volte quante ne vogliamo di rivoluzioni complete o incomplete: la prenderemo in questo esempio contenuta due volte e mezzo in R A, per avere due giri & mezzo della spirale; di seguito bisogna fare sempre questa analogia.
C C T PL 12 A F
Come la linea costante S T,
é all’ordinata variabile della curva Generatrice. Di seguito il cerchio di rivoluzione 12,g¹, 6, 3,
Sarà rispetto all’arco di rivoluzione, al primo giro, oppure al cerchio di rivoluzione, più a un arco della seconda rivoluzione data.
All’arco di rivoluzione cercato;
Se la curva Generatrice è un Ellisse, una Parabola, oppure una iperbole,
Per risparmiare il calcolo di questa analogia; divideremo la linea data S T in parti uguali, per servirsi di una scala proprio per associare il rapporto di questa costante con le ordinate del cerchio tirato con i punti dell’asse AC, che saranno presi per la terna dei raggi degli archi di rivoluzione, come C1a, C2a, C3a, C4a, &c. quali terne, saranno anche quelle delle ascisse di questo asse AX; supponendo, in questo esempio, la linea S T divisa in 12. e il cerchio di rivoluzione 12, g¹, 6, 3, anche in 12, oppure in 360 gradi, dei quali 30 rispondono a una divisione di S T; divideremo l’ordinata AR in 30 parti uguali per due rivoluzioni e mezzo, e per questi divisioni b c d e F, ecc. manderemo delle perpendicolari all’asse AC, che lo taglieranno nei punti 1a, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, di seguito per ognuno di questi punti, e dal punto C come centro; descriveremo degli archi di rivoluzione proporzionali alla parte della costante S T, per esempio, per la prima, l’arco 1°, 1r di 30 gradi; 2°, 2r, di 60 gradi; 3°, 3r, di 90 gradi; 4°, 4r, di 120 gradi, e cosi via: quello che si fa facilmente dividendo il cerchi in 12 e aumentando di un dodicesimo della sua circonferenza all’intersezione con il raggio, al quale deve terminare; come lo vediamo nella figura nei punti 1r, 2r, 3r, 4r, 5r, &c. Per tutti questi punti trovati, tracceremo una curva a mano, oppure con una curvilinea, e otterremo una spirale, come si è proposto per il numero delle rivoluzioni: daremo anche il mezzo per fissare gli intervalli delle rivoluzioni, come lo giudicheremo a proposito.
Faremo osservare che possiamo trovare i raggi degli archi di rivoluzione in un’altra maniera; trasportando le divisioni della linea S T su C r, perpendicolare a C A, per esempio in 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, da dove tirando delle parallele a C A, che taglieranno la curva Generatrice nei punti f g h i k l m; avremo delle lunghezze 6f, 7g, 8h, 9i, 10k, 11l, 12m, che saranno quelli delle ascisse, che dovremo prendere come raggi degli archi della
Fig. 140 Spirale circolare o ellittica o parabolica.
COROLLARIO I
Da dove lo tiriamo il modo per fissare la prima rivoluzione della spirale, a tale distanza che vogliamo dal centro C, sull’asse A C: perché se lo vogliamo, per esempio, che comincia in B, manderemo per questo punto B la linea B L perpendicolare all’asse A C, finché incontra la curva soltanto in parte; c u sarà uguale a C V, 9ºs
²
, a C S e C D a 6º d²
, ecc. e senza prendere l’impegno di fare degli archi di rivoluzione; si tratta di portare queste partizioni sui raggi che le corrispondono, che vuol dire, i corrispondenti al numero delle divisioni della costante, più o meno una, o più rivoluzioni, come L 3r su C A, l3 su C11r, K10 su C 10r, i9 su C 9r, H8 su C 8r, ecc.1. Nel testo originale è scritto 9. 2. Nel testo originale è scritto 90s, 60d.
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MATERIA E GEOMETRIA
taglierà l’ordinata R A nel punto S, la distanza S R sarà la lunghezza della linea costante che qui è uguale a S T, la quale ha sempre un certo rapporto con la circonferenza del cerchio di rivoluzione 12, 3, 6, g; ma questo punto B essendo una volta determinato, non dobbiamo modificare le altre rivoluzioni; si trovano regolati dal rapporto delle partizioni della
COROLLARIO II
L’inverso del corollario precedente è chiaro alla sola ispezione della Figura (Fig. 140); perché se vogliamo sapere a che punto dell’asse A C si concluderà la prima rivoluzione; dobbiamo tirare dal punto S, estremità della costante S T, posare da R in S, una lignea S L parallela all’asse, finché taglia la curva generatrice in L, e per questo punto L, mandare la perpendicolare L B allo stesso asse, la quale darà il punto B che cerchiamo: se la linea S T è contenuta più volte in A C, troveremo con
l’iperbole al di fuori di questo asse in H; inizio la mia spirale nel punto 1r; allontanata dall’asse A X di una dodicesima partizione della rivoluzione A 1 r del punto 2. dove la seconda divisione della costante C G, da il punto 2. faccio un arco 2, 2r di due dodicesimi della rivoluzione, che mi da il punto 2r, & del seguito, come nelle spirali paraboliche, verticocentrali; ma alla fine perché l’iperbole H Y P, non tocca mai il suoasintoto C G, questa spirale non sarà che intorno al centro C, al quale si avvicina sempre per ogni rivoluzione, senza poterne mai arrivare.
Non mi fermerò alle differenze di posizioni delle curve Generatrici, che incrocia l’asse della spirale, una da una parte, l’altra dall’altra di questo asse, le quali sono uguali e tracciato nel senso opposto, come l’abbiamo
detto sulla spirale d’Archimede (Fig. 136) se le due parti della curva Generatrice sono uguali; ma se non sono uguali, è chiaro che la Figura di cuore che ne risulta diventa irregolare; una parte essendo più o meno gonfiata dell’altra; il quale non è di nessun impiego per gli ornamenti di Architettura: è per questo che passo sulle infinite varietà che ne possono risultare; gli esempi che vengo a dare, essendo sufficienti per esercitare gli architetti e gli artisti che hanno degli ornamenti a tracciare in piacevoli
COROLLARIO III
Segue naturalmente a questa costruzione: 1. che se al posto del cerchio, avessimo preso un quarto d’ellisse come curva Generatrice, e che avessimo messo al posto di R A, la metà del suo maggior o minore asse; avremmo allungato o accorciato la spirale: 2. più volte la linea S T sarà contenuta in A R, più la spirale sarà arrotondata, e al contrario; dove vediamo che questa costruzione, indipendentemente del cambiamento che proviene dalla curva Generatrice, che possiamo scegliere, da una grande facilità di accontentarsi sul suo contorno più o meno raddoppiato: al posto di posare il vertice della curva Generatrice al centro della spirale; la possiamo mettere in una situazione diversa; ma allora la spirale che risulterà, non sarà del numero di quella che chiamiamo Verticocentrale, del quale parliamo: do un esempio di un’altra specie che M. Varignon chiama Concentrali.
Sia (Fig. 141) la curva H Y P, un iperbole equilatera, di cui A C e C 24 sono gli asintoti, i quali formano un angolo retto in C, dove piazzo il centro della spirale; e per conseguenza quello del cerchio di rivoluzione D E F G, che faccio di una apertura di compasso presa ad arbitrio, e ne divido la circonferenza in tale numero di partizioni quanti ne voglio avere dei punti della spirale a ogni rivoluzione, per esempio in dodici; di seguito avendo preso a volontà una linea costante, per esempio C G, la divido anche in dodici partizioni uguali, che vuol dire, in un stesso numero della circonferenza del cerchio di rivoluzione, & per ognuna di questi partizioni, mando delle parallele ad uno degli asintoti A C, che prendo
C C T PL 12 A F
Avvertirò soltanto; 1. se la curva Generatrice si ferma dalla parte dell’asse della spirale, come se prendiamo un semi cerchio, o un semi ellisse, al posto del loro quarto; la spirale non continuerà a girare dello stesso senso, dopo la più grande ordinata; ma ritornerebbe in qualche maniera sulle sue tracce, avendo la sua concavità girata dalla stessa parte.
2. Se prendiamo come curva Generatrice, una iperbole equilatera, concentrica, vale a dire, abbia lo stesso centro della spirale; quella che ne sarà generata, non avrà né un inizio né una fine, vale a dire, che comincerà a una distanza infinita dal suo centro, e non arriverà mai a questo centro; e comunque dandole un inizio, taglierà il suo asse dopo la prima rivoluzione; quello che è una proprietà degli asintoti, che si avvicina all’infinito dall’iperbole, senza poterne arrivare, come veniamo di dire.
3. Se prendiamo come curva Generatrice una curva logaritmica, al posto dell’iperbole, la spirale che ne sarà generata, avrà un inizio, & non avrà fine, oppure se ne ha una fine, non avrà un punto di inizio; a seconda che mettiamo il suo asintoto sull’asse, o perpendicolarmente all’asse della spirale.
Possiamo fare la stessa cosa per mezzo dell’iperbole, mettendo il centro della spirale non al centro dell’iperbole; ma su uno dei suoi asintoti a qualche distanza da questo centro; il quale fornisce un mezzo molto comodo per tracciare un infinità di volute, che possiamo fare arrivare da un punto lontano dal centro e dall’asse, e farele terminare al centro con un occhio circolare, come fanno gli architetti alle volute ioniche; perché possiamo salvare più delicatamente la nocca che si forma alla giunzione della spirale e di questo occhio, se è della natura di quelle che girano intorno al loro centro, senza arrivarci; per la stessa ragione, facciamo più perfettamente la giunzione del ramo destro del limone, con la voluta
Possiamo ancora cambiare ogni sorta di spirale allargandole, oppure ristringendole nella maniera che desideriamo, per il mezzo della riduzione dei quadrati cambiati in parallelogrammi, e anche in trapezi; se vogliamo stringerla da una parte più dell’altra, supponendo per esempio che seguendo un disegno che mi propongo; trovo la spirale A L B V C molto aperta sul suo diametro 2r C 8; non si ha da fare altro che dei parallelogrammi ristretti secondo questa condizione, come lo vediamo alla (Fig. 142) tracciare sull’originale dei quadrati dallo stesso numero, quello che non abbiamo fatto qui per evitare la confusione; perché tutti i disegnatori sappiano ridurre il quadrato dal piccolo al grande, e che non ci sia qui altri differenze, che quella della figura dei quadrati, che lo sono
dissimile, ma comunque proporzionale in un senso.