CUI PUNTI D’ATTACCO DEI DUE ESTREMI SONO
DATI, TROVARE QUELLI DELLA MEDIA, E LE LINEE
NECESSARIE PER DESCRIVERE TALE CURVA.
Siano i piedritti AR, BP (Fig. 147, 148, 150, 151), la linea di Rampa
RP, la linea di sommità SO: in primo luogo, se i piedritti AR, BP sono
paralleli tra loro, come anche le linee di Rampa RP, e di sommità SO; è chiaro che il punto di attacco di queste ultime è dato nel mezzo di SO nel punto T; poiché in questo caso la sezione che soddisfa il Problema è una Ellisse, come abbiamo detto dinanzi, e che la linea Tt che passerà per la metà di RP, farà un diametro congiunto alla linea di Rampa, dove sarà il centro C; poiché essendo BP e SO delle tangenti, le linee che sono a loro parallele, e che passano per il centro C sono i diametri coniugati; ciò non comporta nessuna difficoltà.
Fig.147 Sezione conica che rappresenta la centina dell’arco, dati i piedritti paralleli e le
C C A F T PL 13
In tutti gli altri casi in cui le linee di Rampa e di sommità non sono parallele; sia che i piedritti siano paralleli tra loro, sia che non lo siano; si troverà il punto T, dove la curva deve toccare la linea di sommità, come di seguito descritto.
Abbiamo prolungato le linee RP e SO date fino a dove quelle si incontrano in Y per il punto S, si traccerà una parallela DE a OR che, se i piedritti non sono paralleli, come nelle Figure 150 e 151, taglierà RY in D, e sarà un piedritto prolungato, se invece sono paralleli come nella Figura
148; in seguito avendo riportato DS in SE, in Figura 148, PS in SE; si
traccerà ER che taglia SO nel punto T, dove si farà il punto d’attacco che si cerca.
Avendo determinato questo punto:
1°.(Fig. 150-A) Sarà facile descrivere la sezione conica che deve toccare le tre linee AO, OS, SB nei punti RTP attraverso il problema XIV.
2°. (Fig. 150-B) La si potrà anche descrivere attraverso il problema XIII. Perché abbiamo cinque punti dati; se essa è un’Ellisse o un’Iperbole, il cui centro sia l’estensione del piano dove la si vuole descrivere; poiché tracciando le parallele a SO per i punti dati alla circonferenza P e R che tagliano il diametro Tt in V e u: se si pone Vp=PV, ur=uR, qC=Cu, e si traccia per q una parallela a SO, sulla quale si prende qn, qN=uR, ur e
Ct=CT, si avranno già otto punti dell’ellisse.
Fig.148 Sezione conica che rappresenta la centina dell’arco, dati i piedritti paralleli e le linee di Rampa e di Sommità non parallele.
Fig.150 Sezione conica che rappresenta la centina dell’arco, dati i piedritti non paralleli e le linee di Rampa e di Sommità non parallele.
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3°. (Fig. 150-C) Supponendo che il centro si trova al di fuori della superficie, sulla quale la si vuole descrivere; si potranno trovare tanti punti quanti se ne vorrà attraverso il problema XV, perché si hanno due tangenti, e la posizione di due diametri Sm e OM, che passano per i punti
S, m, O, M, supponendo PT e TR divisi in due parti uguali in m e M.
Fig.151 Sezione conica che rappresenta la centina dell’arco, dati i piedritti non paralleli e le linee di Rampa e di Sommità non parallele.
C C A F T PL 13
4°. (Fig. 150-D)Si può in questo modo trovare i diametri coniugati; dal momento che Tt è dato, facendo Ct=CT, deve passare per il punto
C trovato, come nel problema XV e parallelamente a SO, non occorre
altro
che trovare la lunghezza da una parte e dall’altra del punto C; ciò lo si può fare anche attraverso il problema IV poiché si ottengono due ordinate al diametro tT, come Ru e ru1, o con un altro metodo di seguito riportato.
Avendo tracciato dal centro C una linea FG parallela a SO; si traccerà anche RK parallela a Tt; poi si cercherà la media proporzionale tra CK e
CG, la quale determinerà Cz per la metà del diametro congiunto a Tt (rif.
art. 46) che dice che le linee tracciate dal centro alla tangente, e interrotte
1 Nel testo originale era scritto Pu.
da una ordinata, sono divise in modo proporzionale CK:Cz= Cz:CG.
Dimostrazione
Abbiamo detto prima sulle sezioni coniche Art. 48, che le tangenti ad una sezione conica che si incontrano, e che sono terminate da altre linee tracciate dai due punti d’attacco, si tracciano per ragioni armoniche; ciò che abbiamo detto essere stato dimostrato nel corso di queste sezioni: ora che la tangente OY è delimitata dalla linea RP prolungata, che passa per i due punti d’attacco R e P, e per le tangenti RO e PS, che passano esattamente per questi punti R e P; perciò da tre punti della divisione armonica si ricavano O, S e Y, rimane solo da dimostrare che il quarto punto T è stato correttamente determinato.
A causa dei triangoli simili YOR, YSD, si avrà YO:OS=YS:SD=SE, e a causa dei triangoli simili ORT, SET, si avrà OR:SE=OT:ST; perciò per ragioni di uguaglianza YO:OS=OT:ST, cioè quello che occorreva dimostrare.
Fig.150-C. Fig.150-B.
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Fig.150-D.
Nota
Queste proposte racchiudono quindici problemi che M. Blondel ha dato per trovare le curve delle sezioni coniche, che possono adattarsi a tutti i tipi di piedritti e tutte le linee di sommità in ogni possibile posizione per formare un Arco Rampante; così riassume molto questa materia.
Fig. 149
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CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOPRIMO PL 14
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