DI UNA SFERA E DI UN CILINDRO, LA CUI
CIRCONFERENZA ENTRI SOLO IN PARTE NELLA
SFERA.
Questo problema si rifarà come tutti i precedenti al nostro metodo generale, tracciando delle perpendicolari all’asse del cilindro ( fig.202 ) che attraversano anche la sfera, per le quali si suppone altrettanti piani paralleli tra loro, e perpendicolari al piano passante per l’asse del cilindro, e il centro della sfera, le cui sezioni faranno dei cerchi nell’uno e nell’altro di questi corpi.
Sia dunque la sfera APKp 2 compenetrata dal cilindro DEGF il cui asse
è XX per il quale, e per il centro C della sfera, questi due corpi sono tagliati da uno stesso piano: si condurrà per il centro C un diametro PC parallelo a quest’asse, e avendo condotto a queste due linee tante perpendicolari quante se ne vogliono a1, b2, d3, e4, ecc. dai punti a, b, d, e, ecc. per centri e per raggi ah, bi, dk, ecc. si descriveranno altrettanti archi di cerchio ( i quarti sono sufficienti ) e dai punti o, p, q, r, ecc. presi sull’asse del cilindro per centri, e per raggi i semi diametri della base o1, p2; si tracceranno tanti altri archi di cerchio sino a che non incontreranno quelli fatti precedentemente nella sfera sugli stessi diametri prolungati. I punti delle loro intersezioni x e x saranno comuni alle due superfici, e se da questi punti si abbassano le perpendicolari agli stessi diametri, si avranno le loro proiezioni sul piano passante per l’asse del cilindro e il centro della sfera, sul quale daranno altrettanti punti dell’asse curvo della sezione Pyyyp.3
Fatta questa preparazione, ce ne serviremo per tracciare l’Ellipsimbre composto, come abbiamo fatto per gli Ellipsimbres semplici, tracciando altrettanti cerchi sulla sfera e sul cilindro, cominciando a misurare gli archi hx, ix, kx 4, da un cerchio maggiore, in cui ci saranno i due Poli
P e p di tutti questi archi; e sul cilindro per tracciare un lato EG o DF, da dove si misureranno a destra e a sinistra gli archi 1x, 2x, 3x, 4x, o le loro differenze, come converrà meglio, perché è sempre più comodo prendere e portare le misure di archi che sono sotto i 90 gradi, che quelli che sono più grandi, a causa della rotondità del cilindro.
La dimostrazione di questo problema è troppo simile a quelle dei precedenti per fermarvisi; ogni arco di cerchio che abbiamo fatto qui, sul foglio di carta, che è quello che passa per l’asse del cilindro, e il centro della sfera, può essere tirato su ad angolo retto su questo piano sulle linee che ne sono i diametri o i raggi, senza che porti alcun cambiamento alla loro intersezione x, e alla loro proiezione y, che è nello stesso piano, e in quello dell’arco.
L’ USO di questo problema è stato anche indicato al Teorema XI, è inutile ripeterne la spiegazione.
1 Ellipsis Imbricata: curva che si ottiene dall’intersezione di due solidi di
rotazione,definita nella Planche 3, primo tomo,corollario V.
2 Nel testo ABkbA.
3 Tutte le costruzioni della planche 18 si devono considerare come sezioni
orizzontali dei solidi, successivamente ribaltate per individuare i punti che
definiscono le curve d’intersezione, e tali punti infine riportati con rette di richiamo ai piani orizzontali.
Fig. 202 Ellipsimbre formato dalla compenetrazione parziale di un cilindro con una sfera.
Problema XLIV
TRACCIARE UN ELLIPSIMBRE COMPOSTO,
FORMATO DALLA COMPENETRAZIONE DI
DUE CILINDRI, DI CUI LA CIRCONFERENZA
DELL’UNO ENTRI SOLO IN PARTE NELL’ALTRA.
Ci sono due casi in questo problema, che non cambiano assolutamente la costruzione; sia che i cilindri si taglino ad angolo retto, od obliquamente, in qualsiasi modo s’intersechino, bisogna sempre supporre che siano tagliati da dei piani tangenti a ciascuno dei cilindri che li tagliano reciprocamente, e perpendicolarmente ai piani passanti per ciascuno dei loro assi; di modo che se i cilindri s’intersecano ad angolo retto, le
C C T PL 18 A F
sezioni di questi piani tangenti ad uno dei cilindri saranno dei cerchi, e se si attraversano obliquamente, le sezioni fatte dagli stessi piani saranno degli ellissi nell’uno e nell’altro cilindro; supposto questo, scegliamo nella figura 203 il caso in cui sono perpendicolari per maggior facilità. Sia il cilindro YLNI visto dalla base rappresentata dal cerchio AEaB, il quale è compenetrato da un altro cilindro dAaD, che non s’interseca col primo con tutta la circonferenza; di modo che resti una parte FB del suo diametro fuori, la quale corrisponde al doppio dell’arco Dg della base Dha 5, estesa qui per supposizione sul piano del parallelogramma DA
passante per il suo asse ll.
Avendo tracciato un diametro Aa sulla base del primo cilindro BAEa, il quale si confonde qui con il lato del secondo, sia che possa passare tra C e B, o tra C ed E; si traccerà su una delle estremità di questo diametro la perpendicolare dA, o aD che rappresenterà il piano tangente al grande cilindro, e il diametro della base del piccolo, sul quale si traccerà il semi cerchio Dma che rappresenterà la metà di questa base, la quale deve essere però ad angolo retto sul piano del parallelogramma dAaD, ma il cui cambiamento di situazione non ne fa alcuno alle intersezioni delle linee che se ne devono tirare.
Si dividerà poi una delle due basi dei cilindri, in parti uguali o disuguali; divideremo, per esempio qui, l’arco del semi cerchio aBA, o soltanto il quarto di cerchio BA in parti uguali o disuguali Br, rq, qp, pn, nA, e per questi punti n, p, q, r, si tracceranno le parallele all’asse ll del cilindro DA prolungate fino all’arco della base dmA, o Dma, che esse intersecano nei punti h, k, m, o5.
Fatta questa preparazione, se si vuole tracciare l’Ellipsimbre sul grande cilindro YN, si comincerà a fare alla sua superficie un cerchio parallelo alla base, dove si vuole, se i cilindri sono tagliati ad angolo retto, o un ellisse, seguendo l’obliquità della direzione dei lati del secondo cilindro che lo compenetra. Si trasporteranno su questo cerchio le divisioni Br, Bq, Bp, Bn, in bR, bQ, bP, bN da una parte e dall’altra del punto b, che è stato preso a piacere dalla superficie del cilindro, se la sezione è un cerchio, o un punto corrispondente al punto B, se è un ellisse; e per i punti b, R, Q, P, N si condurranno altrettante parallele all’asse del grande cilindro; poi dopo aver tracciato un cerchio per il centro della sezione, se non si era fatto subito, si porteranno su queste parallele all’asse tutte le ordinate della base del cilindro piccolo da parte a parte del cerchio preso per la metà, come qui aA6 seguendo l’ordine della loro posizione
nei confronti del punto B sulla metà della divisione; cosi si porterà l’ordinata cf proveniente dal punto B in cf sul cilindro grande da una parte e dall’altra del punto c, gh quattro volte in gh, sulle due parallele Rh, Rh; nello stesso modo si continuerà portando iK due volte su ogni
parallela QK da una parte e dall’altra dei punti i ed i, e cosi di seguito; e si avranno i punti o, m, K, presoh, f, h, K, ecc. per i quali si traccerà a mano l’Ellipsimbre richiesta.
Se si vuole tracciare la stessa curva sul cilindro DA; si traccerà un cerchio sulla superficie per un punto preso a piacere, o un ellisse, se i due cilindri si tagliano obliquamente, si dividerà la circonferenza di questo cerchio in parti uguali a quelle della base dmA, in alto alla figura, portando subito gli archi df, fh, hK, Km, mo, e ricominciando nell’altro semi cerchio; e per tutti questi punti di divisione avendo tracciato altrettante parallele all’asse del cilindro, si porterà da una parte e dall’altra del cerchio preso per la metà le lunghezze delle semi corde 1r, 2q, 3p, 4n, che daranno i punti r, q, p, n, per i quali si traccerà la curva che è l’ellisse richiesta, la quale sarà uguale alla precedente, sebbene su un cilindro diverso.
DIMOSTRAZIONE
Per dimostrare questo problema, è sufficiente rappresentare i diversi effetti delle sezioni dei piani che tagliano a pezzi i due cilindri, seguendo il nostro principio generale; perché se ci immaginiamo i due cilindri tagliati da dei piani paralleli tra di loro, e ad uno dei due assi, è evidente che essi formeranno dei parallelogrammi in quello in cui i pezzi sono paralleli al suo asse, e dei cerchi nell’altro, se i cilindri si compenetrano ad angolo retto, o degli ellissi uguali se si tagliano obliquamente; ma come si può supporre le sezioni dei piani successivamente paralleli ai due assi, si avranno dei parallelogrammi e dei cerchi in ciascun cilindro che daranno con mezzi diversi gli stessi punti della curva, ciò che abbiamo fatto in questa costruzione per abbreviare; perché si poteva ugualmente dividere il secondo cilindro DA in cerchi paralleli a dA, e prendere su ciascuno, a cominciare dal lato dD, gli archi corrispondenti a ciascuno di questi cerchi, raccolti sulla base dmA, cioè , che al cerchio di mezzo passante per F e B, si sarebbe portato due volte l’arco df, poi alle due collaterali due volte l’arco dh, e così di seguito; ma visto che l’uso delle
5 Nel testo Dga. 6 Nel testo gKmo. 7 Nel testo aa.
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOPRIMO PL 18
MATERIA E GEOMETRIA
linee rette è più comodo e più esatto nell’esecuzione, che quello delle curve tracciate su delle superfici curve, si è scelto le une preferibilmente alle altre, poiché l’una e l’altra maniera devono dare ugualmente i punti di contorno dell’ellisse, che bisognava trovare.
USO
Abbiamo fatto sottolineare nel Teorema XXI che l’uso di questa curva era abbastanza frequente nei centri delle volte, perché la maggior parte sono cilindriche, e che spesso una volta è forata solo da una porzione di cilindro, come accade alle tramogge 8 e alle rampe di cantina.