SULLA DESCRIZIONE DEL CERCHIO
PER 3 PUNTI DATI, TRACCIARE UN ARCO DI CERCHIO PASSANTE PER ALTRI PUNTI TROVAT
O CON UN MOVIMENTO CONTINUO SENZA
UTILIZZARE IL CENTRO.
Non si può senza 3 punti determinare né tracciare un arco di cerchio, poiché per 2 punti dati se ne possono far passare infiniti di diversa grandezza , ma essi possono essere dati in circostanze che offrano diversi modi di tracciarlo, poiché:
1)si danno tutti e 3 per la circonferenza;
2)o se ne danno 2 ed il terzo in ipotesi per il centro, determinando soltanto la lunghezza del raggio, senza specificarne la posizione riguardo ai punti dati.
Nel primo caso i punti possono essere dati a uguale distanza tra loro, cosa che succede spesso in architettura, dove si specificano i punti di origine, e quello di chiave per le volte, o quello del mezzo per lo stondamento dei muri; o ancora questi punti possono essere dati a diversa distanza. Tali differenti esempi possono dare la possibilità di descrivere l’arco in diversi modi.
Fig. 103 Costruzione di un arco di cerchio per 3 punti dati (estremi e punto medio).
Siano (fig. 103) A,D,B i punti dati alle estremità e al punto medio dell’arco che si deve tracciare.
Tirate le corde AB, AD, DB, puntando il compasso in A con apertura a piacere, si tracci l’arco fk che interseca le corde AD e AB rispettivamente in f ed in k; poi con la stessa apertura, puntando in B si descriverà l’arco indefinito FE con il punto F sulla corda DB; poi per A si tireranno tante linee, ad esempio 3, per trovare dei punti nell’arco tra D e B e chiameremo tali linee AX, Ax, Ay che intersecano l’arco fk nei punti g,h,i.
Le porzioni di questo arco, prese tra f e k, si riportano sull’arco FE, all’interno di F e di E.
Così fg=FG, fh=FH, fi=FI, e per il punto B ed i punti F,G,H,I si tireranno delle linee tali che BI intersechi Ay in y, BH intersechi Ah in x, e BG intersechi Ag in X.
Si farà la stessa cosa per l’altra parte dell’arco AD.
C C T PL 9 A F
Se il punto dato D non è nel punto medio come nell’esempio (fig. 104), si possono trovare più punti corrispondenti a tale punto D considerato come dentro un arco più grande o più piccolo.
Dal punto a come centro e raggio aD, si costruisca l’arco DE; dal punto
b come centro e con la stessa apertura di compasso, si costruirà l’arco ed, uguale a DE, che ci darà un quarto punto d, poi si uniranno con una
retta i punti Db, intersecando l’arco in F.
Dal punto D come centro e con uguale apertura aD si costruisca l’arco
f3=Fd che darà il punto 3. Si tracci una retta da che intersechi l’arco f3 in G; dal punto a come centro e con raggio d3, si costruisca l’arco g4=G3
che darà il punto 4; così di seguito si troveranno tanti punti con i quali si potrà tracciare l’arco Db cercato.
DIMOSTRAZIONE
Nella prima costruzione, dove gli angoli DAB e ABD sono uguali, le rette
AX, Ax e Ay formano degli angoli con la corda AB più piccoli di DAB
di ampiezza di una parte dell’arco fk che ne è la misura: ad esempio AX dell’ampiezza di fg, della quale si è aumentato l’angolo ABD, tirando il punto G all’esterno, la retta BX che incontra AX in X; quindi la somma degli angoli XAB, XBA, è uguale a quella degli angoli DAB e DBA, dove l’angolo supplementare AXB è uguale all’angolo che è la circonferenza
ADB: quindi 1 il punto X appartiene alla circonferenza dello stesso arco
di cerchio come i punti dati ADB. Stessa cosa per i punti x e y.
Nel secondo caso è chiaro che si sia costruito l’angolo bda=aDb, come pure l’angolo Dbd=bD3; ad3=da4. Quindi tutti i punti trovati appartengono allo stesso arco come quelli dati aDb, poiché gli angoli compresi in ogni segmento sono sempre uguali a quelli compresi nelle corde dei punti corrispondenti D-d, d-3, 3-4, D-5, ecc. Come volevasi dimostrare.
COROLLARIO
Dalla proprietà del cerchio appena dimostrata, si vuole arrivare ad un modo di descrivere un arco di cerchio con un movimento continuo e
senza l’uso del centro e senza conoscere la lunghezza del raggio, ma soltanto 3 punti dati.
Poiché, se si costruisce (fig. 107) con due regoli di legno GE, EI, fissati nel mezzo grazie ad un terzo FH, un angolo GEI uguale all’angolo ABD, da cui il segmento AEBD è capace, e si faccia scorrere questo strumento tra due chiodi o perni A, D, la matita nella sommità E traccia l’arco richiesto AEBD che passerà per i 3 punti dati ABD.
Bisogna precisare che ciascuna riga EG, EI deve essere lunga meno dei 2 punti A e D più lontani, affinché il vertice E sia portato in D, il segmento EG tocchi e si appoggi ancora al punto A che deve stabilire la direzione.
DIVERSAMENTE
Si può ancora tracciare l’arco richiesto con un movimento continuo con un altro metodo, ma più complicato del precedente. Due ruote AB, DE, di diametro diverso e collegate su un asse comune FC (fig. 106), sul quale la più grande AB è fissa, mentre ED è mobile, per poterla avvicinare o allontanare dalla prima se occorre e fermarla con un perno; poi puntando sull’asse verso il punto medio M si fa girare questa specie di treno zoppo, dove le ruote descrivono 2 archi di cerchio concentrici, è chiaro che i loro raggi siano tanto più lunghi dei diametri delle ruote meno diversi e più lontani tra loro; se fossero infinitamente più differenti, le loro tracce sarebbero linee dritte.
Questo metodo, inventato da Perrault, è più ingegnoso che utile; è praticamente impossibile eseguirlo con la precisione che richiede, poiché l’esperienza ci dimostra che è molto difficile far andare diritto un treno di due ruote uguali, a maggior ragione in linea curva con due diverse, sia per l’imprecisione della direzione della mano, sia per l’attrito tra l’asse ed il terreno sul quale si fa ruotare, e non si può controllare la
1 per la 21 del 3° libro di Euclide
Fig. 107 Costruzione di un arco di cerchio mediante l’uso di regoli che scorrono tra 2 perni A e D.
LA TEORIA E LA PRATICA del TAGLIO DELLE PIETRE e dei legni, per la costruzione delle volte
CARMELA CRESCENZI DI AMEDEO FREZIER TOMOPRIMO PL 9
MATERIA E GEOMETRIA
regolarità dell’arco che si va tracciando. Quale che sia l’esecuzione, se si vuole conoscere la lunghezza del raggio che la traccia della ruota grande descrive, non rimane che fare questa analogia: come la differenza Ad dei due raggi delle ruote AC, Dc sta al diametro AC della grande come la distanza Dd delle due ruote sta al raggio SC del cerchio o arco che la grande descrive, dove poi al contrario si ricava l’analogia necessaria per trovare la distanza delle due ruote, quando il raggio SC è dato, facendo
CA : CS = dA : dD, ciò è chiaro guardando la figura 106, per i triangoli
simili SCA, DdA.
Si può vedere che con due ruote di 6/7 pollici di diametro e un piccolo asse si potrebbero tracciare i centri di volte più grandi, se l’esecuzione corrisponde al principio su cui la macchina è basato, ma non se ne consiglia l’uso per le ragioni elencate.
ERRORE DEL DISEGNO DEL MAESTRO BLANCHARD
Il maestro Blanchard, nel suo trattato sul Taglio dei legni2 ha voluto
risolvere il problema con un disegno dove ha mostrato l’errore per far ricredere gli operai che non hanno le basi necessarie per scorgerlo.
Fig. 105 Individuazione di 3 punti (estremi e medio) per tracciare un arco di
cerchio.
Supponiamo (fig. 105) 3 punti dati A, B, D. Egli disegna un parallelogramma AEFB, tira le corde AD, DB che divide in un numero di parti a piacere, qui ad esempio in 4, nei punti b, c, d sui quali tira le perpendicolari bx, cy, dz. Poi, dividendo il lato AE in eguale numero di parti, traccia le linee per unirli al punto D, intersecando i precedenti punti
x, y, z che si trovano sulla circonferenza dello stesso arco di cerchio dove
si trovano i 3 punti dati A, B, D.
È facile dimostrare che si sbaglia guardando solamente il disegno della costruzione, fatta in un quarto di cerchio come in DG, poiché dà al posto del quarto di cerchio DGS una curva DYZG, che si considera all’interno: ma conviene spiegare la figura con i criteri della geometria; è stato dimostrato3 che le rette equidistanti dal centro del cerchio sono uguali
tra loro; di conseguenza le rette LX, iZ equidistanti (per costruzione) dal punto di mezzo K della corda DG (uguale al raggio CS), devono essere uguali; ma non lo sono, quindi elles ne font pas terminèes à la
circonferenze du cercle.
Per vederlo subito, si deve portare la lunghezza GM in DM e tracciare
MG che intersecherà la retta LX vicino al punto x che cade all’interno
del cerchio DSG, di conseguenza il s’en faut d’environ la moitie’ de la
longueur iz que le point z parvienne au cercle en r.
DIMOSTRAZIONE
Per dimostrarlo, sia la retta KY prolungata in H, e si portino per i punti
o ed m le parallele op, mq.
Per la similitudine fra i triangoli GHK e Gop, si avrà che Go : GH = Gp
: GK; ma Go = ¾ GH, quindi anche Gp = ¾ Gk; di conseguenza pK
è l’ottava parte di DG, e Dp 5/8; ora, a causa del triangolo rettangolo isoscele opG, la retta po sarà uguale a pG.
Per rendere la dimostrazione più chiara, si supporrà ciascuna delle 8 parti suddivisa in 10, per evidenziare meglio la differenza della lunghezza delle rette Lx e iZ.
Per la similitudine dei triangoli DLX, Dpo, si avrà che Dp(50) : po(30) = DL(20) : LX(12), e per la similitudine dei triangoli Dqm, Diz si avrà che Dq(70) : Di(60) = qm(che è uguale a qG(10)) : iz8*4/7; dunque le rette Lx e iz stanno tra loro come 12 sta a 8*4/7, come a dire che sono diverse, e di conseguenza i punti X e z non possono stare sulla stessa circonferenza. In questa dimostrazione non si vede che il rapporto di queste rette tra di loro. Se qualcuno volesse verificare con la figura il rapporto con quelle che arrivano fino al cerchio in S o in r, lo potrà fare nel modo seguente.
2 alla pag. 6
3 “Gli elementi di Euclide (L. 3, prop. 14)
C C T PL 9 A F
Tutti coloro che conoscono un po’ di algebra sanno che l’equazione del cerchio (chiamando d il diametro, x l’ascissa e y l’ordinata) è dx - xx =
yy; si cercherà il diametro en quarrant DK e KC e tracciando la radice
quadrata della loro somma, pari al raggio DC, e il suo doppio al diametro
d; poi, per avere l’ascissa x si aggiungerà la lunghezza Ki al raggio,
dove si troverà KL; per la metà di queste 2 grandezze, si avrà dx - xx, si traccerà la radice quadrata da cui si otterrà la lunghezza CK, e il resto sarà la lunghezza ir che arriva al cerchio in r; da questo calcolo risulterà che il punto x è all’interno del cerchio più o meno di 1/3, e z di ¼ (“più o meno” a causa delle frazioni che rimangono).
Ciò che noi dimostriamo qui con un quarto di cerchio si può facilmente ripetere per tutti gli archi con un minor numero di gradi; si troverà solo che la differenza delle lunghezze delle rette LX e iz diminuirà, ma esisterà sempre; così il metodo del Maestro Blanchard sarà sempre sbagliato per tracciare un arco di cerchio, e potrebbe servire solamente per un arco di sezione conica aperta, che non è il nostro problema.
Non resta che dare la soluzione del “secondo caso” di questo problema dove si è supposto che vi siano 2 punti dati per la circonferenza dell’arco di cerchio richiesto, e invece del terzo punto il raggio, indipendentemente dalla posizione del centro (che non si vuole o non si può usare). Siano (fig. 108) L e M i 2 punti dati, unendoli si ottiene la corda dell’arco richiesto, e poiché si conosce il raggio, si ricavano i 3 lati di un triangolo isoscele LMC da cui si può trovare l’angolo C con la trigonometria, o meccanicamente con un triangolo simile fatto con una scala.
La metà dell’angolo LCM sarà il supplementare dell’angolo LNM necessario per tracciare l’arco richiesto per mezzo della descrizione del caso precedente, con 2 regoli che formano l’angolo LNM di cui il segmento LHNM è capace.
O ancora (fig. 109) si cercherà il punto X medio del segmento AXB con la metà della freccia MX; così, avendo il raggio dato AR è la metà AM della corda AB, si troverà il quadrato di AM, e del resto si estrarrà la radice quadrata del quadrato (?) di AR per avere il lato MR, dal quale avremo MX per la freccia cercata, e di conseguenza il punto X medio dell’arco richiesto. Grazie al punto X e agli altri due, A e B, si traccerà l’arco come si è detto nel primo caso.
Si può proporre una terza soluzione (fig. 108) di questo problema dando una precisa misura al perimetro dell’arco che si vuol descrivere , al posto dei 2 punti degli estremi, e poi la lunghezza del raggio; si avrà allora l’angolo LMN grazie ad un calcolo molto semplice.
Innanzitutto, per la metà della lunghezza del raggio sarà di aiuto trovare l’intera circonferenza, raddoppiarla e fare una proporzione, come 7 : 22 o 100 : 314; così il diametro dato sta alla circonferenza totale misurata in piedi, pollici e linee. Poi con una seconda proporzione si troverà il numero di gradi che deve avere l’arco di lunghezza data, dicendo che il valore trovato con la prima proporzione per l’intera circonferenza, sta a quello dell’arco dato: così 360 gradi dell’intera circonferenza stanno al numero di gradi dell’arco cercato, di cui è dato il perimetro; si avrà allora un angolo il cui supplementare sarà l’angolo cercato LNM. Così, supposto l’angolo trovato di 60°, si ottiene 180°, valore di 2 angoli retti: rimangono 120° per l’angolo cercato, che si traccia con 2 regoli, se lo si vuole descrivere come si è detto nel primo caso.
DIMOSTRAZIONE DEL 1° E DEL 2° CASO
L’angolo LNM vale la metà dell’arco sul quale insiste, e l’angolo LdM vale ugualmente la metà dell’arco LNM. Da cui, insieme, valgono la metà del cerchio, cioè 2 angoli retti . Di conseguenza la metà di LCM, che è uguale a LdM 4 sarà il supplementare dell’angolo cercato LNM,
come volevasi dimostrare.
PRATICA
Questo problema è necessario per l’esecuzione di tanti disegni sul taglio delle pietre dove bisogna tracciare degli archi di cerchio con i centri molto lontani. Ad esempio, per trovare l’arco di sviluppo della base della porta di una torre rotonda in talud, che è quella della porzione di un cono, il
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cui vertice sta nel punto di incontro dei lati del cono prolungati, cioè dei lati della torre en talud, può trovarsi ad una considerevole distanza dalla base; supponiamo ad esempio che la torre abbia solo 15 piedi di raggio, 30 di altezza e 1/10 di talud, il vertice del cono, che sarà il centro dello sviluppo, sarà a 50 piedi, lontano dalla circonferenza. Questo rende i precetti del Padre Deran e del suo seguace M. de La Rue impraticabili senza l’aiuto di questo problema.
Il problema è necessario anche per trovare gli archi dei pannelli di intradosso dei primi affifes delle volute sferiche, sferoidali,
e nel nucleo del sistema di pratica che esegue queste volute per lo sviluppo di coni tronchi, come si dirà a suo tempo.
Per abitudine utilizzo la seconda pratica del secondo caso (fig. 109) per eseguire gli stondamenti dei controscarpa delle nostre fortificazioni per mezzo di un pannello Ad e BX ricavato da una tavola tagliata, come la parte tratteggiata della figura che metto sul rivestimento facendolo scorrere sui picchetti; ma come il paramento a talud, questo arco di cerchio aumenta il raggio mano a mano che il muro si alza, si può allora ricorrere un pannello convesso sull’ultimo che è a piombo, per misurare lo spessore del contorno del paramento a talud ad ogni affifes; tale metodo è di facile esecuzione per gli operai.
Se l’arco di cerchio che si deve descrivere è così grande da non poter utilizzare il compasso, per fare gli angoli uguali tra loro, ci si potrebbe servire di un semicerchio o Grafometro e dei picchetti di allineamento invece delle linee tracciate con riga o corda, da cui si troverà l’intersezione dei raggi visuali dei punti A e B per il centro dello strumento.
È cos che l’architetto della nuova città di Carles-Rouhe, che ha fatto costruire il Mangravio di Bade-Dourlack, ha potuto tracciare le strade concentriche intorno al castello di 200 -300 metri di raggio, come si può vedere a colpo d’occhio.
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